[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件第5章

1、數(shù) 理 統(tǒng) 計 部分,第五章,樣本與統(tǒng)計量,引 言,隨機(jī)變量及其所伴隨的概率分布全面描述了隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計性規(guī)律。,概率論的許多問題中，隨機(jī)變量的概率分布通常是已知的，或者假設(shè)是已知的，而一切計算與推理都是在這已知是基礎(chǔ)上得出來的。,但實際中，情況往往并非如此，一個隨機(jī)現(xiàn)象所服從的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概型，但是其中的某些參數(shù)是未知的。,引 言,例如：,某公路上行駛車輛的速度服

2、從什么分布是未知的；,電視機(jī)的使用壽命服從什么分布是未知的；,產(chǎn)品是否合格服從兩點分布，但參數(shù)——合格率p是未知的；,數(shù)理統(tǒng)計的任務(wù)則是以概率論為基礎(chǔ)，根據(jù)試驗所得到的數(shù)據(jù)，對研究對象的客觀統(tǒng)計規(guī)律性做出合理的推斷。,從第五章開始，我們學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識。數(shù)理統(tǒng)計的任務(wù)是以概率論為基礎(chǔ)，根據(jù)試驗所得到的數(shù)據(jù)，對研究對象的客觀統(tǒng)計規(guī)律性作出合理的推斷.數(shù)理統(tǒng)計所包含的內(nèi)容十分豐富，本書介紹其中的參數(shù)估計、假設(shè)檢驗、方差分析、回歸

3、分析等內(nèi)容.第五章主要介紹數(shù)理統(tǒng)計的一些基本術(shù)語、基本概念、重要的統(tǒng)計量及其分布，它們是后面各章的基礎(chǔ)。,學(xué)習(xí)的基本內(nèi)容,樣本與統(tǒng)計量,總體與樣本,在數(shù)理統(tǒng)計中，把研究對象的全體稱為總體（population)或母體，而把組成總體的每個單元稱為個體。,抽樣,要了解總體的分布規(guī)律，在統(tǒng)計分析工作中，往往是從總體中抽取一部分個體進(jìn)行觀測，這個過程稱為抽樣。,樣本與統(tǒng)計量,子樣,子樣

4、 是n個隨機(jī)變量，抽取之后的觀測數(shù)據(jù) 稱為樣本值或子樣觀察值。,在抽取過程中，每抽取一個個體，就是對總體X進(jìn)行一次隨機(jī)試驗，每次抽取的n個個體 ，稱為總體X的一個容量為n的樣本（sample）或子樣；其中樣本中所包含的個體數(shù)量稱為樣本容量。,隨機(jī)抽樣方法的基本要求,獨立性——即每次抽樣的結(jié)果既不影響其余各次抽樣的

5、 結(jié)果，也不受其它各次抽樣結(jié)果的影響。,滿足上述兩點要求的子樣稱為簡單隨機(jī)子樣.獲得簡單隨機(jī)子樣的抽樣方法叫簡單隨機(jī)抽樣.,代表性——即子樣( )的每個分量 與總體 具有相同的概率分布。,從簡單隨機(jī)子樣的含義可知，樣本 是來自總體 、與總體 具有相同分布的隨機(jī)變量.,簡單隨機(jī)抽

6、樣,例如：要通過隨機(jī)抽樣了解一批產(chǎn)品的次品率，如果每次抽取一件產(chǎn)品觀測后放回原來的總量中，則這是一個簡單隨機(jī)抽樣。,但實際抽樣中，往往是不再放回產(chǎn)品，則這不是一個簡單隨機(jī)抽樣。但當(dāng)總量N很大時，可近似看成是簡單隨機(jī)抽樣。,統(tǒng)計量,定義 設(shè)（ ）為總體X的一個樣本， 為不含任何未知參數(shù)的連續(xù)函數(shù)，則稱

7、 為樣本（ ）的一個統(tǒng)計量。,則,例如： 設(shè) 是從正態(tài)總體 中抽取的一個樣本，其中 為已知參數(shù), 為未知參數(shù)，,是統(tǒng)計量,不是統(tǒng)計量,幾個常用的統(tǒng)計量,樣本均值（sample mean),設(shè) 是總體 的一個樣本，,樣本方差(sample

8、 variance),樣本均方差或標(biāo)準(zhǔn)差,它們的觀測值用相應(yīng)的小寫字母表示.反映總體X取值的平均，或反映總體X取值的離散程度。,幾個常用的統(tǒng)計量,設(shè) 是總體 的一個樣本，,子樣的K階（原點）矩,幾個常用的統(tǒng)計量,設(shè) 是總體 的一個樣本，,子樣的K階中心矩,它包括兩個方面——數(shù)據(jù)整理

