排列、組合復習課

1、排列、組合復習課,一、基本內(nèi)容,1、兩個原理： ①分類計數(shù)加法原理（加法原理）：完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N= m1+ m2 +…..+ mn種不同的方法.,②分步計數(shù)乘法原理（乘法原理）：完成一件事需要 n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2 步有m2種不同的方法， ……做第

2、n步有mn種不 同的方法，那么完成這件事共有N= m1× m2 ×.…..× mn種不同的方法.,③兩個原理的區(qū)別：前者各種方法相互獨立，用其中的任何一種方法都可以完成這件事；后者每個步驟相互依存，只有每個步驟都完成了，這件事才算完成。對前者的應用，如何分類是關鍵，如排數(shù)時有0沒有0，排位時的特殊位置等；后者一般體現(xiàn)在先選后排。,⒉排列與排列數(shù),定義：一般地，從n個

3、不同元素中取出m個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用 表示.,,有關公式:,,⒊組合與組合數(shù):,定義：一般地，從n個不同元素中取出m個元素，并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用 表示。,,有關公式:,,⒋排列與組合的區(qū)別：前者先選出元

4、素，再按一定的順序排成一列，后者只要選出元素并成一組即可；兩個排列相同當且僅當兩個排列的元素完全相同，且元素的順序也相同，如abc與acb是不同的排列；兩個組合相同，只要元素完全相同，可從集合的觀點來看，如{a,b,c}{a,c,b}是同一集合。,⒌常用解題方法及適用題目類型,⑴直接法：特殊元素法、特殊位置法（兩者適用某一個或幾個元素在指定的位置或不在指定的位置）、捆綁法（兩個或兩個以上的元素必須相鄰）、插空法 （兩個或兩個以上的元素必

5、須不相鄰）、擋板法（相同的元素分成若干部分，每部分至少一個） ⑵間接法（排除法,正難則反的思想）．,⒍高考中考查的思想方法：　分類、分步、對稱、逆向思維、　整體等．,例1 學校組織老師學生一起看電影，同一排電影票12張。8個學生，4個老師，要求老師在學生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？,解 先排學生共有A88 種排法,然后把老師插入學生之間的空檔，共有7個空檔可插,選其中的4個空檔,共有 A74種選法.根據(jù)

6、乘法原理,共有的不同坐法為A88A74 種.,結(jié)論1 插空法:對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題,可以用插入法.即先排好沒有限制條件的元素,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可.,分析 此題涉及到的是不相鄰問題,并且是對老師有特殊的要求,因此老師是特殊元素,在解決時就要特殊對待.所涉及問題是排列問題.,例2 5個男生3個女生排成一排,3個女生要排在一起,有多少種不同的排法?,,,,解

7、 因為女生要排在一起,所以可以將3個女生看成是一個人,與5個男生作全排列,有A66 種排法,其中女生內(nèi)部也有A33 種排法,根據(jù)乘法原理,共有A66A33種不同的排法.,結(jié)論2 捆綁法:要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內(nèi)部也可以作排列.,分析 此題涉及到的是排隊問題,對于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她們要相鄰,

8、因此可以將她們看成是一個元素來解決問題.,例3 高二年級8個班,組織一個12個人的年級學生分會,每班要求至少1人,名額分配方案有多少種?,解 此題可以轉(zhuǎn)化為:將12個相同的白球分成8份,有多少種不同的分法問題,因此須把這12個白球排成一排,在11個空檔中放上7個隔板,每個空檔最多放一個,即可將白球分成8份,顯然有 種不同的放法,所以名額分配方案有 種.,,,結(jié)論3 隔板法:解決指標分配問題,分析 此題若直接去考慮的話

9、,就會比較復雜.但如果我們將其轉(zhuǎn)換為等價的其他問題,就會顯得比較清楚,方法簡單,結(jié)果容易理解.,例4 袋中有5分不同硬幣23個,1角不同硬幣10個,如果從袋中取出2元錢,有多少種取法?,解 把所有的硬幣全部取出來,將得到 0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3個5分或1個5分與1個1角,所以共有 種

10、取法.,,結(jié)論4： 剩余法:在組合問題中,有多少取法,就有多少種剩法,他們是一一對應的,因此,當求取法困難時,可轉(zhuǎn)化為求剩法.,分析 此題是一個組合問題,若是直接考慮取錢的問題的話,情況比較多,也顯得比較凌亂,難以理出頭緒來.但是如果根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)考慮剩余問題的話,就會很容易解決問題.,例5、9人排成一行，下列情形分別有多少種排法？　 ⑴甲不站排頭，乙不站排尾,點評：利用對稱的思想，（一）先排甲（特殊元素優(yōu)先考慮）（

11、二）先排尾位(特殊位置優(yōu)先考慮） (三）間接法,練習： 用0，1，2，3，4這五個數(shù)，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中1不在個位的數(shù)共有_______種。,⑵甲乙必須排在一起，丙丁不能排在一起,點評：小團體排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合不相鄰問題的插空處理。,練習：(2005 ·遼寧)用１、２、３、４、５、６、７、８組成沒有重復數(shù)字的八位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰，這樣的八位數(shù)

