[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)柴中林第7講

1、,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第七講,主講教師：柴中林副教授,中國計(jì)量學(xué)院理學(xué)院,問題的提出,在實(shí)際中，人們有時(shí)對隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣。如: 已知圓軸截面直徑 D 的分布,,§2.4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布,求截面面積 的分布。,又如：已知 t=t0 時(shí)刻噪聲電流 I 的分布，,求功率 W=I2R (R為電阻) 的分布等。,一般地，設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布已知，求Y = g(X) (設(shè) g 是連續(xù)

2、函數(shù)) 的分布。,這個(gè)問題無論在理論上還是在實(shí)實(shí)際中都非常重要。,2.4.1 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,解：當(dāng) X 取值 -1，0，1，2 時(shí)， Y 取對應(yīng)值 4，1，0 和 1。,由 P{Y=0} = P{X=1}=0.1， P{Y=1} = P{X=0}+P{X=2} = 0.3+0.4 = 0.7， P{Y=4} = P{X=-1} = 0.2 .,例1：設(shè)隨機(jī)變量 X 有如下概率分布：,

3、求 Y= (X – 1)2 的概率分布。,得 Y 的概率分布：,一般地，若X是離散型 隨機(jī)變量，概率分布為,如果 g(x1), g(x2), …, g(xk), … 中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可得到一串互不相同 (不妨認(rèn)為從小到大) 的 y1, y2 ,…, yi ,….,把 yi 所對應(yīng)的所有xk ( 即yi = g(xk) ) 的 pk相加，記成 qi , 則 q1, q2, …, qi ,…就是Y = g(X)

4、 的概率分布。,例2：在應(yīng)用上認(rèn)為: 單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)地區(qū)發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)服從泊松分布。設(shè)某城市一個(gè)月內(nèi)發(fā)生火災(zāi)的次數(shù) X～P(5)，試求隨機(jī)變量Y=|X-5|的概率分布。,解：由于X的所有可能取值為0, 1, 2, …, 對應(yīng)的概率分布為,及Y=|X-5|可知，Y 的所有可能取值為0, 1, 2, …。且對每個(gè) i，當(dāng) 0< i≤ 5時(shí)，有 k=5+i 和k=5-i 兩個(gè) k 值與 i 對應(yīng), 使 |k-5|=i ;,

5、當(dāng)i=0 或 i≥6 時(shí)，只有一個(gè) k 值與 i 對應(yīng)，使|k-5|=i 。于是，Y的概率分布為：,2.4.2 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,解：設(shè) Y 的分布函數(shù)為 FY(y)，則,例3：設(shè)隨機(jī)變量X 有概率密度,求 Y = 2X+8 的概率密度。,于是Y 的密度函數(shù),注意到,得,求導(dǎo)可得,當(dāng) y>0 時(shí),,例4：設(shè) X 具有概率密度fX(x)，求Y=X2的密度。,解：設(shè)Y 和X的分布函數(shù)分別為FY(y)和FX(x),,注意到

6、 Y=X2 ≥0，故當(dāng) y≤0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=0；,若,則 Y=X2 的概率密度為：,從上述兩例中可以看到, 在求P(Y≤y)的過程中, 關(guān)鍵的一步是設(shè)法從{ g(X)≤y }中解出X,從而得到與 {g(X)≤y }等價(jià)的X的不等式 。例如: 用{X≤(y-8)/2 } 代替 {2X+8≤y},,用 代替{ X2≤ y }。,這樣做是為了利用已知的 X的分布，求出相應(yīng)的Y的分

7、布函數(shù) FY (y)。,這是求隨機(jī)變量函數(shù) Y = g(X) 的分布函數(shù)的一種常用方法。,例5：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,求 Y = sinX 的概率密度。,解：注意到,,當(dāng) y≤0 時(shí)， FY(y)=0；,當(dāng) y≥1時(shí)，F(xiàn)Y(y)=1；,當(dāng) 0< y <1時(shí),,而,對 FY (y) 求導(dǎo)，得,所以,定理的證明與前面的解題思路類似。,其中 x = h(y) 是 y = g(x) 的反函數(shù)，,,定理1: 設(shè) X是一個(gè)取值于區(qū)

8、間[a, b], 具有概率密度 fX(x)的連續(xù)型隨機(jī)變量, 又設(shè) y= g(x)處處可導(dǎo)的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù), 記 (α, β) 為g(x)的值域，則隨機(jī)變量Y = g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為,例6：設(shè)隨機(jī)變量X在 (0,1) 上服從均勻分布，求 Y=-2ln X 的概率密度。,易知0 <X<1.在區(qū)間 (0, 1) 上，函數(shù) ln X < 0，,故 Y=-2ln X >0,,解：設(shè)Y 和X的分布函數(shù)分別

9、為FY(y)和FX(x),,故當(dāng) y≤0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=0；,已知 X 在 (0,1) 上服從均勻分布，,當(dāng)y>0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P(Y≤y)=P(-2lnX ≤y)=P(X ≥e(-y/2) ),得,得,本節(jié)介紹隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題。對于連續(xù)型隨機(jī)變量，在求Y=g(X) 的分布時(shí), 關(guān)鍵一步是把事件 { g(X)≤ y } 轉(zhuǎn)化為X在一定范圍內(nèi)取值 {X∈ G} 的形式，然后利用 X 的分布求 P { g(X)≤y }。,小