第二十一章解直角三角形

1、第二十一章 解直角三角形,2006年11月17日 崔淑霞,講四個(gè)問題,二、與原教材相比內(nèi)容和要求上的不同點(diǎn),三、主要內(nèi)容與教學(xué)目標(biāo),四、教材分析與教學(xué)建議,一、對(duì)本章教學(xué)內(nèi)容的安排,對(duì)本章教學(xué)內(nèi)容的安排,本章教學(xué)內(nèi)容屬于三角學(xué)。中學(xué)數(shù)學(xué)把三角學(xué)內(nèi)容分成兩部分：一部分是三角學(xué)最基礎(chǔ)的內(nèi)容，歸入義務(wù)教育初中階段，就是解直角三角形；另一部分是三角學(xué)的主體內(nèi)容，包括解斜三角形，三角函數(shù)等，將歸入高中教學(xué)內(nèi)容階段。大綱把解直角三角形歸入幾何，是

2、因?yàn)楸菊陆虒W(xué)內(nèi)容與直角三角形的概念、性質(zhì)、判定、作圖等有著密切的聯(lián)系。學(xué)完本章內(nèi)容，可以從形和數(shù)兩方面對(duì)直角三角形有更深刻的理解。實(shí)踐證明，這樣安排是可行的。 教科書對(duì)本章教學(xué)內(nèi)容的安排:首先，考慮作為幾何內(nèi)容的三角知識(shí)與作為代數(shù)內(nèi)容的三角知識(shí)有所不同。作為代數(shù)內(nèi)容，三角函數(shù)的概念是通過平面直角坐標(biāo)系引入的，它是用已知角終邊上任意點(diǎn)P到原點(diǎn)距離之間的比來定義正弦、余弦、正切、余切的。而作為幾何內(nèi)容的三角函數(shù)的概念，是盡可能利用直角三角

3、形、相似三角形的性質(zhì)等已有知識(shí)，通過線段的比以及用一個(gè)實(shí)例作為引例逐步導(dǎo)入正弦、余弦、正切、余切的概念，它們各自有關(guān)的計(jì)算、應(yīng)用以及它們之間的基本關(guān)系和混合計(jì)算、綜合應(yīng)用等。這樣引入較為自然。 其次，考慮到本章有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，所以本章安排了大量的生產(chǎn)、生活實(shí)例，目的是培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。,與原教材相比內(nèi)容、要求上的不同點(diǎn),刪去了銳角的余切函數(shù).,3. 刪去了同角三角函數(shù)的關(guān)系，互余兩角三 角函數(shù)的關(guān)

4、系.,4. 以測(cè)量實(shí)踐活動(dòng)（底部可到達(dá)與底部不可到 達(dá)的建筑物的測(cè)高問題）為主線，略微提高 了解直角三角形應(yīng)用的難度（探索問題，用 方程思想解題）.,,,2. 刪去0 °和90°的三角函數(shù)值.,與舊教材相比內(nèi)容、要求上的不同點(diǎn),5. 加強(qiáng)了計(jì)算器的使用：用計(jì)算器求三角函數(shù) 值，由三角函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的銳角，解決簡(jiǎn)單 的實(shí)際問題，用計(jì)算器探索銳角三角函數(shù)的 性質(zhì).,主要內(nèi)容

5、與教學(xué)目標(biāo),06 課標(biāo)中考說明的要求及在試卷中的體現(xiàn)教材的要求（銳角三角函數(shù)；解直角三角形；應(yīng)用舉例）,主要內(nèi)容與教學(xué)目標(biāo),06 課標(biāo)中考說明的要求及在試卷中的體現(xiàn)銳角三角函數(shù) ：基本要求 ：通過實(shí)例認(rèn)識(shí)銳角的正弦、余弦、正切；知道30°、45°、60°角的三角函數(shù)值；會(huì)用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值或由已知三角函數(shù)值求它對(duì)應(yīng)的銳角 。略高要求：由某個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值,會(huì)求其余兩個(gè)三角函數(shù)值；

