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1、西北大學學報(自然科學網(wǎng)絡(luò)版)2004年12月,第2卷,第12期ScienceJournalofNthwestUniversityOnlineDec.2004,Vol.2,No.12________________________收稿日期:20040424基金項目:陜西省自然科學基金資助項目(2003A02)審稿人:王國俊,男,陜西師范大學數(shù)學研究所教授、博士生導師。R0代數(shù)的關(guān)聯(lián)MP濾子王保社(咸陽師范學院數(shù)學系,陜西咸陽)摘要:引入
2、代數(shù)的關(guān)聯(lián)MP濾子的概念,研究了它的特性,證明了如下主要結(jié)果:代數(shù)0R0R成為布爾代數(shù)的充要條件是其MP濾子均為關(guān)聯(lián)MP濾子。關(guān)鍵詞:代數(shù),MP濾子,關(guān)聯(lián)MP濾子0R中圖分類號:O153.1文獻標識碼:A文章編號:1000274X(2004)01125近年來,王國俊教授提出的模糊邏輯命題演算系統(tǒng)L受到學術(shù)界的普遍關(guān)注[12],與之相關(guān)聯(lián)的代數(shù)也引起許多研究者的興趣[3~5]。代數(shù)的MP濾子,在證明L系統(tǒng)的完備性時起到重要作用[6]。0R
3、0RBoole代數(shù)作為代數(shù)的特例,其MP濾子也應有獨特之處,能否用某類MP濾子來刻劃這一點呢?本0R文通過引入關(guān)聯(lián)MP濾子的概念,成功地解決了這一問題。本文直接使用而未給出定義的概念以及未證明的結(jié)論,均可查閱文獻[12]。需要說明的是,本文的主要思想和一些證明技巧來源于文獻[7],但由于代數(shù)與BCK代數(shù)是不同的代數(shù)系統(tǒng),所得結(jié)果是新0R的,對深入研究代數(shù)的結(jié)構(gòu)是有積極意義的。0R1預備知識定義1[1]設(shè)M是)型代數(shù),如果M上有偏序≤使成
4、為有界分配格,且∨是關(guān)于序≤???()(?M的上確界運算,﹁是關(guān)于序≤的逆序?qū)蠈?,?M1)abba?????(M2)11????aaaa(M3))()(cabacb?????(M4))()(cabcba?????(M5))()()()()()(cabacbacabacba????????????(M6)1))(()(???????bababa這里1是中的最大元,則稱M為代數(shù)。)(?M0R有時也用表示﹁由ˊ為逆序?qū)蠈狣eMga
5、n對偶律成立,即a?。另外,記則易知。babababa????????????)()(10??0???aa對于Boole代數(shù)B,規(guī)定,則B是代數(shù)。baba????0R命題1[1]設(shè)M是代數(shù),a、b、cM,則以下性質(zhì)成立0R?3是M的MP濾子,但,而,這說明1不是M的關(guān)聯(lián)MP濾子。11))((11?????aba1?a定理2設(shè)M是代數(shù),F(xiàn)是M的MP濾子,F(xiàn)是關(guān)聯(lián)MP濾子的充要條件是F滿足0R時有Faba???)((3)Fa?證明假設(shè)F是關(guān)
6、聯(lián)MP濾子,則由式(2)得當11時有。由于1必屬于F,故上述結(jié)果說明式(3)成Fabaaba???????)())((Fa?立。假設(shè)MP濾子F滿足式(3),若則由MP濾子的定義得Fabacc????))((。應用式(3)可得,這說明式(2)成立,即F是關(guān)聯(lián)MP濾子。Faba???)(Fa?定理3設(shè)M是代數(shù),則對任意a、b∈M有0R(4)babbba?????))((證明首先,由(M4)及(M2)得1))(())(()))((()(???
7、?????????bbabbabbbaba應用性質(zhì)1)得。bbbaba?????))((另一方面)()))(((babbba?????))((bbaa????)()(baba????1?再據(jù)性質(zhì)2)得,于是bababbba????????)(1))((babbba?????))((定理4設(shè)M是代數(shù),F(xiàn)是M的關(guān)聯(lián)MP濾子,則在F中成立0R當時有Fbcabc????)((5)Fac??證明假設(shè)。由于Fbcabc????)(即)()(acba
8、bc?????))(()(accbc?????Faccbcabc?????????1)))(()(())((Fabc???)(由MP濾子的定義得。再據(jù)及MP濾子的定義得Faccbc?????))(()(Fbc??Facc???)(據(jù)定理3有,而)))((()(aaaccacc???????)())(()))(((acaacaaacc?????????由(M4)即得。由于F是關(guān)聯(lián)MP濾子,故應用定理2可得,F(xiàn)acaac?????)())(
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