初高中銜接_第三講_一元二次方程根與系數的關系

1、4008102680好學者智，善思者康學習改變命運陳玉兵陳玉兵beyond.cyb@beyond.cyb@1第三講第三講一元二次方程根與系數的關系一元二次方程根與系數的關系現(xiàn)行初中數學教材主要要求學生掌握一元二次方程的概念、解法及應用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數的關系，在高中教材中的二次函數、不等式及解析幾何等章節(jié)有著許多應用本節(jié)將對一元二次方程根的判別式、根與系數的關系進行闡述一、一元二次方程的根的判斷式一、一元二次方程的根

2、的判斷式一元二次方程，用配方法將其變形為：20(0)axbxca????2224()24bbacxaa???(1)當時，右端是正數因此，方程有兩個不相等的實數根：240bac??242bbacxa????(2)當時，右端是零因此，方程有兩個相等的實數根：240bac??122bxa??(3)當時，右端是負數因此，方程沒有實數根240bac??由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況因此，把24bac?叫做一元二次方程的根的判別式

3、，表示為：24bac?20(0)axbxca????24bac???【例1】不解方程，判斷下列方程的實數根的個數：(1)(2)(3)22310xx???24912yy??25(3)60xx???解：解：(1)，∴原方程有兩個不相等的實數根2(3)42110?????????(2)原方程可化為：241290yy???，∴原方程有兩個相等的實數根2(12)4490????????(3)原方程可化為：256150xx???，∴原方程沒有實數根

4、2(6)45152640??????????說明：說明：在求判斷式時，務必先把方程變形為一元二次方程的一般形式【例2】已知關于的一元二次方程，根據下列條件，分別求出的x2320xxk???k范圍：4008102680好學者智，善思者康學習改變命運陳玉兵陳玉兵beyond.cyb@beyond.cyb@3算這里，可以利用韋達定理來解答解：解：由題意，根據根與系數的關系得：121222007xxxx?????(1)2222121212()2

5、(2)2(2007)4018xxxxxx?????????(2)121212112220072007xxxxxx???????(3)121212(5)(5)5()2520075(2)251972xxxxxx?????????????(4)22212121212||()()4(2)4(2007)22008xxxxxxxx???????????說明：說明：利用根與系數的關系求值，要熟練掌握以下等式變形：，，222121212()2xxxxx

6、x????12121211xxxxxx???22121212()()4xxxxxx????，，，2121212||()4xxxxxx????2212121212()xxxxxxxx???等等韋達定理體現(xiàn)了整體思想33312121212()3()xxxxxxxx?????【例5】已知關于的方程，根據下列條件，分別求出x221(1)104xkxk?????的值k(1)方程兩實根的積為5；(2)方程的兩實根滿足12xx12||xx?分析：分析

7、：(1)由韋達定理即可求之；(2)有兩種可能，一是，二是，120xx??12xx??所以要分類討論解：解：(1)∵方程兩實根的積為5∴222121[(1)]4(1)034412154kkkkxxk?????????????????????所以，當時，方程兩實根的積為54k?(2)由得知：12||xx?①當時，，所以方程有兩相等實數根，故；10x?12xx?302k????②當時，，由于10x?12120101xxxxkk????????