[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)柴中林第1講

1、自我簡(jiǎn)介,姓名：柴中林職稱：副教授辦公室：格致中樓524電話：15381035845,幾點(diǎn)提示,本課程是主干課程，有一定難度，要認(rèn)真學(xué)習(xí)，不可輕視。,作業(yè)：一周交一次(周一)，交到我 辦公室。兩個(gè)本子輪換。作業(yè)是打平時(shí)分的依據(jù)。注：按規(guī)定，每次只改一半作業(yè),概率論有多種教材，但內(nèi)容是相同的。因此，不妨以我們的教材為主學(xué)習(xí)。,若想看課件，可在郵箱mathsmodeling@163.com下載，密碼518516,,,概率論與數(shù)理

2、統(tǒng)計(jì)第一講,主講教師：柴中林副教授,中國計(jì)量學(xué)院理學(xué)院,隨機(jī)現(xiàn)象,人們所觀察到的現(xiàn)象大體上分成兩類： 1. 確定性現(xiàn)象或必然現(xiàn)象：在某些確定的條件滿足 時(shí)，某一確定的結(jié)果必然發(fā)生的現(xiàn)象，或根據(jù)它 的過去狀態(tài)，可以預(yù)知其將來的發(fā)展?fàn)顟B(tài)的現(xiàn)象。 2. 偶然性現(xiàn)象或隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下有多種可能結(jié)果。可以知道發(fā)生的所有結(jié)果，但發(fā)生什么結(jié)果事先無法預(yù)知?；蚣词怪浪^去的狀態(tài)，也不能肯定它將來的狀 態(tài)的現(xiàn)象

3、。,下列現(xiàn)象中哪些是隨機(jī)現(xiàn)象？,在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下, 水在100℃時(shí)沸騰；明天的最高溫度; C. 擲一顆骰子，觀察其向上點(diǎn)數(shù)；D. 上拋的物體一定下落；E. 一將出生嬰兒體重； F. 同性電荷相斥。,√,√,√,×,×,×,隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn),對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀察 、觀測(cè)或測(cè)量，每次出現(xiàn)的結(jié)果是多個(gè)可能結(jié)果中的一個(gè)，“每次結(jié)果都是不可預(yù)知的”； 但“所有可能的結(jié)果是已知的”。對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量重復(fù)觀測(cè)

4、后就會(huì)發(fā)現(xiàn)：隨機(jī)現(xiàn)象的發(fā)生具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。,例如: 兩個(gè)選手進(jìn)行乒乓球比賽，一個(gè)強(qiáng)，一個(gè)弱。對(duì)某一次發(fā)球來講哪位選手會(huì)得分是無法預(yù)知的（偶然性）。即對(duì)于個(gè)別發(fā)球來講，強(qiáng)手會(huì)得分，弱者也會(huì)。然而若舉行一場(chǎng)比賽，連續(xù)的打多個(gè)球后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：無論開始領(lǐng)先的誰，最后總是強(qiáng)者領(lǐng)先（必然性），戰(zhàn)勝了弱者。,你能因此明白為什么在體操、跳水比賽中，總是要多個(gè)裁判給運(yùn)動(dòng)員打分，而在跳遠(yuǎn)、跳高比賽中，要給選手多次機(jī)會(huì)嗎？,又如: 一門火炮在一定條

5、件下進(jìn)行射擊，個(gè)別炮彈的彈著點(diǎn)可能偏離目標(biāo)(有隨機(jī)誤差)，但多枚炮彈的彈著點(diǎn)就呈現(xiàn)出一定的規(guī)律。如：命中率等。,“天有不測(cè)風(fēng)云”和“天氣可以預(yù)報(bào)”有無矛盾?,☆ 天有不測(cè)風(fēng)云指：隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果具有偶然性，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)很難發(fā)生（超乎我們想象）的結(jié)果；☆ 天氣可以預(yù)報(bào)指：觀測(cè)者通過大量的 氣象資料對(duì)天氣進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到天氣的變化規(guī)律。,???,想一想,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究?jī)?nèi)容,隨機(jī)現(xiàn)象有偶然的一面，也有必然的一面。偶然性一面表現(xiàn)在“對(duì)

