[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)柴中林第11講

1、,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第十一講,主講教師：柴中林副教授,中國(guó)計(jì)量學(xué)院理學(xué)院,,前面討論了隨機(jī)變量及其分布。 如果我們知道了隨機(jī)變量 X 的概率分布，那么，關(guān)于 X 的全部概率特征也就知道了。,然而，在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布是較難確定的。且有時(shí)在實(shí)際應(yīng)用中，我們并不需要知道隨機(jī)變量的所有性質(zhì)，只要知道其一些數(shù)字特征就夠了。,因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征是非常重要的。,最常用的數(shù)字特征是：期望和方差。,4.1.1

2、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,概念引入：,某車間對(duì)工人生產(chǎn)情況進(jìn)行考察，車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù) X 是一個(gè)隨機(jī)變量。如何定義 X 的平均值？,§4.1 數(shù)學(xué)期望,第四章 數(shù)字特征,若統(tǒng)計(jì)了100天小張生產(chǎn)產(chǎn)品的情況，發(fā)現(xiàn)：,可以得到這100天中每天的平均廢品數(shù)為,32天沒(méi)有出廢品；30天每天出一件廢品；17天每天出兩件廢品；21天每天出三件廢品。,可以想象：若另外再統(tǒng)計(jì)100天，其中不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天

3、數(shù)與前面的100天一般不會(huì)完全相同，即另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定就是1.27。,n0天沒(méi)有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.,可以得到這n天中，每天的平均廢品數(shù)為,(假定每天至多出三件廢品),一般來(lái)說(shuō), 若統(tǒng)計(jì)了n天,,這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均,由頻率與概率的關(guān)系，,,不難想到：求廢品數(shù)X的平均值時(shí)，用概率替代頻率，得平均值為：,這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均,這樣，就得到一個(gè)確定的

4、數(shù) ——隨機(jī)變量X的期望(均值) 。,定義1: 設(shè)X是離散型隨機(jī)變量, 概率分布為 P{X=xk}=pk , k=1,2, …。,也就是說(shuō)：離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)和。,為X 的數(shù)學(xué)期望(或均值)。,在 X 取可列無(wú)窮個(gè)值時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂可以保證“級(jí)數(shù)之值不因級(jí)數(shù)各項(xiàng)次序的改排而

5、發(fā)生變化”，這樣E(X)與X取值的認(rèn)為與排列次序無(wú)關(guān)。,例1： 有4只盒子，編號(hào)為1, 2, 3, 4?，F(xiàn)有3個(gè)球，將球逐個(gè)獨(dú)立地隨機(jī)放入4只盒子中去。用X 表示其中至少有一個(gè)球的盒子的最小號(hào)碼，E(X)。,解：首先求X 的概率分布。X 所有可能取的值是1, 2, 3, 4。{X=i} 表示i號(hào)盒中至少有一個(gè)球，i=1, 2, 3, 4。,為求 P{X=1}，考慮 {X=1} 的對(duì)立事件：{1號(hào)盒中沒(méi)有球}，其概率為 (3/4)3，因此

6、,{X=2} 表示 {1號(hào)盒中沒(méi)有球，而2號(hào)盒中至少有一個(gè)球}，類似地得到：,于是，,1.兩點(diǎn)分布：X ～ B(1, p), 0 < p < 1，則 E(X)= 1?p + 0?(1-p) = p .,常用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,2.二項(xiàng)分布：X ～ B(n, p)，其中 0 < p < 1，則,例2：某種產(chǎn)品次品率為 0.1。檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn) 4 次,每次

7、隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，如發(fā)現(xiàn)次品數(shù)大于 1, 就調(diào)整設(shè)備。 若各件產(chǎn)品是否為次品相互獨(dú)立, 求一天中調(diào)整設(shè)備次數(shù)的期望。,解：用X 表示10件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X~B(10, 0.1)，每次檢驗(yàn)后需要調(diào)整設(shè)備的概率為,用 Y 表示一天中調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，則Y~B(n, p)，其中n=4, p=0.2639。所求期望,3. 泊松分布: X ～ P(?)，其中? > 0 ，則 E(X)= ? .,,,4.1.2 連續(xù)

8、型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù) f(x) 在數(shù)軸上取很密的點(diǎn) x0< x1< x2<…, 則X 落在小區(qū)間 [xi , xi+1) 的概率是,在小區(qū)間[xi, xi+1)上,陰影面積≈,小區(qū)間[Xi, Xi+1),由于xi與xi+1很接近, 所以區(qū)間[xi, xi+1)中的值可用 xi 來(lái)近似地替代。,這正是,的漸近和式。,陰影面積≈,該離散型r.v 的數(shù)學(xué)期望是,從該啟示出發(fā)，我們給出如下定

9、義。,定義2：設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為 f (x), 如果 有限，則稱,為X的數(shù)學(xué)期望。,也就是說(shuō)：連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的積分值.,例3：設(shè)隨機(jī)變量X 的概率密度為,求 E(X) 。,解：,,若X ~ U[a, b], 即X服從[a, b]上的均勻分布, 則,若X 服從參數(shù)為 λ 的指數(shù)分布，則,由隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義，不難計(jì)算出：,若X 服從

