[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)王明慈第二版第5章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)1-3節(jié)

1、2024/3/26,1,數(shù)理統(tǒng)計(jì)是概率論的應(yīng)用;,概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ).,前言,2. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本內(nèi)容,(1) 有效地收集數(shù)據(jù)；,(2) 對(duì)數(shù)據(jù)初步處理；,運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)推斷方法對(duì),(3) 分析數(shù)據(jù)的信息，,總體進(jìn)行推斷和預(yù)測,,得出合理的結(jié)論.,1. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的關(guān)系,2024/3/26,2,3. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)與計(jì)算機(jī)的結(jié)合,國內(nèi)外著名的統(tǒng)計(jì)軟件包: SPSS, SAS, Matlab,,可以讓你快速、簡便地進(jìn)行數(shù)據(jù)處理,這

2、大大普及了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用.,提供了強(qiáng)有力的技術(shù)支持.,計(jì)算機(jī)的誕生與發(fā)展為統(tǒng)計(jì)方法(數(shù)據(jù)處理),R、Stata等,,和分析,,2024/3/26,3,概率論中的一個(gè)最基本的假設(shè)——,在實(shí)際中,我們往往不知道隨機(jī)變量X確切分布,,研究對(duì)象X,這就是數(shù)理統(tǒng)計(jì)所討論問題的應(yīng)用背景.,它需要用,數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究內(nèi)容十分廣泛, 其中一類重要問題,便是統(tǒng)計(jì)推斷.,4. 實(shí)際案例的提出,已有的部分信息去推斷整體情況.,的分布已知.,2024/3/26,4

3、,比如：產(chǎn)前篩查(唐氏綜合征)課題,數(shù)據(jù)來源：溫州市二醫(yī) 產(chǎn)前篩查中心實(shí)驗(yàn)室,血清學(xué)指標(biāo)：AFP，hCG等,分析：,以AFP為例，據(jù)大量的醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)研究表明,AFP服從或近似服從正態(tài)分布，,其中分布的參數(shù),未知.,要分析研究此課題,,首先應(yīng)利用,AFP的數(shù)據(jù)(20054例)對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì),——參數(shù)估計(jì) (第6章).,2024/3/26,5,一、總體與樣本二、樣本分布函數(shù)與直方圖三、樣本函數(shù)與統(tǒng)計(jì)量四、 分布、t 分布、F 分布

4、五、正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布,第五章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí),基本內(nèi)容：,2024/3/26,6,第一節(jié) 總體與樣本,基本內(nèi)容： 一、總體與個(gè)體 二、(簡單) 隨機(jī)樣本 ★ 樣本的分布,2024/3/26,7,一、總體與個(gè)體,總體: 把研究對(duì)象的全體稱為總體 (或母體).,個(gè)體：總體中每個(gè)研究對(duì)象稱為個(gè)體.,例如, 考察溫醫(yī)

5、07屆本科生的學(xué)習(xí)質(zhì)量.,溫醫(yī)的該屆本科生的全體稱為一個(gè)總體；,其中的每一個(gè)本科生稱為一個(gè)個(gè)體.,2024/3/26,8,,總體,個(gè)體,例1.,考察某批電視機(jī)的壽命質(zhì)量，,的全體稱為一個(gè)總體,,這批電視機(jī),每臺(tái)電視機(jī)稱為一個(gè)個(gè)體.,2024/3/26,9,總體(指標(biāo))是指一個(gè)隨機(jī)變量,,隨機(jī)變量的一個(gè)取值.,通常，我們用隨機(jī)變量X, Y, Z 等表示總體.,因此，在理論上可以把總體與概率分布等同起來.,每個(gè)個(gè)體是,注：,實(shí)際上，我們常關(guān)

6、注總體的某項(xiàng)或幾項(xiàng)指標(biāo).,2024/3/26,10,二、隨機(jī)樣本,1.樣本的定義,樣本中所包含個(gè)體的數(shù)量n稱為樣本容量.,從總體X中，隨機(jī)地抽取n個(gè)個(gè)體：,稱為總體X的一個(gè)樣本，記為,注:,2024/3/26,11,(2)樣本是被調(diào)查的100名08屆該專業(yè)本科畢業(yè),例2.,(1)總體是該地區(qū)08屆該專業(yè)本科畢業(yè)生月薪;,(3)樣本容量是100.,為了了解生命與科學(xué)專業(yè)本科畢業(yè)生的,月薪情況，,本科生的月薪情況，試問,(1)什么是總體？,