9、 計算樣本特征數(shù),數(shù)據(jù)的簡單處理,為了研究隨機(jī)現(xiàn)象，首要的工作是收集原始數(shù)據(jù).一般通過抽樣調(diào)查或試驗得到的數(shù)據(jù)往往是雜亂無章的，需要通過整理后才能顯示出它們的分布狀況。,數(shù)據(jù)的簡單處理是以一種直觀明了方式加工數(shù)據(jù)。,計算樣本特征數(shù)：,數(shù)據(jù)的簡單處理,（1）反映趨勢的特征數(shù),樣本均值,中位數(shù)：數(shù)據(jù)按大小順序排列后，位置居中的那個數(shù) 或居中的兩個數(shù)的平均數(shù)。,眾數(shù)：樣本中出現(xiàn)最多的

10、那個數(shù)。,數(shù)據(jù)的簡單處理,（2）反映分散程度的特征數(shù)：極差、四分位差,極差——樣本數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差，,四分位數(shù)——將樣本數(shù)據(jù)依概率分為四等份的3個數(shù)椐， 依次稱為第一、第二、第三四分位數(shù)。,第一四分位數(shù)Q1：,第二四分位數(shù)Q2：,第三四分位數(shù)Q3：,例1 為對某小麥雜交組合F2代的株高X進(jìn)行研究，抽取容量為100的樣本，測試的原始數(shù)據(jù)記錄如下(單位：厘米)，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，畫出它的

11、頻率直方圖，求隨機(jī)變量X的分布狀況。 87 88111 91 73 70 92 98105 94 99 91 98110 98 97 90 83 92 88 86 94102 99 89104 94 94 92 96 87 94 92 86102 88 75 90 90 80 84 91 82 94 99102 91 96 94 94

12、 85 88 80 83 81 69 95 80 97 92 96109 91 80 80 94102 80 86 91 90 83 84 91 87 95 76 90 91 77103 89 88 85 95 92104 92 95 83 86 81 86 91 89 83 96 86 75 92,第一．整理原始數(shù)據(jù)，加工為分組資料，作

13、出頻率分布表，畫直方圖，提取樣本分布特征的信息.步驟如下：,1.找出數(shù)據(jù)中最小值m=69，最大值M=111，極差為 M－m=42,2.數(shù)據(jù)分組，根據(jù)樣本容量n的大小，決定分組數(shù)k。,一般規(guī)律 30≤n≤40 5≤k≤6 40≤n≤60 6≤k≤8 60≤n≤100 8≤k≤

14、10 100≤n≤500 10≤k≤20,數(shù)據(jù)分組數(shù)參考表,一般采取等距分組（也可以不等距分組），組距等于比極差除以組數(shù)略大的測量單位的整數(shù)倍。,本例取k=9.,本例測量單位為1厘米，組距為,3．確定組限和組中點值。,注意：組的上限與下限應(yīng)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)。,當(dāng)取a=67.5，b=112.49（a略小于m，b略大于M，且a和b都比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)），分組如下：,一般根據(jù)算式：

15、 各組中點值 組距=組的上限或下限,[67.5,72.5) [72.5,77.5) [77.5,82.5) [82.5,87.5) [87.5,92.5) [92.5,97.5) [97.5,102.5) [102.5,107.5) [107.5,112.5),組中值分別為：70 75 80 85 90 95 100 10

16、5 110,4．將數(shù)據(jù)分組，計算出各組頻數(shù)，作頻數(shù)、頻率分布表,作頻率直方圖,5.作出頻率直方圖,以樣本值為橫坐標(biāo)，頻率/組距為縱坐標(biāo)；,以分組區(qū)間為底，以 為高,,從頻率直方圖可看到：靠近兩個極端的數(shù)據(jù)出現(xiàn)比較少，而中間附近的數(shù)據(jù)比較多，即中間大兩頭小的分布趨勢，——隨機(jī)變量分布狀況的最粗略的信息。,在頻率直方圖中， 每個矩形面積恰好等于樣本值落在該矩形對應(yīng)的分組區(qū)間內(nèi)

