根與系數(shù)的關(guān)系

1、1一元二次方程根與系數(shù)一元二次方程根與系數(shù)對于一元二次方程，當(dāng)判別式△＝時(shí)，其求根公式為：；若兩根為，當(dāng)△≥0時(shí)，則兩根的關(guān)系為：；，根與系數(shù)的這種關(guān)系又稱為韋達(dá)定理；它的逆定理也是成立的，即當(dāng)，時(shí)，那么則是的兩根。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性強(qiáng)，應(yīng)用極為廣泛，在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有極重要的地位，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)。學(xué)習(xí)中，老師除了要求同學(xué)們應(yīng)用韋達(dá)定理解答一些變式題目外，還常常要求同學(xué)們熟記一元二次方程根的判別式存在的三種情況，以

2、及應(yīng)用求根公式求出方程的兩個(gè)根，進(jìn)而分解因式，即。下面就對應(yīng)用韋達(dá)定理可能出現(xiàn)的問題舉例做些分析，希望能給同學(xué)們帶來小小的幫助。一、根據(jù)判別式，討論一元二次方程的根。一、根據(jù)判別式，討論一元二次方程的根。例1：已知關(guān)于的方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且關(guān)于的方程（2）沒有實(shí)數(shù)根，問取什么整數(shù)時(shí)，方程（1）有整數(shù)解？分析分析：在同時(shí)滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍中篩選符合條件的的整數(shù)值。解：∵方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴解

3、得；∵方程（2）沒有實(shí)數(shù)根，∴解得；于是，同時(shí)滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍是其中，的整數(shù)值有或當(dāng)時(shí)，方程（1）為，無整數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程（1）為，有整數(shù)根。3分析：分析：此題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根的定義，把代入原方程，先求出的值，再通過解方程辦法求出另一個(gè)根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根及的值。解法一：解法一：把代入原方程，得：即解得當(dāng)時(shí)，原方程均可化為：，解得：∴方程的另一個(gè)根為4，的值為3或—1。

4、解法二：解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為，根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理得：，∵，∴把代入，可得：∴把代入，可得：，即解得∴方程的另一個(gè)根為4，的值為3或—1。說明：比較起來，解法二應(yīng)用了韋達(dá)定理，解答起來較為簡單。例3：已知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21，求的值。分析：分析：本題若利用轉(zhuǎn)化的思想，將等量關(guān)系“兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21”轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可求得的值。解：解：∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴△解這個(gè)不等式，得≤0設(shè)方程