貴州省貴陽市花溪二中八年級數(shù)學(xué)競賽講座第二十二講 直角三角形的再發(fā)現(xiàn)

1、第1頁（共9頁）第二十二講第二十二講直角三角形的再發(fā)現(xiàn)直角三角形的再發(fā)現(xiàn)直角三角形是一類特殊三角形，有著豐富的性質(zhì)：兩銳角互余、斜邊的平方是兩直角邊的平方和、斜邊中線等于斜邊一半、30所對的直角邊等于斜邊一半等，在學(xué)習(xí)了相似三角形的知識后，我們利用相似三角形法，能得到應(yīng)用極為廣泛的結(jié)論如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，CD⊥AB于D，則有：1同一三角形中三邊的平方關(guān)系：AB2=AC2BC2，AC2=AD2CD2，BC2=CD2BD22

2、角的相等關(guān)系：∠A=∠DCD，∠B=∠ACD3線段的等積式：由面積得ACBC=ABCD；由△ACD∽△CBD∽△ABC，得CD2=ADBD，AC2=ADAB，BC2=BDAB以直角三角形為背景的幾何問題，常以下列圖形為載體，綜合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形，特殊四邊形等豐富的知識注直角三角形被斜邊上的高分成的3個直角三角形相似，由此導(dǎo)出的等積式的特點是：一線段是兩個三角形的公共邊，另兩條線段在同一直線上，這些等積式廣泛應(yīng)用于與直

3、角三角形問題的計算與證明中例題求解例題求解【例1】等腰三角形ABC的底邊長為8cm，腰長5cm，一動點P在底邊上從B向C以025cm／秒的速度移動，當(dāng)點P運動到PA與腰垂直的位置時，點P運動的時間為(江蘇省常州市中考題)思路點撥思路點撥為求BP需作出底邊上的高，就得到與直角三角形相關(guān)的基本圖形，注意動態(tài)過程【例2】如圖，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD=40cm2，S△ABE：S△DBA=1：5，則AE的長為()A4cm

4、B5cmC6cmD7cm(青島市中考題)第3頁（共9頁）證明△BPQ∽△CPD即可注題設(shè)條件有中點，圖形中有與直角三角形相關(guān)的基本圖形，給我們以豐富的聯(lián)想，單獨應(yīng)用或組合應(yīng)用可推出許多結(jié)論因此，讀者應(yīng)不拘泥于給出的思路點撥，多角度探索與思考，尋找更多更好的解法，以培養(yǎng)我們發(fā)散思的能力【例5】已知△ABC中，BCAC，CH是AB邊上的高，且滿足BHAHBCAC?22，試探討∠A與∠B的關(guān)系，井加以證明(武漢市選拔賽試題)思路點撥思路點撥由

5、題設(shè)條件易想到直角三角形中的基本圖形、基本結(jié)論，可猜想出∠A與∠B的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是綜合運用勾股定理、比例線段的性質(zhì)，推導(dǎo)判定兩個三角形相似的條件注構(gòu)造逆命題是提出問題的一個常用方法，本例是在直角三角形被斜邊上的高分成的相似三角形得出結(jié)論基礎(chǔ)上提出的一個逆命題，讀者你能提出新的問題嗎并加以證明學(xué)力訓(xùn)練學(xué)力訓(xùn)練1如圖，已知正方形ABCD的邊長是1，P是CD邊的中點，點Q在線段BC上，當(dāng)BQ=時，三角形ADP與三角形QCP相似(云南省中考

6、題)2如圖，Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高，DF⊥CB于E，若BE=6，CE=4，則AD=3如圖，平行四邊形ABCD中，AB=2，BC=23，AC=4，過AC的中點O作EF⊥AC交AD于E，交BC于F，則EF=(重慶市競賽題)4P是Rt△ABC的斜邊BC上異于B、C的一點，過點P作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，滿足這樣條件的直線共有()A1條B2條C3條D4條(2001年安徽省中考題)5在△ABC中，AD是高，且A