17、的頻率，即,頻率直方圖中的小矩形的面積近似地反映了樣本數(shù)據(jù)落在某個區(qū)間內(nèi)的可能性大小，故它可近似描述X的分布狀況。,樣本方差 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 Q1 Q3 極差 四分位差 68.6909 8.288 85.25 95 42 4.875,第二．計算樣本特征數(shù),1.反映集中趨勢的特征數(shù)：樣本均值、中位數(shù)、眾數(shù)等,樣本均值MEAN 中位數(shù)MEDIAN

18、 眾數(shù),2.反映分散程度的特征數(shù)：樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、 極差、四分位差等,上述差異特征統(tǒng)計量的值越小，表示離散程度越小.,MTB > set c1DATA> 87 88 111 91 73 70 92 98 105 94 99 91 98 DATA> 110 98 97 83 90 83 92 88 86 94 102 99 89 104 DAT

19、A> 94 94 92 96 87 94 92 86 102 88 75 90 90 80 DATA> 84 91 82 94 99 102 91 96 94 94 85 88 80 83 DATA> 81 69 95 80 97 92 96 109 91 80 80 94 102 DATA> 80 86 91 9

20、0 83 84 91 87 95 76 90 91 77 103DATA> 89 88 85 95 92 104 92 95 83 86 81 86 91 89 83 DATA> 96 86 75 92MTB > endMTB > describe c1,例1 DOS狀態(tài)下的MINITAB操作,顯示： N MEAN

21、 MEDIAN TRMEAN STDEV C1 100 90.300 91.000 90.322 8.288 SEMEAN MIN MAX Q1 Q3 C1 0.829 69.000 111.000 85.250 95.000,中位數(shù),第一四分位數(shù),第三四分位數(shù),MTB

22、>CODE (67.5:72.49)70 (72.5:77.49)75 (77.5:82.49)80 (82.5:87.49)85 (87.5:92.49)90 (92.5:97.49)95 (97.5:102.49)100 (102.5:107.49)105

23、 (107.5:112.49)110 C1 C2MTB>TALLY C2;SUBC>ALL.,,將C1數(shù)據(jù)列重新編碼，并保存到C2數(shù)據(jù)列,,顯示各列數(shù)據(jù)的頻數(shù)、累計頻數(shù)、頻率、累計頻率,C2 COUNTS CUMCNTS PERCENTS CUMPCENTS （頻數(shù)） （累計頻數(shù)） （頻率） （累計頻率） 1

24、 2 0.02 0.02 5 7 0.05 0.07 10 17 0.10 0.17 18

25、 35 0.18 0.35 30 65 0.30 0.65 18 83 0.18 0.83 10

26、 93 0.10 0.93 4 97 0.04 0.97 3 100 0.03 1.00,顯示結(jié)果,作業(yè) 習(xí)題五 P111

27、 2；3；4預(yù)習(xí) 第三節(jié) 統(tǒng)計量的分布,統(tǒng)計量的分布,統(tǒng)計量 是樣本 的不含任何未知數(shù)的函數(shù)，它是一個隨機(jī)變量,統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。,由于正態(tài)總體是最常見的總體，因此這里主要討論正態(tài)總體下的抽樣分布.,由于這些抽樣分布的論證要用到較多的數(shù)學(xué)知識，故在本節(jié)中，我們主要給出有關(guān)結(jié)論，以供應(yīng)用.,正態(tài)總體樣本均值的分布,設(shè)總體 ，

28、 是 的一個樣本, 則樣本均值服從正態(tài)分布,U—分布,概率分布的分位數(shù)(分位點),如圖.,P{X≥x?} =?,,,雙側(cè)? 分位數(shù)或雙側(cè)臨界值的特例,當(dāng)X的分布關(guān)于y軸對稱時，,則稱 為X分布的雙側(cè)?分位數(shù)或雙側(cè)臨界值.,如圖.,若存在 使,U—分布的上側(cè)分位數(shù),對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量U～N(0, 1)和給定?的，上側(cè)?分位數(shù)是由：,P{U≥u?} =,即,P{U<u?} =1

29、-?,?(u?) =1-?,確定的點u?.,如圖.,例如， ?=0.05，而,P{U≥1.645} =0.05,所以， u0.05 =1.645.,U—分布的雙側(cè)分位數(shù),的點u?/2為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)?分位數(shù)或雙側(cè)臨界值.,如圖.,u?/2可由P{U≥u?/2}=? /2,即 ?(u? /2) =1-? /2,反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到，,P{U≥1.96}=0.05 /2,例如，求u0.05/2，,得u0.05/2=1.96,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分

30、布的分位數(shù),在實際問題中， ?常取0.1、0.05、0.01.,常用到下面幾個臨界值：,u0.05 =1.645， u0.01 =2.326 u0.05/2=1.96， u0.01/2=2.575,數(shù)理統(tǒng)計中常用的分布除正態(tài)分布外，還有三個非常有用的連續(xù)型分布，即,數(shù)理統(tǒng)計的三大分布(都是連續(xù)型).,它們都與正態(tài)分布有密切的聯(lián)系.,！,在本章中特別要求掌握對正態(tài)分布、? 2分布、t分布、F分布的一些結(jié)論的熟練運(yùn)用.