6、會(huì)計(jì)算含有特殊角的三角函數(shù)式的值,主要內(nèi)容與教學(xué)目標(biāo),解直角三角形 ：基本要求 ：會(huì)解直角三角形 。略高要求：能根據(jù)問題的需要合理作出垂線,構(gòu)造直角三角形；會(huì)解兩個(gè)特殊直角三角形的組合圖形 。較高要求：會(huì)解有特殊條件的四邊形中的計(jì)算問題,能綜合運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問題；會(huì)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的測(cè)量方案,主要內(nèi)容與教學(xué)目標(biāo),06 課標(biāo)卷試題 ：18．已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=45°

7、，BE⊥CD于點(diǎn)E，AD=1，CD= 。求：BE的長(zhǎng)。,,主要內(nèi)容與教學(xué)目標(biāo),06 課標(biāo)卷試題：19．已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線上，sinB= ，∠CAD=30°。（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的長(zhǎng)。,,銳角三角函數(shù),解直角三角形,主要內(nèi)容與教學(xué)目標(biāo) 教材的要求：,應(yīng)用舉例,銳角三角函數(shù),使學(xué)生認(rèn)識(shí)并理解銳角三角函數(shù)的概念，能夠正確地

8、應(yīng)用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊之比.,使學(xué)生理解并熟記30°、45°、60°角的三角函數(shù)值；會(huì)計(jì)算含有特殊角的三角函數(shù)式的值.會(huì)由一個(gè)特殊銳角的三角函數(shù)值，求出它對(duì)應(yīng)的角度.,使學(xué)生掌握用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，反之，由已知某角的三角函數(shù)值求它對(duì)應(yīng)的銳角.,解直角三角形,使學(xué)生掌握直角三角形的邊角關(guān)系，會(huì)運(yùn) 用勾股定理、直角三角形兩銳角互余及銳 角三角函數(shù)解直角三角形.,

9、使學(xué)生會(huì)將等腰三角形、梯形及一般三角 形（含特殊角）中的邊角計(jì)算問題通過作 垂線轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題去解決.,應(yīng)用舉例,使學(xué)生了解仰角、俯角、坡度、坡角、水平距 離、垂直距離等在測(cè)量中常用的術(shù)語，并弄 清它們的意義.,使學(xué)生善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系.進(jìn)而用解直角三角形的知識(shí)解決.,教材分析與教學(xué)建議,一、銳角三角函數(shù),二、解直角三角形,三、應(yīng)用舉例,四、總原則,21.1 銳角

10、三角函數(shù),銳角三角函數(shù)的概念，既是本章的難點(diǎn)，又是學(xué)好本章的關(guān)鍵．說它們是難點(diǎn)，是因?yàn)檫@里隱含著角度與數(shù)值之間一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的“函數(shù)”思想，并且用含有幾個(gè)字母的符號(hào)組sinA，cosA，tanA來表示，學(xué)生過去未接觸過；說它是關(guān)鍵，是因?yàn)橹挥姓_理解銳角三角函數(shù)的概念，才能正確理解直角三角形中邊、角之間的關(guān)系，從而才能利用這些關(guān)系解直角三角形．,21.1 銳角三角函數(shù),銳角三角函數(shù)的概念是以相似三角形的知識(shí)為基礎(chǔ)的，它的

11、建立是對(duì)代數(shù)中已初步涉及的函數(shù)概念的一次充實(shí) .它是后繼學(xué)習(xí)解直角三角形、高中階段學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)、解斜三角形的基礎(chǔ).,3課時(shí)：銳角的正弦（1），銳角的余弦正切(1)， 銳角三角函數(shù)（1）.,銳角的正弦是本章的起點(diǎn)，同時(shí)又是重點(diǎn).銳角的正弦概念的建立應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程.,21.1 銳角三角函數(shù),第一說明：直角三角形中，對(duì)于銳角∠A的任 一個(gè)值，其對(duì)邊與斜邊

12、的比是一個(gè) 固定不變值 .,（1）含30°角的直角三角形；,（2）含50°角的直角三角形；,①量BC、AB的長(zhǎng)，用計(jì)算器計(jì)算；②取AB=10cm，量BC的長(zhǎng)，計(jì)算；③用《幾何畫板》探索.,21.1 銳角三角函數(shù),（3）任意銳角對(duì)應(yīng)的直角三角形.,利用相似三角形的知識(shí)證明對(duì)邊與斜邊的比是固定不變的值.,21.1 銳角三角函數(shù),第二說明：銳角的對(duì)邊與斜邊的比值是隨銳角 的