6、隨機(jī)現(xiàn)象做一次觀測(cè)時(shí)，觀測(cè)結(jié)果具有偶然性”；必然性一面表現(xiàn)在“對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量重復(fù)觀測(cè)時(shí)，觀測(cè)結(jié)果有一定的規(guī)律性，即統(tǒng)計(jì)規(guī)律性”。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)分支。,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)有廣泛應(yīng)用,(1).金融、信貸、醫(yī)療保險(xiǎn)等行業(yè)策略制定；,(2).流水線上產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)與質(zhì)量控制；,(3).服務(wù)性行業(yè)中服務(wù)設(shè)施及服務(wù)員配置；,(4).生物醫(yī)學(xué)中病理試驗(yàn)與藥理試驗(yàn)；,(5).食品保質(zhì)期、彈藥貯存分析，電器

7、與電 子產(chǎn)品壽命分析；,(6). 物礦探測(cè)、環(huán)保監(jiān)測(cè)、機(jī)械仿生與考古；,§1.1 基本概念,1.1.1 隨機(jī)試驗(yàn)與事件,I. 隨機(jī)試驗(yàn),把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的一次觀察、觀測(cè)或測(cè)量稱為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)(假設(shè)試驗(yàn)可以重復(fù)乃至人為的進(jìn)行)，也簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，記為 E 。注：以后所提到的試驗(yàn)均指隨機(jī)試驗(yàn)。,第一章 隨機(jī)事件,隨機(jī)試驗(yàn)舉例E1: 擲一顆骰子，觀察所擲的點(diǎn)數(shù)是幾;E2: 觀察某城市某個(gè)月內(nèi)交通事故發(fā)生的次數(shù);E3: 對(duì)

8、某只燈泡做試驗(yàn),觀察其使用壽命;E4: 對(duì)某只燈泡做試驗(yàn),觀察其使用壽命是否小 于200小時(shí)。,對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)，盡管在每次試驗(yàn)之前不能預(yù)知試驗(yàn)結(jié)果，但試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所構(gòu)成的集合卻是已知的。,若以Ωi 表示 試驗(yàn) Ei 的樣本空間, i=1,2,3,4, 則 ◆ E1: 擲一顆骰子，觀察所擲的點(diǎn)數(shù)是幾， Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}；,稱試驗(yàn)所有可能結(jié)果所構(gòu)成的集合為樣本空間，記為Ω。

9、,II. 樣本空間,樣本空間的元素， 即隨機(jī)試驗(yàn)的單個(gè)結(jié)果稱為樣本點(diǎn)。,E2: 觀察某城市某個(gè)月內(nèi)交通事故發(fā)生次數(shù)， Ω2 = {0,1,2,…}；E3: 對(duì)某只燈泡實(shí)驗(yàn)，觀察其使用壽命， Ω3 = {t|t≥0}；,E4: 對(duì)某只燈泡做實(shí)驗(yàn),觀察其使用壽命是否 小于200小時(shí)， Ω4={壽命小于200小時(shí)，壽命不小于200小時(shí)}。,III.隨機(jī)事件 把樣本空間Ω的任意一個(gè)子集（或一些樣本

10、點(diǎn)的集合）稱為一個(gè)隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件。常用大寫字母 A, B, C 等表示。 特別地，如果事件只含一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果(樣本空間中的一個(gè)元素，即樣本點(diǎn))，則稱該事件為基本事件；否則為復(fù)合事件。,例1：寫出試驗(yàn) E1的樣本空間，下述集合表示什么事件？指出哪些是基本事件：解：Ω1={1,2,3,4,5,6}. A1={1},A2={2},…,A6={6}━━分別表示所擲結(jié)果為一點(diǎn)至六點(diǎn)，都是基本事件； B={2,4,6}━

11、━表示所擲結(jié)果為偶數(shù)點(diǎn)，復(fù)合事件； C={1,3,5}━━表示所擲結(jié)果為奇數(shù)點(diǎn)，復(fù)合事件； D={4,5,6}━━表示 所擲結(jié)果為四點(diǎn)或四點(diǎn)以上（大），復(fù)合事件。,(1).由于樣本空間Ω包含了所有的樣本點(diǎn),且 是Ω自身的一個(gè)子集。故,在每次試驗(yàn)中 Ω總是發(fā)生。因此, 稱Ω為必然事件。(2).空集?不包含任何樣本點(diǎn)，但它也是樣本 空間Ω的一個(gè)子集，由于它在每次試驗(yàn)中 肯定

