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1、排列、組合典型例題分析排列、組合典型例題分析例1設(shè)有3名學(xué)生和4個(gè)課外小組(1)每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組;(2)每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組,而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加各有多少種不同方法?解(1)由于每名學(xué)生都可以參加4個(gè)課外小組中的任何一個(gè),而不限制每個(gè)課外小組的人數(shù),因此共有種不同方法(2)由于每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組,而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加,因此共有種不同方法點(diǎn)評(píng)由于要讓3名學(xué)生逐個(gè)選擇課外小組,故兩問(wèn)都用乘法
2、原理進(jìn)行計(jì)算例2排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四的不同排法共有多少種?解依題意,符合要求的排法可分為第一個(gè)排、、中的某一個(gè),共3類,每一類中不同排法可采用畫(huà)“樹(shù)圖”的方式逐一排出:∴符合題意的不同排法共有9種點(diǎn)評(píng)按照分“類”的思路,本題應(yīng)用了加法原理為把握不同排法的規(guī)律,“樹(shù)圖”是一種具有直觀形象的有效做法,也是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)模型例3例3判斷下列問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題?并計(jì)算出結(jié)果(1)高三年級(jí)學(xué)生會(huì)有1
3、1人:①每?jī)扇嘶ネㄒ环庑?,共通了多少封信?②每?jī)扇嘶ノ樟艘淮问?,共握了多少次手??)高二年級(jí)數(shù)學(xué)課外小組共10人:①?gòu)闹羞x一名正組長(zhǎng)和一名副組長(zhǎng),共有多少種不同的選法?②從中選2名參加省數(shù)學(xué)競(jìng)賽,有多少種不同的選法?(3)有2,3,5,7,11,13,17,19八個(gè)質(zhì)數(shù):①?gòu)闹腥稳蓚€(gè)數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商?②從中任取兩個(gè)求它的積,可以得到多少個(gè)不同的積?(4)有8盆花:①?gòu)闹羞x出2盆分別給甲乙兩人每人一盆,有多少種不同的選
4、法?②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法?分析(1)①由于每人互通一封信,甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信,所以與順序有關(guān)是排列;②由于每?jī)扇嘶ノ找淮问?,甲與乙握手,乙與甲握手是同一次握手,與順序無(wú)關(guān),所以是組合問(wèn)題其他類似分析(1)①是排列問(wèn)題,共用了封信;②是組合問(wèn)題,共需握手(次)(2)①是排列問(wèn)題,共有(種)不同的選法;②是組合問(wèn)題,共有種不同的選法(3)①是排列問(wèn)題,共有種不同的商;②是組合問(wèn)題,共有種不同的積(4)①
5、是排列問(wèn)題,共有種不同的選法;②是組合問(wèn)題,共有種不同的選法例4例4證明證明左式右式∴等式成立點(diǎn)評(píng)這是一個(gè)排列數(shù)等式的證明問(wèn)題,選用階乘之商的形式,并利用階乘的性質(zhì),可使變形過(guò)程得以簡(jiǎn)化例5化簡(jiǎn)解法一原式解法二原式點(diǎn)評(píng)解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式,并利用階乘的性質(zhì);解法二選用了組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì),都使變形過(guò)程得以簡(jiǎn)化例6解方程:(1);(2)解(1)原方程解得(2)原方程可變?yōu)椤?,,∴原方程可化為即,解得?5位高中畢業(yè)生,準(zhǔn)備報(bào)考3
6、所高等院校,每人報(bào)且只報(bào)一所,不同的報(bào)名方法共有多少種解:5個(gè)學(xué)生中每人都可以在3所高等院校中任選一所報(bào)名,因而每個(gè)學(xué)生都有3種不同的報(bào)名方法,根據(jù)乘法原理,得到不同報(bào)名方法總共有33333=35(種)應(yīng)選B.例10從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái),其中至少要有甲型與乙型電視機(jī)各1臺(tái),則不同取法共有().A.140種B.84種C.70種D.35種解:取出的3臺(tái)電視機(jī)中,甲型電視機(jī)分為恰有一臺(tái)和恰有二臺(tái)兩種情形.∵C24C25C1
7、4=56104=70.∴應(yīng)選C.例11某小組共有10名學(xué)生,其中女生3名,現(xiàn)選舉2名代表,至少有1名女生當(dāng)選的不同選法有()A.27種B.48種C.21種D.24種解:分恰有1名女生和恰有2名女生代表兩類:∵C13C17C23=373=24,∴應(yīng)選D.例12由數(shù)學(xué)0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有().A.210個(gè)B.300個(gè)C.464個(gè)D.600個(gè)解:先考慮可組成無(wú)限制條件的六位數(shù)有多少個(gè)應(yīng)
8、有P15P55=600個(gè).由對(duì)稱性,個(gè)位數(shù)小于十位數(shù)的六位數(shù)和個(gè)位數(shù)大于十位數(shù)的六位數(shù)各占一半.∴有600=300個(gè)符合題設(shè)的六位數(shù).應(yīng)選B.例13以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有().A.70個(gè)B.64個(gè)C.58個(gè)D.52個(gè)解:如圖,正方體有8個(gè)頂點(diǎn),任取4個(gè)的組合數(shù)為C48=70個(gè).其中共面四點(diǎn)分3類:構(gòu)成側(cè)面的有6組;構(gòu)成垂直底面的對(duì)角面的有2組;形如(ADB1C1)的有4組.∴能形成四面體的有70624=58(組)應(yīng)選C.例
9、14如果把兩條異面直線看成“一對(duì)”,那么六棱錐的棱所在的12條直線中,異面直線共有().A.12對(duì)B.24對(duì)C.36對(duì)D.48對(duì)解:設(shè)正六棱錐為O—ABCDEF.任取一側(cè)棱OA(C16)則OA與BC、CD、DE、EF均形成異面直線對(duì).∴共有C164=24對(duì)異面直線.應(yīng)選B.例15正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn),以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共個(gè)(以數(shù)字作答).解:7點(diǎn)中任取3個(gè)則有C37=35組.其中三點(diǎn)共線的有3組(正六邊形有3條直徑).∴
10、三角形個(gè)數(shù)為353=32個(gè).例16設(shè)含有10個(gè)元素的集合的全部子集數(shù)為S,其中由3個(gè)元素組成的子集數(shù)為T(mén),則的值為。解10個(gè)元素的集合的全部子集數(shù)有:S=C010C110C210C310C410C510C610C710C810C910C1010=210=1024其中,含3個(gè)元素的子集數(shù)有T=C310=120故=例17例17在50件產(chǎn)品n中有4件是次品,從中任意抽了5件,至少有3件是次品的抽法共種(用數(shù)字作答).解:“至少3件次品”即“有
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