[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)柴中林第9講

1、,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第九講,主講教師：柴中林副教授,中國計(jì)量學(xué)院理學(xué)院,§3.4 邊緣分布,3.4.1 邊緣分布函數(shù),二維隨機(jī)向量 (X,Y) 作為一個(gè)整體, 有分布函數(shù) F( x, y)，其分量 X與Y 都是隨機(jī)變量，有各自的分布函數(shù)，分別記成 FX(x) 和 FY(y)，,分別稱為X的邊緣分布函數(shù)和Y的邊緣分布函數(shù)；稱 F(x, y) 為 (X, Y) 的聯(lián)合分布函數(shù)。,FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y&l

2、t;∞}=F(x,∞)，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y).,X與Y的邊緣分布函數(shù)實(shí)質(zhì)上就是一維隨機(jī)變量X或Y的分布函數(shù)。稱其為邊緣分布函數(shù)的是相對(duì)于 (X,Y) 的聯(lián)合分布而言的。 同樣地，(X, Y) 的聯(lián)合分布函數(shù) F(x, y)是相對(duì)于 (X, Y) 的分量X和Y的分布而言的。,注意:,求法,則 X 的邊緣概率分布為,Y 的邊緣概率分布為,設(shè)(X, Y ) 是二維離散型隨機(jī)向量，

3、聯(lián)合概率分布為,3.4.2 二維離散型隨機(jī)向量的邊緣分布,解：,例1：求例3.2.1(P59)中(X,Y)的分量X和Y的邊緣分布。,把這些數(shù)據(jù)補(bǔ)充到前面表上,,例2： 同理，考慮從1,2,3,4中取數(shù)的例子，即分布,可得X和Y的邊緣分布為,于是，隨機(jī)變量X,Y各自的分布為,3.4.2 連續(xù)型隨機(jī)向量的邊緣概率密度,若 (X, Y) 的聯(lián)合概率密度為 f (x, y)，則,X的邊緣概率密度為,Y 的邊緣概率密度為,,例3：若(X,Y)服

4、從矩形區(qū)域 a≤x≤b，c≤y≤d上均勻分布，則邊緣概率密度分別為,注：本例中X與Y都是服從均勻分布的隨機(jī)變量。 但對(duì)其它非矩形區(qū)域上的均勻分布不一定有上述結(jié)論。,例4：設(shè)(X,Y)服從單位圓域 x2+y2≤1上的均勻分布。求X和Y的邊緣概率密度。,解:,當(dāng)|x|＞1時(shí),,當(dāng)-1≤x≤1時(shí),,,( 注意積分限的確定方法 ),,熟練時(shí)，被積函數(shù)為零的部分可以不寫。,由X 和Y 在問題中地位的對(duì)稱性, 將上式中的 x 改為 y，得到 Y

5、 的邊緣概率密度,例5：設(shè)(X, Y)的概率密度為,求 (1). c的值; (2). 邊緣密度。,= 5c/24=1,,c = 24/5;,解: (1).,解: (2),注意積分限,注意取值范圍,注意積分限,注意取值范圍,即,例6：設(shè) (X, Y)求X和Y 的邊緣概率密度。,解： 由,說明,對(duì)于確定的 ?1, ?2, ?1, ?2, 當(dāng) ? 不同時(shí), 對(duì)應(yīng)不同的二維正態(tài)分布。但它們的邊緣分布是相同的，所以在考慮多維隨機(jī)向量時(shí)

6、，不但要考慮它們的邊緣分布，還要考慮隨機(jī)向量各分量之間的關(guān)系。,X與Y之間的關(guān)系的信息是包含在 (X, Y) 的聯(lián)合概率密度函數(shù)之內(nèi)的。 在下一章將指出：對(duì)于二維正態(tài)分布而言，參數(shù)? 正好刻畫了X和Y之間關(guān)系的密切程度。 因此，僅由X和Y的邊緣概率密度 (或邊緣分布) 一般不能確定 (X,Y) 的聯(lián)合概率密度函數(shù) (或概率分布)。,小結(jié),本講首先介紹二維隨機(jī)向量的邊緣分布的概念，二維離散型隨機(jī)向量邊緣分布