[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第16講

1、,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計第十六講,主講教師：柴中林副教授,中國計量學(xué)院理學(xué)院,§6.4 正態(tài)總體,6.4.1 χ 2 分布,它是由正態(tài)分布派生出來的一種分布。,定義1: 設(shè) X1, X2, …, Xn 相互獨立，且均服從正態(tài)分布 N(0, 1), 則稱隨機變量,服從自由度為 n 的卡方分布，記成 。,分布的密度函數(shù)為,,,由 分布的定義，不難得到其如下性質(zhì)：,,,,進(jìn)一步，由中心極限定理可以推出, n 充

2、分大時,,近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0,1)。,分布密度函數(shù)圖形,χn2 分布上? 分位點有表可查，見附表4。,對于給定的 ??(0,1), 稱滿足條件,的點 χn2(?)為 χn2分布的上(右)? 分位點。,分布分位點,t 分布的概率密度為,,,為服從自由度 n 的 t 分布，記為 T ～ tn。,6.4.2 t 分布,定義2: 設(shè) X ～N(0, 1) , Y ～χn2 , 且 X與Y 相互獨立，則稱隨機變量,t 分布的

3、概率密度圖形,當(dāng) n 充分大時，f (x; n) 趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度。,數(shù)學(xué)期望與方差,,若 T ～tn , 對給定的? ?(0,1)，稱滿足條件,t 分布的分位點,的點 tn(?)為 tn 分布上? 分位點。,t 分布的上? 分位點有表可查，見附表3。,tn 分布上? 分位點示意圖,6.4.3 F 分布,則稱 F =(X/m)/(Y/n)服從第一自由度為m，第二自由度為n 的 F 分布。記成 F ~ Fm ,n 。,

4、定義3：,F 分布的概率密度為,若 F～Fm, n，對給定的? ?(0,1), 稱滿足條件,F 分布的分位點,的點 Fm,n(?)為F分布的上? 分位點。.,F 分布上? 分位點有表可查，見附表5。,F 分布上? 分位點示意圖,★ 一個需要注意的問題:,這個關(guān)系式的證明如下：,證明：若 X ~ Fm,n，則 Y = X -1 ~ Fn,m。依分位點定義，,上式等價于,再根據(jù) Y (~ Fn,m ) 的上? 分位點定義，有,這就證明了

5、(1)式。,在通常 F 分布表中，只對? 比較小的值,如? = 0.01, 0.05, 0.025及0.1等列出了分位點。但有時我們也需要知道? 比較大的分位點，,它們在 F 分布表中查不到。這時我們就可利用分位點的關(guān)系式(1)把它們計算出來。,例如：對m=12, n=9, α=0.95, 我們在 F 分布表中查不到 F12,9(0.95)，但由(1)式，知,可從F 分布 表中查到,★ 還有一個重要結(jié)果: 若X ~ tn ,

6、 則X2 ~ F1,n。 請同學(xué)們自己證明。,定理 1：,6.4.4 正態(tài)總體樣本均值與樣本方差的分布,證明：僅證（1），其余的證明超出了教學(xué)范圍，需了解請參閱附錄 ( p143—145)。因X1,X2,…,Xn是正態(tài)總體的樣本。故 X1,X2,…,Xn 獨立同分布于正態(tài)總體, 且有 E(X)=?，Var(X)=?2。由前面知識， 也服從正態(tài)分布，且有,于是有,定理的內(nèi)容在后面幾章的討論中將多次用到，希望大家牢記。,定理

7、1：,6.4.5 兩個正態(tài)總體的抽樣分布,證明：,（1）已知總體方差σ2=16；,（2） σ2未知，但已知樣本方差的觀測值s2=18.45.,例2：在設(shè)計導(dǎo)彈發(fā)射裝置時，重要內(nèi)容之一是研究彈著點偏離目標(biāo)中心的距離的方差。對于某類導(dǎo)彈發(fā)射裝置，彈著點偏離目標(biāo)中心的距離服從 N(?,?2)，這里? 2 = 100米2。現(xiàn)在進(jìn)行了25次發(fā)射試驗，用 S2 記這25次試驗中彈著點偏離目標(biāo)中心的距離的樣本方差。求: S 2 超過50米2