7、(2)什么是樣本？,(3)樣本容量是多少？,生的月薪；,調(diào)查了某地區(qū)100名2008屆該專業(yè)的,解:,2024/3/26,12,2.樣本值,每一次抽取,所得到的n個(gè)確定的,具體數(shù)值，記為,稱為樣本,的一個(gè)樣本值(觀察值).,★數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本任務(wù)是：根據(jù)從總體中抽取的,樣本，利用樣本的信息推斷或預(yù)測總體的情況.,2024/3/26,13,3.簡單隨機(jī)樣本,兩個(gè)特征：,獲得簡單隨機(jī)樣本的抽樣方法稱為簡單隨機(jī)抽樣.,(1) 代表性：,(2)

8、獨(dú)立性：,若來自總體X的樣本,具有下列,中每一個(gè)與總體 X,有相同的分布.,是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.,為容量 n的簡單隨機(jī)樣本.,則稱,注：今后,凡提到樣本都是指簡單隨機(jī)樣本.,2024/3/26,14,實(shí)際中，怎么樣抽取簡單隨機(jī)樣本？,一般情況下總體都是有限總體.,總體中個(gè)體總數(shù)不是太大時(shí)，,可得到簡單隨機(jī)樣本,,當(dāng)總體中個(gè)體總數(shù)比樣本,容量大得多時(shí),,采用不放回抽樣方式,,可近似得到,簡單隨機(jī)樣本.,對(duì)于有限總體,,采取放回抽樣方式,

9、,2024/3/26,15,補(bǔ)充：隨機(jī)變量的獨(dú)立性,定義：設(shè)X與Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，,若對(duì)于任意的實(shí)數(shù),x與y,,有,即,則稱X與Y是相互獨(dú)立的.,2024/3/26,16,(1)離散隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,,(X, Y)的聯(lián)合概率函數(shù)p (x, y) = pX (x) pY (y);,(2)連續(xù)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,,(X, Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)f (x, y) = fX (x) fY (y).,隨機(jī)變量的獨(dú)立性可以擴(kuò)充到n個(gè)隨機(jī)變

10、量的情形.,2024/3/26,17,定理,4.樣本的分布,2024/3/26,18,,注: 熟記以上三種不同情形下樣本的聯(lián)合概率分布的具體形式是解決問題的關(guān)鍵!!,2024/3/26,19,設(shè)總體X服從參數(shù)為,是來自于總體的樣本,,的聯(lián)合概率函數(shù).,解:,總體X 的概率函數(shù)為,所以,的聯(lián)合概率函數(shù)為,因?yàn)?獨(dú)立同分布，,例4.,的Poisson分布,,求此樣本,且服從泊松分布.,2024/3/26,20,例5.,設(shè)總體X服從正態(tài)分布,

11、從總體 X,中抽取樣本,概率密度函數(shù).,求,解:,其概率密度為,的聯(lián)合概率密度函數(shù)為,的聯(lián)合,2024/3/26,21,用樣本直方圖來推斷總體的概率密度函數(shù),用樣本分布函數(shù)來推斷總體的分布函數(shù),第二節(jié) 直方圖 樣本分布函數(shù),基本思路：,2024/3/26,22,Step 3:計(jì)算樣本觀測值落在各子區(qū)間的頻數(shù) 及頻率 ;,Step 2: 適當(dāng)選擇邊界點(diǎn)a、b，使,把區(qū)間(a,b)分成l 個(gè)子區(qū)間,Step

12、1: 找出,直方圖的具體步驟：,Step 4:畫直方圖：以每個(gè)子區(qū)間長 為底, 以相應(yīng)的 為高作長方形, 這一系列長方形構(gòu)成樣本頻率直方圖.,一、直方圖（histogram）,和分點(diǎn),(8≤ l≤15):,2024/3/26,23,某工廠測量100個(gè)自動(dòng)車床的質(zhì)

13、量,,459 362 624 542 509 584 433 748 815 505 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755

14、 49 697 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 724 531 512 577 496

15、 468 499 544 645 764 558 378 765 666 763 217 715 310 851,例6.,如下：,得到樣本觀測值,2024/3/26,24,SPSS 軟件中，畫出自動(dòng)車床質(zhì)量X的直方圖：,2024/3/26,25,,是來自總體X中樣本,把觀測值從小到大排列:,則樣本分布函數(shù),,,,,,,,,,,的觀測值,,二、樣本分布函數(shù),2024/3/26,26,樣本分布函數(shù)Fn(x)的性