12、共有___________個．（用數(shù)字作答）,,,,引申:用１、２、３、４、５、６、組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，現(xiàn)將7、8 插進去，仍要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，那么八位數(shù)共有___________個．（用數(shù)字作答）,[A3323（A42+A41A22）=960],⑶甲乙丙從左到右排列（固定順序問題）分析：,,評：對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先將這幾個元素與其它元

13、素一同進行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù).,引申：有三人從左到右順序一定,,點評：定序問題除法處理,分析：,練習： 有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，將7名學生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？,⑷前排三人，中間三人，后排三人 分析：,,,引申：前排一人，中間二人，后排六人,點評：分排問題直排處理,練習： 七人坐兩排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，則有多少種不同的坐

14、法？,⑸分成甲、乙、丙三組，甲組4人，乙組3人，丙組2人。 分析：,,,,引申：①分成甲、乙、丙三組，一組4人，一組3 人， 一組2人分析：,②分成甲、乙、丙三組，每組3人。分析：,⑹分成三組，每組3人分析：,,,引申：分成三組，一組5人，另兩組各兩人分析：,點評：局部均分無序問題易出錯,,實驗法（窮舉法）,題中附加條件增多，直接解決困難時，用實驗逐步尋求規(guī)律有時也是行之有效的方法。,例 將數(shù)字1，2，3

15、，4填入標號為1，2，3，4的四個方格內(nèi)，每個方格填1個，則每個方格的標號與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（ ）,A.6 B.9 C.11 D.23,分析：此題考查排列的定義，由于附加條件較多，解法較為困難，可用實驗法逐步解決。,第一方格內(nèi)可填2或3或4。如填2，則第二方格中內(nèi)可填1或3或4。,若第二方格內(nèi)填1，則第三方格只能填4，第

16、四方格應填3。,,若第二方格內(nèi)填3，則第三方格只能填4，第四方格應填1。,同理，若第二方格內(nèi)填4，則第三方格只能填1，第四方格應填3。因而，第一格填2有3種方法。,不難得到，當?shù)谝桓裉?或4時也各有3種，所以共有9種。,練 習 （不對號入座問題）,（1）（2004湖北）將標號為1，2，3，……，10的10個球放入標號為1，2，3，……，10的10個盒子中，每個盒內(nèi)放一個球，恰好有3個球的標號與其所在盒子的標號不一致的放入方法有__

17、_________種,,,（2）編號為1、2、3、4、5的五個球放入編號為1、2、3、4、5的五個盒子里，至多有2個對號入座的情形有___________種,109,住店法,解決“允許重復排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：,一類元素可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客”，能重復的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。,例6 七名學生爭奪五項冠軍，每項冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有（ ）,

18、A. B. C D.,分析：因同一學生可以同時奪得n項冠軍，故學生可重復排列，將七名學生看作7家“店”，五項冠軍看作5名“客”，每個“客”有7種住宿法，由乘法原理得 種。,注：對此類問題，常有疑惑，為什么不是 呢？,,,,,,,,用分步計數(shù)原理看，5是步驟數(shù)，自然是指數(shù)。,對應法

19、,例7 在100名選手之間進行單循環(huán)淘汰賽（即一場比賽失敗要退出比賽），最后產(chǎn)生一名冠軍，問要舉行幾場？,分析：要產(chǎn)生一名冠軍，需要淘汰掉冠軍以外的所有選手，即要淘汰99名選手，淘汰一名選手需要進行一場比賽，所以淘汰99名選手就需要99場比賽。,例8、高二（1）班從7人中選4人組成4×100m接力賽其中甲乙二人不跑中間兩棒，有多少種選法？,點評：排列組合綜合題的解法應遵循在分類的基礎上，先組合后排列的原則，分類與

20、分步相結(jié)合，分類時做到不重復不遺漏.,練習:（徐州二檢）從6人中選4人組成4×100m接力賽，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少種選法？分析：（一）直接法 （二）間接法,48,例9、從正方體的6個面中任選3個，其中2個面不相鄰的選法有多少種？,練習：從正方體的8個頂點中選4個作四面體，則不同的四面體的個數(shù)為 。,58,練習：（南通一檢）一個三位數(shù)，其十位上的數(shù)字既小于百位上的

21、數(shù)字也小于個位上的數(shù)字（如７３５，４１４等），那么這樣的三位數(shù)有　　 個．,285,練習1 某人射擊8槍，命中4槍，那么命中的4槍中恰有3槍是連中的情形有幾種？,練習2 一排8個座位，3人去坐，每人兩邊至少有一個空座的坐法有多少種？,練習3 馬路上有編號為1,2,3,……10的十只路燈,為節(jié)約電而不影響照明,可以把其中的三只路燈關掉,但不能同時關掉相鄰的兩只或三只,也不能關掉馬路兩端的燈,問滿足條件的關燈方法有多少種？,練習4 A

22、、B、C、D、E五人站成一排，如果B必須站在A的右邊，那么不同的站法有多少種？,練習5 某電路有5個串聯(lián)的電子元件,求發(fā)生故障的不同情形數(shù)目?,（A52）,（A43）,（C63）,（A55/2）,（25—1=31）,三、小結(jié) 本節(jié)課，我們對有關排列組合的幾種常見的基本解法加以復習鞏固。排列組合歷來是學習中的難點，通過我們平時做的歷屆高考題，不難發(fā)現(xiàn)其應用題的特點是條件隱晦，難以挖掘，題目多變，解法獨特，數(shù)字龐大，難以