13、大小變化而變化的.,①用幾何畫板演示；,②借下圖講解：,21.1 銳角三角函數(shù),以上兩點(diǎn)反映了角與邊之間的一種關(guān)系，這種關(guān)系非以前所學(xué)過的數(shù)學(xué)符號(hào)所能表達(dá)，因此我們要引進(jìn)新的符號(hào)和名稱（給出銳角的正弦及表示法）.,直角三角形中，除∠A的對(duì)邊與斜邊之比外，還 有哪兩條線段的比是固定不變的?,直角三角形中，三條邊組成六個(gè)比，其比值都是固定不變的，因有倒數(shù)關(guān)系，顧只研究其中的三個(gè)就夠了.,21.1 銳角三角函數(shù),通過教學(xué)使學(xué)生逐步

14、形成“銳角三角函數(shù)值是直角三角形中的兩條邊的比值”的認(rèn)識(shí)：由直角三角形中兩條邊的比，可以求得這個(gè)銳角的三角函數(shù)值；反之，已知一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，就可以得到這個(gè)角所在直角三角形中兩條邊的比.,21.1 銳角三角函數(shù),逐步幫助學(xué)生總結(jié)求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值的幾 種常用思路：,（2)設(shè)參數(shù)后用定義求銳角三角函數(shù)值（P93例3（2）)；,（1)直接用定義求銳角三角函數(shù)值（如P91例2）；,（3)轉(zhuǎn)化為等角后用定義求銳角三角函數(shù)

15、值（P94例4）；,（4）構(gòu)造直角三角形后用定義求銳角三角函數(shù)值 （P95練習(xí)3）.,21.1 銳角三角函數(shù),Ｐ１０１Ｂ組４題：三角形ABC中，∠Ｃ＝　　，AB=AC，D在AC上，且AD:DC=1:2.求（1）∠ADB的三個(gè)三角函數(shù)值； （2）∠DBC的三個(gè)角函數(shù)值.,,,注意：學(xué)生的錯(cuò)解,21.1 銳角三角函數(shù),例2：已知正方形ABCD中，M是DC上一點(diǎn)，且 ,A

16、N⊥BM于N.求cos∠NAD.,思路1：∠NAD= ∠ ABN， △ABN∽△BCM,思路2：∠NAD= ∠ ABN = ∠ BMC,cos∠NAD=3/5,21.1 銳角三角函數(shù),例3：已知：如圖，四邊形MNBE和ABCD都是正方 形,,21.1 銳角三角函數(shù),例4：將一副三角板如圖所示擺放在一起，連 結(jié)AD，求∠ADB的正切值.,,21.1 銳角

17、三角函數(shù),思路：作AE⊥DB交其延長(zhǎng)線于E.作AF⊥BD于F.,,,x,,y,21.2 特殊角的三角函數(shù)（1課時(shí)）,用手中三角板推導(dǎo)特殊角的三角函數(shù)值.,記憶特殊角的三角函數(shù)值.,計(jì)算含特殊角的三角函數(shù)式的值.,由已知特殊角的三角函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的銳角.　做到：見角想值，見值想角,21.3 用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值,2課時(shí)：計(jì)算器求值（1課時(shí)），用計(jì)算器探 索三角函數(shù)的性質(zhì)（1課時(shí)）.,用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值，由

18、已知銳角 三角函數(shù)值求它對(duì)應(yīng)的銳角.,充分讓學(xué)生動(dòng)手操作，相互交流操作程序，體驗(yàn)解決問題的程序性，教師適時(shí)點(diǎn)撥.０６中考后關(guān)于計(jì)算器是否進(jìn)入中考的調(diào)查數(shù)字,21.3 用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值,用計(jì)算器探索三角函數(shù)的性質(zhì)：銳角三角函數(shù)的增減性，同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系.,如： 探索銳角正弦的增減性,（1）用計(jì)算器；,（2）用幾何畫板；,（3）用幾何證明：,21.3 用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值,注意：,重在探