12、不發(fā)生，所以稱?為不可能事件。,注意: 只要做試驗(yàn),就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)結(jié)果,即樣本空間Ω中就會(huì)有一個(gè)點(diǎn)(樣本點(diǎn)?)出現(xiàn)。當(dāng)結(jié)果? ? A 時(shí)，稱事件A發(fā)生。,1.1.2 事件的關(guān)系與運(yùn)算,I. 集合與事件,回憶: 做試驗(yàn) E 時(shí),若??A,則稱事件 A 發(fā)生。,集合A包含于集合B: 若對(duì) ?? ?A, 總有? ?B,則稱集合A包含于集合B, 記成A?B。,事件A包含于事件B: 若事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生，則稱事件A包含于事件B, 記成A

13、?B。,若A?B, 且B?A, 則稱事件A與B相等, 記成A=B。,集合A與B的并或和：若? ?C, 當(dāng)且僅當(dāng)? ?A或??B,則稱集合C為集合A與B的并或和,記成 A∪B 。,事件A與B的并或和：若事件 C發(fā)生, 當(dāng)且僅當(dāng)事件 A或 B發(fā)生, 則稱事件C為事件A與B的并或和, 記成 A∪B 。,無窮可列個(gè)事件A1,A2,…的并,n個(gè)事件 A1,A2,…,An的并,C發(fā)生就是A1,A2,…, An中至少一個(gè)事件發(fā)生。,C 發(fā)生就是

14、A1,A2,… 中至少一個(gè)發(fā)生。,集合A與集合B的交或積：若? ?C, 當(dāng)且僅當(dāng)? ?A且 ? ?B, 則稱集合C為集合A與B的交或積，記成A∩B或AB。,事件A與B的積或交：若事件C發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件A與B同時(shí)發(fā)生,則稱事件C為事件A與B的積或交，記成 A∩B或AB。,特別地,當(dāng)AB=Ø時(shí)，稱A與B為互斥事件(或互不相容事件)，簡(jiǎn)稱A與B互斥。也就是說事件A與B不能同時(shí)發(fā)生。,例 1(續(xù))：A1={1}, A2={2}

15、, 于是 A1A2=Ø。故A1與A2互斥；B={2,4,6}, C={1,3,5}, 于是 BC=Ø，故B與C也互斥。,無窮可列個(gè)事件A1,A2,…的交,n個(gè)事件A1,A2,…,An的交,C 發(fā)生就是A1,A2,…, An都發(fā)生。,C 發(fā)生就是A1,A2,…都發(fā)生。,集合A與集合B的差：若? ?C當(dāng)且僅當(dāng)? ?A且? B，則稱集合C為集合A與B的差，記成 A-B。,事件A與B的差：若事件C發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事

16、件A發(fā)生且事件B不發(fā)生，則稱事件C為事件A與B的差,記成 A－B。,特別地，稱Ω-A為 A 的對(duì)立事件(或 A的逆事件、補(bǔ)事件)等，記成 。,例1(續(xù))：A1={1}, B ={2,4,6},于是,就是 A不發(fā)生。,交換律: A∪B=B∪A，AB=BA；結(jié)合律: A∪(B∪C)=(A∪B)∪C， A(BC)=(AB)C；分配律: A(B∪C)=AB∪AC， A∪(BC)=(A∪B

17、)(A∪C)；對(duì)偶律:,II. 事件的運(yùn)算法則(與集合運(yùn)算法則相同),不是A,B中至少有一個(gè)發(fā)生,A, B均不發(fā)生,對(duì)于多個(gè)隨機(jī)事件,上述運(yùn)算規(guī)則也成立,A(A1∪A2∪…∪An)=(AA1)∪(AA2)∪…∪(AAn)，,A ∪(A1A2…An)=(A∪A1)(A ∪A2)…(A ∪ An)，,例2：甲、乙、丙三人各向靶子打一槍，用A、B、C分別表示他們擊中目標(biāo)的事件，試用它們表示下列事件： （1）三人全中：