31、它們是后面各章的基礎(chǔ).,——分布,定義 設(shè)總體 ， 是 的一個樣本, 則稱統(tǒng)計量 服從自由度為n的 分布，記作,自由度是指獨立隨機(jī)變量的個數(shù)，,分布的密度函數(shù)為,其圖形隨自由度的不同而有所改變.,?2分布表(附表3(P254) ).,分布密度函數(shù)的圖形,滿足,的數(shù) 為? 2分布的上?分位數(shù)或上側(cè)臨界值，,其幾何意義見圖5-5所

32、示.,其中f(y)是? 2-分布的概率密度.,顯然，在自由度n取定以后， 的值只與?有關(guān).,例如，當(dāng)n=21，?=0.05時，由附表3(P254)可查得，,32.67,即,? 2分布的上?分位數(shù),? 2分布的雙側(cè)?分位數(shù),把滿足,的數(shù),稱為? 2分布的雙側(cè)?分位數(shù),或雙側(cè)臨界值.,見圖.,顯然，,為? 2分布的上 分位數(shù).,為? 2分布的上 分位數(shù).,如當(dāng)n=8, ?=0.05時，,2.1

33、8,17.53,? 2分布的數(shù)學(xué)期望與方差（補(bǔ)充）,設(shè)? 2～? 2(n)，則E(? 2)=n，D(? 2)=2n.,? 2分布的可加性,設(shè),則,性質(zhì) 設(shè)(X1，X2，…，Xn)為取自正態(tài)總體X～N(? ，? 2)的樣本，則,證明,由已知，有,Xi～N(? ，? 2)且X1，X2，…，Xn相互獨立，,則,由定義5.3得,(P111第五題要用到此結(jié)論. ),定理5.1 設(shè)(X1，X2，…，Xn)為來自正態(tài)總體

34、 X～N(? ，? 2)的樣本，則,(1) 樣本均值 與樣本方差S 2相互獨立；,(5.8)式的自由度為什么是n-1？,從表面上看，,但實際上它們不是獨立的，,它們之間有一種線性約束關(guān)系：,=0,這表明，當(dāng)這個n個正態(tài)隨機(jī)變量中有n-1個取值給定時，剩下的一個的取值就跟著唯一確定了，故在這n項平方和中只有n-1項是獨立的.所以(5.8)式的自由度是n-1.,定理5.1 設(shè)(X1，X2，…，Xn)為來自正態(tài)總體

35、 X～N(? ，? 2)的樣本，則,(1) 樣本均值 與樣本方差S 2相互獨立；,與以下補(bǔ)充性質(zhì)的結(jié)論比較：,性質(zhì) 設(shè)(X1，X2，…，Xn)為取自正態(tài)總體X～N(? ，? 2)的樣本，則,三、t分布,定義5.4,設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，1)，Y～? 2(n) ，且X與Y相互獨立，則稱統(tǒng)計量,服從自由度為n的t分布或?qū)W生氏分布，,記作,t分布的概率密度函數(shù)為,T ～t(n).,其圖形如圖5-6所示

36、(P106)，,其形狀類似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度的圖形.,當(dāng)n較大時， t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,當(dāng)n較大時， t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,一般說來，當(dāng)n>30時，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)就非常接近.,但對較小的n值，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之間有較大差異.且P{|T|≥t0}≥P{|X|≥t0}，其中X ～N(0，1)，即在t分布的尾部比在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的尾部有著更大的概率.,t 分布的數(shù)學(xué)期望與方差（補(bǔ)充）,設(shè)T～t (n

37、)，則E(T)=0，D(T)=,定理5.2,設(shè)(X1，X2，…，Xn)為來自正態(tài)總體 X～N(? ，? 2)的樣本，則統(tǒng)計量,證,由定義5.4得,定理5.3,設(shè)(X1，X2，…，Xn1)和(Y1，Y2，…，Yn2) 分別是來自正態(tài)總體N(?1 ，?2)和N(?2 ，?2)的樣本，且它們相互獨立，則統(tǒng)計量,其中,、,分別為兩總體的樣本方差.,(證略).,t 分布的上?分位數(shù),對于給定的? (0<? <1)，稱滿足條件,的數(shù)t