19、索的過程，重在讓學(xué)生體會(huì)計(jì)算器可以幫助我們“做數(shù)學(xué)”，幫助我們理解數(shù)學(xué).,三角函數(shù)的性質(zhì)不要求學(xué)生掌握和記憶，更不要求用性質(zhì)去解決其它問題，這一點(diǎn)教學(xué)時(shí)教師一定要注意把握.,計(jì)算題答案的精確不能超過已知量的精確要求，角的結(jié)果精確到1'，邊長(zhǎng)保留四位有效數(shù)字,21.4 解直角三角形,解直角三角形是重要的基礎(chǔ)性的知識(shí)，它是解決許多問題的工具:,直角三角形中的邊角計(jì)算；,一般三角形（含特殊角）和特殊四邊形中的邊角計(jì)算；,圓中有關(guān)半

20、徑、弦長(zhǎng)及圓和正多邊形中的有關(guān)計(jì)算；,高中立體幾何中有關(guān)邊、角、距離的計(jì)算；,高中斜三角形中的邊角關(guān)系的推導(dǎo)；,物理學(xué)科中的某些計(jì)算問題.,21.4 解直角三角形,2課時(shí)：直角三角形的解法（1課時(shí)），三 角形中的邊角計(jì)算（1課時(shí)）.,解直角三角形的關(guān)鍵是恰當(dāng)選擇關(guān)系式，把已知 和未知聯(lián)系起來.,△ABC中，∠C=90°，已知a ， ∠A ，求b,c .,b = a tan(

21、90°－∠A )（盡量用乘法）,21.4 解直角三角形,例1：直角三角形可解的條件：已知兩個(gè)條 件，其中有一邊的條件.,直角三角形中的邊角計(jì)算——解直角三角形.,△ABC中，∠C=90°，,解△ABC.,分析：Rt△ABC中，已知一邊，不可解；,由已知， Rt△ADC中，已知兩邊 可解，求出∠DAC，進(jìn)而得∠BAC；,至此Rt△ABC中,已知一邊一角可解.,21.4 解直角

22、三角形,例2：已知：△ABC中，CD、BE分別為AB與AC上的高， ∠ EBC=45 ° ， ∠ DCB=30 °，DC=12，求 BE.,分析：求BE，需要解Rt△ BEC， 已知一角，不可解；,由已知，Rt△BDC中，已知一邊一角可解，求出BC.,至此Rt△BEC中,已知一邊一角可解.,21.4 解直角三角形,例3：已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在BC上，BD=4，∠B=30

23、°，∠ADC=45°，求AC的長(zhǎng).,分析：Rt△ABC， Rt△ADC 均不可解；,設(shè)DC=x，在Rt△ABC中，,x,,21.4 解直角三角形,例4：在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠B＝ 60° ，求BC的長(zhǎng).,思路：作AE⊥BC于點(diǎn)E.Rt△ABE， 可解，求出AE、BE， 使Rt△ABE可解,,21.4 解直角三角形,例5：已知△ABC中，AC＝4

24、，∠A＝30°，∠B＝45°，求△ABC的面積.,思路：由要求面積，容易想到作BD⊥AC于AC點(diǎn)D.Rt△CBD含75° ，邊之關(guān)系不明確. 改作CD⊥AB點(diǎn)D.,21.4 解直角三角形,例6：在△ABC中，BC＝6，AC＝ ，∠A＝ 30° ，求AB的長(zhǎng).,思路：已知兩邊一對(duì)角，有可能 兩解.作CD⊥AB于點(diǎn)D.,,21.4 解直角三角形,例7：在△ABC

25、中，AC=5，AB=3，BC=7，求∠A.,思路：作CD⊥AB交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.,,,21.4 解直角三角形,對(duì)于含30°、45°和60°的直角三角形，借助幾 何性質(zhì)求解.,重視規(guī)范書寫的教學(xué).要求學(xué)生先寫出邊角關(guān)系式，然后根據(jù)需要進(jìn)行變形，不要求學(xué)生直接寫出變形以后的式子.,對(duì)于一般三角形（含特殊角）和特殊四邊形中的邊角計(jì)算問題，重在讓學(xué)生體會(huì)通過作垂線可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.,數(shù)

