[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)柴中林第19講

1、,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第十九講,主講教師：柴中林副教授,中國(guó)計(jì)量學(xué)院理學(xué)院,§7.5 正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)(二),在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到兩個(gè)正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)問題。,于是，評(píng)價(jià)新技術(shù)的效果問題，就歸結(jié)為研究?jī)蓚€(gè)正態(tài)總體均值之差 ?1-?2 的問題。,例如：考察一項(xiàng)新技術(shù)對(duì)提高產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的作用，將實(shí)施新技術(shù)前的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)看成正態(tài)總體 N(?1, ?12)，實(shí)施新技術(shù)后產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)看成正態(tài)總體 N(?2, ?22)。

2、,定理1：設(shè) X1, X2, ···, Xm是抽自正態(tài)總體X 的簡(jiǎn)單樣本，X～N(?1, ?12)，樣本均值與樣本方差為,Y1, Y2, ···, Yn 是抽自正態(tài)總體 Y 的簡(jiǎn)單樣本，Y ～N(?2, ?22)，樣本均值與樣本方差為,當(dāng)兩樣本相互獨(dú)立時(shí)，有,證明:,I.由基本定理(見定理6.4.1)，知,故，(1) 式成立；,且二者相互獨(dú)立。,且(3)式與(4)式中的隨機(jī)變量

3、相互獨(dú)立。由 t 分布的定義，得,N(0,1),χ 2m+n-2,換形式,~ t m+n -2 .,分母互換,利用該定理，我們可以得到 μ1-μ2 的置信系數(shù)為 1-α 的置信區(qū)間。,例1 (比較棉花品種的優(yōu)劣)：假設(shè)用甲、乙兩種棉花紡出的棉紗強(qiáng)度分別為 X～N(?1, 2.182)和Y ～N(?2, 1.762)。試驗(yàn)者從這兩種棉紗中分別抽取樣本 X1, X2 ,…, X200 和 Y1, Y2, …, Y100，樣本均值分別為

4、:,求 ?1-?2 的置信系數(shù)為 0.95 的區(qū)間估計(jì)。,解: ?1=2.18, ?2=1.76, m=200, n=100, ?=0.05,由(5)式，得? 1-? 2 的置信系數(shù)為 1-? 的置信區(qū)間為,例2：某公司利用兩條自動(dòng)化流水線灌裝礦泉水。設(shè)這兩條流水線所裝礦泉水的體積 (單位:毫升) X～N(?1, ?2) 和 Y～N(?2, ?2)?，F(xiàn)從生產(chǎn)線上分別抽取 X1, X2,…, X12 和 Y1, Y2, …, Y

5、17，樣本均值與樣本方差分別為:,求 ? 1-? 2 的置信系數(shù)為0.95的區(qū)間估計(jì)。,解：m=12, n=17, ? = 0.05，再由其他已知條件及(7)式，可算出,查 t 分布表，得 tm+n-2(α /2) = t27(0.025)=2.05.,再由(6)式，得? 1-? 2 的置信系數(shù)為 1-? 的置信區(qū)間,在這兩個(gè)例子中，? 1-? 2 的置信區(qū)間都包含了零，也就是說：? 1可能大于? 2，也可能小于? 2。這時(shí)我們

6、認(rèn)為二者沒有顯著差異。,§7.6 非正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì),前面兩節(jié)討論了正態(tài)總體分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。但是在實(shí)際應(yīng)用中，我們有時(shí)不能判斷手中的數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布，或者有足夠理由認(rèn)為它們不服從正態(tài)分布。這時(shí)，只要樣本大小 n 比較大，總體均值 μ 的置信區(qū)間仍可用正態(tài)總體情形的公式,或,σ2已知時(shí),σ2未知時(shí),所不同的是：這時(shí)的置信區(qū)間是近似的。,這是求一般總體均值的一種簡(jiǎn)單有效的方法，其理論依據(jù)是中心極限定理，它要求樣本大小

