高中排列組合知識(shí)點(diǎn)匯總及典型例題(全)

1、一基本原理1加法原理：做一件事有n類辦法，則完成這件事的方法數(shù)等于各類方法數(shù)相加。2乘法原理：做一件事分n步完成，則完成這件事的方法數(shù)等于各步方法數(shù)相乘。注：做一件事時(shí)，元素或位置允許重復(fù)使用，求方法數(shù)時(shí)常用基本原理求解。二排列：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一.mnmnA有排列的個(gè)數(shù)記為個(gè)元素的一個(gè)排列，所個(gè)不同元素中取出列，叫做從1.公式：1.????????!!121mnnmnnnnAmn??????

2、?……2.規(guī)定：0!1?(1)!(1)!(1)!(1)!nnnnnn???????(2)![(1)1]!(1)!!(1)!!nnnnnnnnn????????????；(3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!nnnnnnnnn?????????????三組合：從n個(gè)不同元素中任取m（m≤n）個(gè)元素并組成一組，叫做從n個(gè)不同的m元素中任取m個(gè)元素的組合數(shù)，記作Cn。1.公式：??????CAAnnnmmnmnmnmnm

3、mm???????11……!!!!10?nC規(guī)定：組合數(shù)性質(zhì)：.2nnnnnmnmnmnmnnmnCCCCCCCC21011??????????……，，①；②；③；④11112111212211rrrrrrrrrrrrrrrrrrnnrrrnnrrnnnCCCCCCCCCCCCCCC???????????????????????????????注：若12mm1212m=mmmnnnCC??則或四處理排列組合應(yīng)用題1.①明確要完成的是一件

4、什么事（審題）②有序還是無序③分步還是分類。2解排列、組合題的基本策略（1）兩種思路：①直接法；②間接法：對(duì)有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應(yīng)用題時(shí)一種常用的解題方法。（2）分類處理：當(dāng)問題總體不好解決時(shí)，常分成若干類，再由分類計(jì)數(shù)原理得出結(jié)論。注意：分類不重復(fù)不遺漏。即：每兩類的交集為空集，所有各類的并集為全集。（3）分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解決時(shí)，常常分成若干步，再由分

5、步計(jì)數(shù)原理解決。在處理排列組合問題時(shí)，常常既要分類，又要分步。其原則是先分類，后分步。（4）兩種途徑：①元素分析法；②位置分析法。3排列應(yīng)用題：（1）窮舉法（列舉法）：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來；(2)、特殊元素優(yōu)先考慮、特殊位置優(yōu)先考慮；（3）相鄰問題：捆邦法：對(duì)于某些元素要求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行排列。（4）、全不相鄰問題，插空法：某些元

6、素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插空法.即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入。（5）、順序一定，除法處理。先排后除或先定后插解法一：對(duì)于某幾個(gè)元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在總位置中選出定序元素的位置不參加排列，先對(duì)其他元素進(jìn)行排列，剩余的幾個(gè)位置放定序的

7、元素，若定序元素要求從左到右或從右到左排列，則只有1種排法；若不要求，則有2種排法；（6）“小團(tuán)體”排列問題——采用先整體后局部策略對(duì)于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團(tuán)體”時(shí)，可先將“小團(tuán)體”看作一個(gè)元素與其余元素排列，最后再進(jìn)行“小團(tuán)體”內(nèi)部的排列。（7）分排問題用“直排法”把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。（8）數(shù)字問題（組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)）①能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)；不能被2整除的數(shù)的特征：末位

8、數(shù)是奇數(shù)。②能被3整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)；③能被9整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)④能被4整除的數(shù)的特征：末兩位是4的倍數(shù)。⑤能被5整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是0或5。⑥能被25整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是25，50，75。⑦能被6整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的偶數(shù)。4組合應(yīng)用題：（1）.“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法:（2）“含”與“不含”用間接排除法或分類法:3分組問題：均勻分組：分步取，得組合數(shù)

9、相乘，再除以組數(shù)的階乘。即除法處理。非均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘。即組合處理?；旌戏纸M：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以均勻分組的組數(shù)的階乘。4分配問題：定額分配：（指定到具體位置）即固定位置固定人數(shù)，分步取，得組合數(shù)相乘。隨機(jī)分配：（不指定到具體位置）即不固定位置但固定人數(shù)，先分組再排列，先組合分堆后排，注意平均分堆除以均勻分組組數(shù)的階乘。5隔板法：不可分辨的球即相同元素分組問題例1.電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和

10、2個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.解：分二步：首尾必須播放公益廣告的有A22種；中間4個(gè)為不同的商業(yè)廣告有A44種，從而應(yīng)當(dāng)填A(yù)22A44＝48.從而應(yīng)填48例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法？解一：間接法：即65546554720212024504AAAA????????解二：（1）分類求解：按甲排與不排在最右端分類.[解析]先安排甲、乙兩人在后5天

11、值班，有A＝20(種)排法，其余5人再進(jìn)行排列，有A＝120(種)排法，所以共有20120＝2400(種)安255排方法11今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列有________種不同的排法(用數(shù)字作答)[解析]由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實(shí)際上是一個(gè)組合問題，共有CCC＝1260(種)排法4925312將6位志愿者分成4組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人，分赴世博會(huì)的四個(gè)不同場館服務(wù)，不同的分配

12、方案有________種(用數(shù)字作答)[解析]先將6名志愿者分為4組，共有種分法，再將4組人員分到4個(gè)不同場館去，共有A種分法，故所有分C26C24A24配方案有：A＝1080種C26C24A2413要在如圖所示的花圃中的5個(gè)區(qū)域中種入4種顏色不同的花，要求相鄰區(qū)域不同色，有________種不同的種法(用數(shù)字作答)[解析]5有4種種法，1有3種種法，4有2種種法若1、3同色，2有2種種法，若1、3不同色，2有1種種法，∴有432(12

13、＋11)＝72種14.14.將標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中若每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號(hào)為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（A）12種（B）18種（C）36種（D）54種【解析】標(biāo)號(hào)12的卡片放入同一封信有種方法；其他四封信放入兩個(gè)信封，每個(gè)信封兩個(gè)有種方法，共有種，故選B.15.15.某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1