38、?(n)為t分布的上?分位數(shù)或上側(cè)臨界值，,其幾何意義見圖5-7.,t 分布的雙側(cè)?分位數(shù),由于t分布的對稱性，稱滿足條件,的數(shù)t?/2(n)為t分布的雙側(cè)?分位數(shù)或雙側(cè)臨界值，,其幾何意義如圖5-8所示.,在附表4 (P256)中給出了t分布的臨界值表.,例如，當(dāng)n=15，?=0.05時，查t分布表得，,t0.05(15)= t0.05/2(15)=,1.753,2.131,其中t0.05/2(15)

39、由P{t(15)≥t0.025(15)}=0.025查得.,但當(dāng)n>45時，如無詳細(xì)表格可查，可以用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布代替t分布查t?(n)的值.,即,t?(n)≈u? ， n>45.,一般的t分布臨界值表中，詳列至n=30，當(dāng)n>30就用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0, 1)來近似.,四、F分布,服從第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，,概率密度函數(shù),其中,其圖形見圖5-9.(P108),F 分布的上?分位數(shù),對于

40、給定的? (0<? <1)，稱滿足條件,的數(shù)F?(n1，n2)為F分布的上?分位數(shù)或上側(cè)臨界值，,其幾何意義如圖5-7所示.,其中f(y)是F分布的概率密度.,F 分布的上?分位數(shù),F?(n1, n2)的值可由F 分布表查得.,附表5、6、7(P258～P266 )分? =0.1、? =0.05、? =0.01給出了F分布的上?分位數(shù).,當(dāng)時n1=2, n2=18時，有,F0.01(2, 18)=,6.01,在附表5、6、7

41、中所列的?值都比較小，當(dāng)? 較大時，可用下面公式,查表時應(yīng)先找到相應(yīng)的?值的表.,例如，,≈0.166,F 分布的雙側(cè)?分位數(shù),稱滿足條件,見圖.,顯然，,為F分布的上 分位數(shù)；,為F分布的上 分位數(shù)；,定理5.4,為正態(tài)總體 的樣本容量和樣本方差；,設(shè) 為正態(tài)總體 的樣本容量和樣本方差；,且兩個樣本相互獨立，則

42、統(tǒng)計量,,證明,由已知條件知,且相互獨立，,由F分布的定義有,小 結(jié)幾種常用分布的定義,正態(tài)總體樣本均值的分布,設(shè)總體 ， 是 的一個樣本, 則樣本均值服從正態(tài)分布,U—分布,——分布,定義 設(shè)總體 ， 是 的一個樣本, 則稱統(tǒng)計量 服從自由度為n的 分布，記作,自由度是指獨立隨機(jī)變量的個

43、數(shù)，,n個相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之平方和服從自由度為n的 分布,t—分布,定義5.4,設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，1)，Y～? 2(n) ，且X與Y相互獨立，則稱統(tǒng)計量,服從自由度為n的t分布或?qū)W生氏分布，,記作,T ～t(n).,t-分布的密度函數(shù)的圖形相似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù).當(dāng)n較大時， t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,F分布,服從第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，,例1 設(shè)總體X～N(0,1)， X1，X2，…，X

44、n為簡單隨機(jī)樣本，試問下列統(tǒng)計量各服從什么分布？,解,(1),因為Xi～N(0,1)，i=1, 2, …, n.,所以,X1-X2 ～N(0, 2)，,故,～t(2).,例1 設(shè)總體X～N(0,1)， X1，X2，…，Xn為簡單隨機(jī)樣本，試問下列統(tǒng)計量各服從什么分布？,續(xù)解,(2),因為X1～N(0,1)，,故,～t(n-1).,例1 設(shè)總體X～N(0,1)， X1，X2，…，Xn為簡單隨機(jī)樣本，試問下列統(tǒng)計量各服從什么分布？,

45、續(xù)解,(3),因為,所以,～F(3，n-3).,例2 若T～t(n)， 問T2服從什么分布？,解,因為T～t(n)，,可以認(rèn)為,其中U～N(0,1)， V～?2(n)，,U2～?2(1)，,～ F(1, n).,例3 設(shè)總體X～N(? , 42)， X1，X2，…，X10是n=10簡單隨機(jī)樣本， S2為樣本方差，已知P{S2>?}=0.1,求? .,解,因為n=10，n-1=9，? 2=42，,所以,～?2(9).,又,P