16、質(zhì),樣本分布函數(shù)Fn (x)近似于總體分布函數(shù)F (x),當(dāng)n→∞時(shí),,,2024/3/26,27,第三節(jié) 樣本函數(shù)與統(tǒng)計(jì)量,基本內(nèi)容： 一、統(tǒng)計(jì)量的定義 二、常用統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì),2024/3/26,28,一、 統(tǒng)計(jì)量,由樣本推斷總體情況,需要對(duì)樣本進(jìn)行“加工”,,定義.,信息集中起來.,這就需要構(gòu)造一些樣本的函數(shù),它把樣本中所含的,統(tǒng)計(jì)量.,2024/3/26,29,注:,2°

17、統(tǒng)計(jì)量用于統(tǒng)計(jì)推斷,,3º 統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù),,總體 X 的未知參數(shù);,統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.,故不應(yīng)含任何關(guān)于,它是一個(gè)隨機(jī)變量,,2024/3/26,30,(未知)的Poisson分布,,為來自總體的樣本，判斷下列那些,是統(tǒng)計(jì)量？,設(shè)總體X服從參數(shù)為,例7.,是,不是,是,2024/3/26,31,例8.,其中 ? 已知,? 未知 ,,設(shè) X1, X 2, X3 來自正態(tài)總體 X ~(? ,? 2) 的樣本,,問下

18、列哪些是統(tǒng)計(jì)量? ( ),A. (X1 + X2 + X3 )/3 ;,D. X1 ；,E. Max{ X1, X2, X3 }.,?,?,?,?,ABDE,2024/3/26,32,,(1)樣本均值,其觀測值,1.樣本矩的定義,可用于推斷：總體均值 E(X).,它反映了總體均值的信息,二、幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量,2024/3/26,33,其觀測值,可用于推斷：總體方差D(X).,(2)樣本方差,它反映了總體方差的信息

19、,2024/3/26,34,,(3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差,其觀測值,2024/3/26,35,,其觀測值,(5) 樣本 k 階中心矩,其觀測值,(4)樣本k 階原點(diǎn)矩,比較總體k 階原點(diǎn)矩E(Xk),比較總體k 階中心矩E[X-E(X)]k,2024/3/26,36,2.樣本矩的性質(zhì),,,,2024/3/26,37,例8.,設(shè)總體 X 服從兩點(diǎn)分布 B(1 , p),,是來自于總體分布的樣本，,是樣本均值與樣本方差，試計(jì)算：,解:,利用樣本矩的性

20、質(zhì)得,由兩點(diǎn)分布知 E(X)=p, D(X)=p(1-p),,2024/3/26,38,內(nèi)容小結(jié),理解總體和個(gè)體、樣本和樣本值、樣本函數(shù),和統(tǒng)計(jì)量的概念；,說明:一個(gè)總體對(duì)應(yīng)一個(gè)隨機(jī)變量X, 我們將不區(qū)分總體,和相應(yīng)的隨機(jī)變量, 統(tǒng)稱為總體X.,總體(理論分布),樣本,樣本值,,,,總體、樣本、樣本值的相互關(guān)系:,(抽樣),(推斷),2024/3/26,39,2. 掌握樣本的分布、常用統(tǒng)計(jì)量的概念及性質(zhì)；,①樣本均值,②樣本方差,兩個(gè)

21、重要統(tǒng)計(jì)量:,兩個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)：,,,2024/3/26,40,3.了解樣本頻率直方圖、樣本分布函數(shù).,通過樣本頻率直方圖或樣本分布函數(shù)圖來推斷總體,的分布情況.,2024/3/26,41,作業(yè),習(xí)題五(P145): 1、2、15習(xí)題六（P180）2中，求樣本的概率密度函數(shù).,2024/3/26,42,備用題,A. 獨(dú)立但分布不同； B. 分布相同但不相互獨(dú)立;C. 獨(dú)立同分布; D. 不能確定.,1.設(shè)X

22、1,X2 ,…,Xn是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本,,則X1,X2 ,…,Xn必然滿足（ ）.,2.,2024/3/26,43,3.,,,( ).,2024/3/26,44,分析：1.由簡單隨機(jī)樣本的定義知,應(yīng)選C.,2. 由于統(tǒng)計(jì)量中不含任何未知參數(shù)，應(yīng)選D.,3. 由樣本矩的性質(zhì),應(yīng)選B.,2024/3/26,45,設(shè)總體 X 服從參數(shù)為,是來自于總體的樣本,,的聯(lián)合概率密度函數(shù).,解:,總體X 的概率密度函數(shù)為