26、學(xué)應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力，已成為當(dāng)代公民不可或缺的文化素養(yǎng).,21.5 應(yīng)用舉例,《課程標(biāo)準(zhǔn)》總體目標(biāo)之一：“運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常生活和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)”.數(shù)學(xué)教學(xué)向生活回歸，向應(yīng)用貼近，是新課標(biāo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)予突出的一個(gè)重要方面.,數(shù)學(xué)教學(xué)要經(jīng)歷“從實(shí)際中來，到實(shí)際中去” 的過程.,,（1）對(duì)新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，教師應(yīng)多方搜集現(xiàn)實(shí)生活及其他學(xué)科中與此知識(shí)有聯(lián)系的背景材料，由這些

27、材料引出新知識(shí).,（2）學(xué)生掌握了有關(guān)知識(shí)和技能后，再引導(dǎo)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)世界中探求應(yīng)用的對(duì)象，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際中的問題.這樣，在學(xué)習(xí)過程中理論與實(shí)際形影不離，使學(xué)生的理論知識(shí)和應(yīng)用能力同步提高.,21.5 應(yīng)用舉例,21.5 應(yīng)用舉例,105頁例1：求折斷樹高問題.,5課時(shí)：5個(gè)例題一個(gè)例題1課時(shí).,106例2：測(cè)高問題（底部可到達(dá)）（仰角、俯角）.,109頁例4：航海中的探索問題（方向角）.,107頁例3：修路

28、建壩問題（坡度、坡角）.,109頁例5：測(cè)高問題（底部不可到達(dá)）.,21.5 應(yīng)用舉例,章首頁引例： 用三角板測(cè)量計(jì)算紀(jì)念碑的高；,P106頁例2：用測(cè)角儀測(cè)量計(jì)算學(xué)校旗桿的長(zhǎng);,P109頁例5：用測(cè)角儀測(cè)量計(jì)算北大博雅塔的高;,P114頁的探索與應(yīng)用：分小組測(cè)量不能直接到 達(dá)底部的某建筑物的高度.,以測(cè)量實(shí)踐活動(dòng)為一條主線，讓學(xué)生感到用一些簡(jiǎn)易的工具就可解決兩大類（底部可到達(dá)和底部不可到達(dá)）高大建筑物的測(cè)量問題.,P107頁

29、做一做：做簡(jiǎn)易測(cè)仰角儀；,21.5 應(yīng)用舉例,教學(xué)設(shè)計(jì)：以106頁例2為基礎(chǔ).,1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入問題,在雅典奧運(yùn)會(huì)上，我國(guó)運(yùn)動(dòng)健兒奮力拼搏，為國(guó)爭(zhēng)光，嘹亮的中華人民共和國(guó)國(guó)歌一次次奏響，鮮艷的五星紅旗一次次高高飄揚(yáng)！面對(duì)這激動(dòng)人心的場(chǎng)面，你可曾想過—— 升起的國(guó)旗有多高？你能測(cè)量和計(jì)算它的高度嗎？,21.5 應(yīng)用舉例,教學(xué)設(shè)計(jì)：以例2為基礎(chǔ).,2. 介紹仰角和俯角的概念,小聰站在低層的看臺(tái)上，仰望升到頂端的國(guó)

30、旗，小聰?shù)囊暰€在水平線的上方，這時(shí)視線與水平線所成的夾角，我們稱為仰角（如圖1）.,圖1,21.5 應(yīng)用舉例,教學(xué)設(shè)計(jì)：以例2為基礎(chǔ).,2. 介紹仰角和俯角的概念,小聰站在高層的看臺(tái)上，俯視升到頂端的國(guó)旗，小聰?shù)囊暰€在水平線的下方，這時(shí)視線與水平線所成的夾角，我們稱為俯角（如圖2）.,圖2,21.5 應(yīng)用舉例,教學(xué)設(shè)計(jì)：以例2為基礎(chǔ).,3. 問題解決,問題1：如圖1，小聰站在第1層看臺(tái)的地面上，仰望升到頂端的國(guó)旗，已知