7、n 比較大。因此，這個(gè)方法稱為大樣本方法。,設(shè)總體均值為 μ, 方差為σ2 , X1, X2, …, Xn 為來自總體的樣本。因?yàn)檫@些樣本獨(dú)立同分布的，根據(jù)中心極限定理，對(duì)充分大的 n, 下式近似成立,因而，近似地有,于是， μ 的置信系數(shù)約為1-α 的置信區(qū)間為,當(dāng)σ2未知時(shí)，用σ2的某個(gè)估計(jì)，如 S2 來代替，得到,只要 n 很大，(2)式所提供的置信區(qū)間在應(yīng)用上是令人滿意的。,那么，n 究竟多大才算很大呢？,顯然，對(duì)于相同

8、的 n , (2)式所給出的置信區(qū)間的近似程度隨總體分布與正態(tài)分布的接近程度而變化，因此，理論上很難給出 n 很大的一個(gè)界限。,但許多應(yīng)用實(shí)踐表明：當(dāng) n≥30時(shí)，近似程度是可以接受的；當(dāng) n≥50時(shí)，近似程度是很好的。,例1：某公司欲估計(jì)自己生產(chǎn)的電池壽命?，F(xiàn)從其產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 50 只電池做壽命試驗(yàn)。這些電池壽命的平均值為 2.266 (單位：100小時(shí))，標(biāo)準(zhǔn)差 S=1.935。求該公司生產(chǎn)的電池平均壽命的置信系數(shù)為 95%

9、 的置信區(qū)間。,解：查正態(tài)分布表，得 zα /2= z0.025=1.96，由公式 (2)，得電池平均壽命的置信系數(shù)為 95% 的置信區(qū)間為,設(shè)事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 p， 現(xiàn)在做 n 次試驗(yàn)，以Yn記事件 A 發(fā)生的次數(shù),則 Yn ~ B(n, p)。依中心極限定理，對(duì)充分大的 n，近似地有,7.6.1 二項(xiàng)分布,(3)式是(1)式的特殊情形。,(4)式就是二項(xiàng)分布參數(shù) p 的置信系數(shù)約為1-α 的置信區(qū)間。,例2：商品檢

10、驗(yàn)部門隨機(jī)抽查了某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品100件，發(fā)現(xiàn)其中合格產(chǎn)品為84件，試求該產(chǎn)品合格率的置信系數(shù)為0.95的置信區(qū)間。,解：n=100, Yn=84, α =0.05, zα/2=1.96, 將這些結(jié)果代入到(4)式，得 p 的置信系數(shù)為0.95的近似置信區(qū)間為 [0.77, 0.91]。,例3：在環(huán)境保護(hù)問題中, 飲水質(zhì)量研究占有重要地位， 其中一項(xiàng)工作是檢查飲用水中是否存在某種類型的微生物。假設(shè)在隨機(jī)抽取的100份一定容積的

11、水樣品中有20份含有這種類型的微生物。試求同樣容積的這種水含有這種微生物的概率 p 的置信系數(shù)為0.90的置信區(qū)間。,解：n=100, Yn=20, α =0.10, zα/2=1.645, 將這些結(jié)果代入到(4)式，得 p 的置信系數(shù)為0.90的近似置信區(qū)間為 [0.134, 0.226]。,7.6.2 泊松分布,設(shè) X1, X2 ,…, Xn 為抽自具有泊松分布P(λ)的總體的樣本，因?yàn)?E(X)=Var(X) =λ，應(yīng)

12、用(2)式，并用,7.6.2 泊松分布,例4：公共汽車站在一單位時(shí)間內(nèi) (如半小時(shí),或1小時(shí), 或一天等) 到達(dá)的乘客數(shù)服從泊松分布 P(λ), 對(duì)不同的車站, 所不同的僅僅是參數(shù) λ 的取值不同?，F(xiàn)對(duì)一城市某一公共汽車站進(jìn)行了100個(gè)單位時(shí)間的調(diào)查。這里單位時(shí)間是20 分鐘。計(jì)算得到每 20 分鐘內(nèi)來到該車站的乘客數(shù)平均值為 15.2 人。試求參數(shù) λ 的置信系數(shù)為 95%的置信區(qū)間。,解: n=100, α =0.05