10、 ，則,這意味著：若從該地區(qū)抽查很多成年男子，分別測(cè)量他們的身高。則這些身高的平均值近似地為1.68。,已知某地區(qū)成年男子身高X~,例4：設(shè)某型號(hào)電子管的壽命X服從指數(shù)分布,平均壽命為1000小時(shí), 計(jì)算 P{1000<X≤1200}。,解：由 E(X) = 1/λ = 1000，知 λ = 0.001，X的概率密度為,4.1.3 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,I. 問(wèn)題的提出：,設(shè)隨機(jī)變量X的分布已知，需

11、要計(jì)算的量并非X的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說(shuō)是 g(X) 的期望。那么，如何計(jì)算呢？,一種方法是：由于g(X) 也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，其分布可以由X的分布求出。一旦知道了g(X) 的分布, 就可以按照期望的定義把 E[g(X)] 計(jì)算出來(lái)。,但使用該方法 必須先求出g(X)的分布。一般說(shuō)來(lái)，這是比較復(fù)雜的事。,那么, 可否不求g(X)的分布，而只根據(jù)X的分布來(lái)計(jì)算 E[g(X)] 呢？,答案是肯定的。且有如下公式：

12、,設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，Y=g(X)，則,,當(dāng)X為離散型時(shí), P(X= xk)=pk ; 當(dāng)X為連續(xù)型時(shí), X 的密度函數(shù)為 f(x)。,該公式的重要性在于：當(dāng)我們求 E[g(X)]時(shí), 不必求g(X)的分布，而只需知道X的分布足矣。這對(duì)求 g(X) 的期望帶來(lái)了極大方便。,例5： 設(shè) X ～ N(0 , 1)，求 E(X2)。,解：,例 6：設(shè)國(guó)際市場(chǎng)上對(duì)我國(guó)某種出口商品每年的需求量是隨機(jī)變量X(單位: 噸)。X服從區(qū)間[200

13、0, 4000] 上的均勻分布。每銷售出一噸商品,可為國(guó)家賺取外匯3萬(wàn)元；若銷售不出, 則每噸商品需貯存費(fèi)1萬(wàn)元。求：應(yīng)組織多少貨源，才能使國(guó)家收益最大?,解：設(shè)組織貨源 t 噸。顯然，應(yīng)要求2000≤t ≤4000。國(guó)家收益Y(單位:萬(wàn)元)是X 的函數(shù)Y=g(X)。表達(dá)式為,由已知條件, 知X的概率密度函為,可算得當(dāng) t = 3500 時(shí)， E(Y)=-2t2 + 14000t-8000000達(dá)到最大值 1.55&#

14、215;106。 因此，應(yīng)組織3500噸貨源。,說(shuō)明,前面我們給出了求g(X)的期望的方法。實(shí)際上，該結(jié)論可輕易地推廣到兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù) Z = g(X,Y)的情形。,設(shè)二維離散型隨機(jī)向量 (X, Y) 的概率分布為 pij, i=1, 2, ? ， j=1, 2, ? . 則：,設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的密度函數(shù)為 f (x, y), 則:,例7：設(shè)二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布如下表所示，求Z=X2+Y

15、的期望.,E(Z)= g(1,1)?0.125+g(1,2)?0.25 +g(2,1)?0.5+g(2,2)?0.125,解：,= 4.25.,例8：設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，概率密度分別為,求 E(XY)。,解：,因 G(X,Y)=XY, X 和Y 相互獨(dú)立。,所以，,3.1.4 期望的性質(zhì),(1). 設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C;,(4). 設(shè) X, Y 相互獨(dú)立，則 E(XY)=E(X)E(Y);,(2)

16、. 若k是常數(shù)，則E(kX)=kE(X);,(3). E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);,注意:由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y獨(dú)立,推廣：,推廣：,(諸Xi 獨(dú)立時(shí))。,期望性質(zhì)的應(yīng)用,例9: 求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望。,分析：若 X ~ B(n, p)，則 X 表示n重貝努里試驗(yàn)中“成功”的次數(shù)。,設(shè),則 X = X1+X2+…+Xn，,i=1,2,…n.,,由此可見(jiàn)：服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布的

17、隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是 np。,= np .,因?yàn)?P{Xi =1}= p,,P{Xi =0}= 1-p，,所以 E(X)=,E (Xi ) = p，,例10：將 n個(gè)球放入M個(gè)盒子中, 設(shè)每個(gè)球落入各個(gè)盒子是等可能的,求有球的盒子數(shù)X 的期望。,解：引入隨機(jī)變量,則 X=X1+X2+…+XM .于是,,E(X)=E(X1)+E(X2)+ …+E(XM).,每個(gè)Xi都服從兩點(diǎn)分布，i =1,2,…,M。,因每個(gè)球落入每個(gè)盒子是等可