31、小聰?shù)碾p眼距地面1.5米，他的雙腳距旗桿底部18米，看國(guó)旗的仰角為29°.你會(huì)利用這些條件計(jì)算國(guó)旗的高度嗎？（結(jié)果精確到0.1米）,圖1,1．5+18×tan29°≈11.5（米）,21.5 應(yīng)用舉例,3. 問題解決,問題2：如圖3，小聰站在某一高層看臺(tái)的地面上，俯視升到頂端的國(guó)旗，已知小聰?shù)碾p眼距地面1.5米，現(xiàn)在他的雙腳距地面16米，距旗桿底部的水平距離為34米，看國(guó)旗的俯角為10

32、6;.你會(huì)利用這些條件計(jì)算國(guó)旗的高度嗎？（結(jié)果精確到0.1米）,圖3,1．5+16－34×tan10°≈11.5（米）,21.5 應(yīng)用舉例,3. 問題解決,問題3：小聰站在看臺(tái)的某層臺(tái)階上.請(qǐng)問：需要測(cè)量或補(bǔ)充哪些數(shù)據(jù)，才能計(jì)算出國(guó)旗的高度？,①學(xué)生可能條件補(bǔ)充得不完整，或有多余條件，可通過討論予以解決；,②有些學(xué)生可能要犯測(cè)量視線長(zhǎng)度的錯(cuò)誤，要讓學(xué)生通過自己的思考，理解測(cè)量視線是無法操作的.,21.5

33、 應(yīng)用舉例,3. 問題解決,問題4：醫(yī)學(xué)研究表明：人在觀看物體時(shí)，當(dāng)視線與水平線所成的俯角為15°時(shí)，眼睛感覺最舒適.如果小聰?shù)碾p眼距地面1.5米 ，第1層看臺(tái)階距旗桿底部18米 ，每層臺(tái)階的高和寬均為0.5米，小聰站在第幾層看它上觀看升到頂端的國(guó)旗，眼睛最舒服？,21.5 應(yīng)用舉例,3. 問題解決,設(shè)小聰站在第x層臺(tái)階上看頂端的國(guó)旗眼睛最舒服.,關(guān)于例題教學(xué),例題是精選的典型范例,課本一般都給出了一種較好的分

34、析和解答,如果教師就題論題,象”放電影”一樣重演一遍,那么例題教學(xué)的風(fēng)采就被扼殺了.對(duì)于例題教學(xué),一方面要體現(xiàn)知識(shí)從理解到應(yīng)用的升華,總結(jié)歸納方法,揭示規(guī)律.另一方面,還應(yīng)充分挖掘例題所涉及到的問題的內(nèi)涵和外延,形成問題鏈.這樣例題就不在是孤立地去解決一個(gè)問題,而是對(duì)例題所涉及的問題進(jìn)行深入的、廣泛的研究，解決一類問題.,21.5 應(yīng)用舉例,解直角三角形在實(shí)際中應(yīng)用廣泛，教材中舉了五個(gè)例子.在教學(xué)時(shí)，不宜著眼于知識(shí)的加深和難度的提高

35、，而要致力于使學(xué)生學(xué)會(huì)將千變?nèi)f化的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決.教會(huì)學(xué)生分析.,如圖，山腳下有一棵小樹AB，小強(qiáng)從點(diǎn)B沿山坡向上走了50米到達(dá)點(diǎn)D，用高為1.5米的測(cè)角儀CD測(cè) 得樹頂?shù)难鼋菫?0°，已知山坡坡角為15°，求樹AB的高（結(jié)果解決到0.1米）,21.5 應(yīng)用舉例,如圖，山腳下有一棵小樹AB，小強(qiáng)從點(diǎn)B沿山坡向上走了50米到達(dá)點(diǎn)D，用高為1.5米的測(cè)角儀CD測(cè) 得樹頂?shù)难鼋菫?0

