[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計王明慈第二版第5章數(shù)理統(tǒng)計的基本知識

1、2024/3/26,1,三大抽樣分布： 分布、t分布、F分布及其分位點.,第四節(jié)分布 t分布 F分布,基本內(nèi)容：,2024/3/26,2,定理1.設(shè),記作,1.定義,都服從標準,相互獨立,,正態(tài)分布N(0,1),,則隨機變量,一、,特別地,當k=1時,,2024/3/26,3,其概率密度函數(shù):,其圖形隨著參數(shù)k的變化而改變，如圖所示,2024/3/26,4,2. 分布的性質(zhì),(1)可加性:,且,則它們的和,此性質(zhì)推廣至多個變

2、量的情形:,2024/3/26,5,(2) 期望與方差 ( P927題),若X~ ?2(k)，則E(X)= k，D(X)=2k .,(3),分析： 由?2分布的定義知，,由中心極限定理可得結(jié)論.,2024/3/26,6,例1.,解：,由于X1, X2, X3相互獨立，且Xi ~N(0,9), 有,由可加性得,2024/3/26,7,3. 分布的分位點,定義1.,,2024/3/26,8,,,,,(P285),2024/3/26,9,

3、解:,經(jīng)查表2(P285)得,例2.,2024/3/26,10,二、t 分布,歷史上，正態(tài)分布由于其廣泛的應(yīng)用背景和,良好的性質(zhì)，曾被看作是“萬能分布”。,在這樣的背景下，十九世紀初英國一位年經(jīng),釀酒化學(xué)技師Gosset W S，,他在酒廠從事試驗和,數(shù)據(jù)分析工作，,對數(shù)據(jù)誤差有著大量的感性的,認識，,Gosset知道在總體均值和方差已知情況下，,2024/3/26,11,為“t分布”或“學(xué)生氏分布”.,但是Gosset在試驗中遇到的樣

4、本容量僅有5-6個,,在其中他發(fā)現(xiàn)實際數(shù)據(jù)的分布情況與正態(tài)分布,有著較大的差異。,,正態(tài)分布,,Gosset樣本曲線,于是Gosset懷疑存在一個不屬于正態(tài)的其他分布，,通過學(xué)習(xí)終于得到了新的概率密度曲線，,在1908年,以“Student”筆名發(fā)表了此項結(jié)果，后人稱此分布,2024/3/26,12,1.t 分布的定義,定理2. 設(shè)隨機變量X 與Y 相互獨立,,且,則隨機變量,服從自由度為k 的t 分布,,記作,又稱學(xué)生氏分布, 記為,

5、2024/3/26,13,①關(guān)于x =0 對稱；,,,,,,其概率密度函數(shù),t 分布的概率密度函數(shù)圖形如圖所示,②當k充分大時，其圖形,與標準正態(tài)分布圖形相似.,2024/3/26,14,例3.,解:,2024/3/26,15,2024/3/26,16,2. t 分布的分位點,定義2.,,,,,,2024/3/26,17,,,,(P286),2024/3/26,18,解:,經(jīng)查表3(P286)得,例4.試求,2024/3/26,19,三

6、、F分布,定理3. 設(shè)隨機變量X與Y相互獨立,,且,則隨機變量,服從自由度為(k1,k2)的F分布,,記作,1.定義,2024/3/26,20,,,,,,,,其圖形如圖所示：,2024/3/26,21,例5.設(shè)總體X～N(0,1), 而X1,X2,…,X15是來自總體,X的簡單隨機樣本，則隨機變量,分析：,所以,2024/3/26,22,2. F 分布的性質(zhì),證明：,定理：,2024/3/26,23,3.F 分布的分位點,定義3.,,,

7、,,2024/3/26,24,證明: 設(shè)F~F(k1,k2), 則,注：,,,得證!,由,等價變形,于是,即,( P147 8題 ),2024/3/26,25,,,,,(P287),2024/3/26,26,解:,經(jīng)查表4(P287)得,解:,例6.試求,2024/3/26,27,,第五節(jié)正態(tài)總體統(tǒng)計量的分布,基本內(nèi)容：,一、抽樣分布——統(tǒng)計量的分布；,二、正態(tài)總體下的抽樣分布,2024/3/26,28,一、統(tǒng)計量的分布,統(tǒng)計量是對樣

8、本信息的“加工”,,由于樣本是隨機變量,,故統(tǒng)計量有一定的概率分布.,我們稱統(tǒng)計量的分布為抽樣分布.,它依賴于樣本,,所以統(tǒng)計量也是隨機變量,,2024/3/26,29,二、正態(tài)總體下的抽樣分布,且有,性質(zhì).設(shè),相互獨立,,都服從正態(tài)分布,,則它們的線性組合,也服從正態(tài)分布,,其中,為常數(shù).,回顧正態(tài)分布的性質(zhì),2024/3/26,30,來自總體X的一個樣本,,則樣本均值,且,有,定理1.,(P1167題結(jié)論),2024/3/26,31

9、,1.單個正態(tài)總體下統(tǒng)計量的分布,(2)統(tǒng)計量,,標準化的樣本均值,,(1)統(tǒng)計量,…………①,…………②,2024/3/26,32,定理3.,(其中自由度減少一個，即n-1),(2) 統(tǒng)計量,…………③,2024/3/26,33,它們受到一個條件的約束：,減少一個自由度的原因：,2024/3/26,34,定理4.,則統(tǒng)計量,證明：,由定理2和定理3知,,…………④,2024/3/26,35,(1)已知總體,例7.,從總體X中抽取容量,

10、為16的樣本.,解:,則由定理2知:,2024/3/26,36,查表得,2024/3/26,37,(2),由定理4知:,已知,2024/3/26,38,,查表得：,2024/3/26,39,例8.,解:,2024/3/26,40,,,查表得,2024/3/26,41,所以,解:,2024/3/26,42,查表得,2024/3/26,43,2.兩個正態(tài)總體的統(tǒng)計量分布,令X1,X2, …,Xnx來自總體X的樣本,,樣本均值與,樣本方差分別

11、為,令Y1,Y2, …,Yny來自總體X的樣本,,樣本均值與,樣本方差分別為,2024/3/26,44,,則統(tǒng)計量,定理1.,2024/3/26,45,推論.,則統(tǒng)計量,(兩方差相同總體的統(tǒng)計量分布),2024/3/26,46,定理2.,則統(tǒng)計量,2024/3/26,47,(2)統(tǒng)計量,則(1)統(tǒng)計量,定理3.,2024/3/26,48,,1.了解三大抽樣分布：,2.了解正態(tài)總體下的某些統(tǒng)計量的抽樣分布.,內(nèi)容小結(jié),及其分位點，會查相應(yīng)

12、的數(shù)值表;,2024/3/26,49,作業(yè),習(xí)題五 (P146). 6, 7, 9, 10, 14, 15,2024/3/26,50,備用題,1.,則（ ）.,A. T服從t(n-1)分布; B. T服從t(n)分布; C. T服從N(0,1)分布; D. T服從F(1,n);,分析：,應(yīng)選B.,2024/3/26,51,2.,解：,由于,又,2024/3/26,52,2024/3/26,53,