貴州省貴陽市花溪二中八年級數(shù)學(xué)競賽講座第十六講 完美的正方形

1、第1頁（共10頁）第十六講第十六講完美的正方形完美的正方形有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形，換句話說：正方形是各邊都相等的矩形，正方形是各角都相等的菱形，正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的一切性質(zhì)矩形、菱形，正方形都是特殊的四邊形，它們的概念交錯(cuò)，關(guān)系復(fù)雜，性質(zhì)有許多相似之處，一些判定和性質(zhì)定理又是可逆的，所以在學(xué)習(xí)中注重概念的理解，著眼于概念間的區(qū)別與聯(lián)系連正方形的對角線，能得到特殊三角形、全等三角形，由于

2、正方形常常與直角三角形聯(lián)系在一起，所以在解有關(guān)正方形問題時(shí)要用到直角三角形性質(zhì)，具有代數(shù)風(fēng)格，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想熟悉以下基本圖形，基本結(jié)論：例題求解例題求解【例1】如圖，若四邊形ABCD是正方形，△CDE是等邊三角形，則∠EAB的度數(shù)為(北京市競賽題)思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥圖中還有等腰三角形，利用等腰三角形性質(zhì)計(jì)算注可以證明，在所有用長相等的四邊形中，正方形的面積最大我們熟悉的“七巧板”，那是把一塊正方形板切分成三角形、正方形、平行四邊形的7塊

3、，用它可以拼出許多巧妙的圖形，“七巧板”是我國古代人民智慧的結(jié)晶【例2】如圖，在正方形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，過O作OC⊥OF，分別交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，則EF的長為()A7B5C4D3(江蘇省泰州市中考題)第3頁（共10頁）(3)構(gòu)造逆命題對于例3，請讀者思考，在不改變題設(shè)條件的前提下，(1)∠EDF等于多少度(2)怎樣證明明逆命題例4改變點(diǎn)的位置，賦以運(yùn)動(dòng)，從特殊到一般，(1)的結(jié)果為(2)的猜

4、想提供了借鑒的依據(jù)，又為猜想設(shè)置了障礙，前面的證明思路是后面的證明模式【例5】操作：將一把三角尺放在邊長為l的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q探究：設(shè)A，P兩點(diǎn)間的距離為x(1)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系試證明你觀察得到的結(jié)論；(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(3)當(dāng)點(diǎn)

5、P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)，△PCQ是否可能成為等腰三角形如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點(diǎn)Q的位置，并求出相應(yīng)的x的值；如果不可能，試說明理由(圖1、圖2、圖3的形狀大小相同，圖1供操作、實(shí)驗(yàn)用，圖2、圖3備用)思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥本例是探究式的操作型試題，第(1)問需抓住滑動(dòng)中∠BPQ是直角這一不變量，畫出滑動(dòng)中一般情形的圖形，通過觀察提出猜想，再給予論證，第(3)問需要在操作中觀察出使△PCQ是等腰三角形的兩種情形注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是