36、76;，已知山坡坡角為15°，求樹AB的高（結(jié)果解決到0.1米）,（1）根據(jù)題意畫示意圖；,（2）示意圖中含樹（AB），測(cè)角儀（CD）垂直于地面；,（3）引導(dǎo)學(xué)生說出題目中的每句話對(duì)應(yīng)圖中哪個(gè)角或邊；,10°,50,（4）AB=AE+CD+DF，解Rt△DFB求DF，求AE需要解Rt△ACE，已知一角不可解，為此要在Rt△DFB中求BF.,1.5,總原則,2.注意循序漸進(jìn)：,解直角三角形這一章是用代數(shù)方法研究直角三角

37、形.在引入概念、推理論證、計(jì)算化簡(jiǎn)、解決實(shí)際問題時(shí)，都應(yīng)該畫圖幫助確定對(duì)邊、鄰邊，列出直角三角形中的邊角關(guān)系，并進(jìn)行定量計(jì)算.教學(xué)中教師要起好示范作用.,1.注意形數(shù)結(jié)合：,學(xué)生的認(rèn)識(shí)有一個(gè)由特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的發(fā)展過程.教學(xué)要適應(yīng)這一規(guī)律，比如從研究含30°、50°角的直角三角形到含任意銳角的直角三角形，從開始的簡(jiǎn)單應(yīng)用到后面的較復(fù)雜應(yīng)用，由理論上的準(zhǔn)備到實(shí)際測(cè)量活動(dòng)，都是一個(gè)逐步深入提高的過程.教學(xué)中要注意

38、這一點(diǎn).,總原則,（1）轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想： 通過作垂線將一般三角形和特殊四邊形中邊角計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題；等角三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化；三角形中邊角互化；,3.滲透思想方法：,總原則,（1）轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想：,,1.如圖，在小山的東側(cè)A處有一熱氣球，以每分鐘25 m的速度沿著與水平方向夾角為75度的方向飛行，半小時(shí)后到達(dá)C處，這時(shí)氣球上的人發(fā)現(xiàn)，在A處的正西方向有一處著火點(diǎn)B，10分鐘后，在D處測(cè)得著火點(diǎn)B的俯角是30度

39、，求熱氣球升空點(diǎn)A與著火點(diǎn)B的距離（結(jié)果精確到１m）.,總原則,（1）轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想：,,分析： ∠B=30°，∠D=45°，AD=1000（米）.,,總原則,（1）轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想：,,2.如圖，∠ACB=∠ABD=90°，AB=5，AC=3，BD=,,分析：作DE⊥BC于E.,總原則,（1）轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想：,3.(P121C組2)已知：Rt△ABC，∠C=90°，,思路1：“角”化邊,作CD⊥

40、AB于D,的大小關(guān)系是什么？請(qǐng)說明理由.若△ABC為銳角三 角形，結(jié)論又如何呢?,總原則,（1）轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想：,已知：Rt△ABC中，∠C=90°，,思路1：“角”化邊,的大小關(guān)系是什么？請(qǐng)說明理由.若△ABC為銳角三角形，結(jié)論又如何呢?,總原則,（1）轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想：,已知：Rt△ABC中，∠C=90°，,思路2：“邊”化角,的大小關(guān)系是什么？請(qǐng)說明理由.若△ABC為銳角三角形，結(jié)論又如何呢?,總原則,（

41、1）轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想：,4. (05海淀)已知△ABC，分別以AB、BC、 CA為邊向形外作等邊三角形ABD、等邊三角形BCE、等邊三角形ACF.∠ACB=60°時(shí)，請(qǐng)你證明S△ABC與S△ABD的和等于S△BCE與S△ACF的和.,總原則,（1）轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想：,,總原則,（2）方程思想：,例:P109例5 測(cè)量北大博雅塔AB的高度.在C處用高1.2m的測(cè)角儀CE測(cè)得塔頂A的仰角為30°，向塔的方向前進(jìn)50m到達(dá)D,

42、在D處測(cè)得塔頂A的仰角為71°.,分析:①關(guān)鍵求AG的長(zhǎng).含AG的 Rt△AEG和Rt△AFG中都不可解.,②若設(shè)AG=x，在Rt△AEG中， EG=AG·tan∠EAG=x·tan60°， 在Rt△AFG中， FG= AG·