[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)柴中林第3講

1、,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三講,主講教師：柴中林副教授,中國(guó)計(jì)量學(xué)院理學(xué)院,有時(shí), 除了要考慮事件A發(fā)生的概率外，還要考慮“事件B已發(fā)生”的條件下A發(fā)生的概率。,1.4.1 條件概率,通常記事件B發(fā)生的條件下, 事件A發(fā)生的概率為 P(A|B)。,一般情況下， P(A|B) ≠P(A) 。,§1.4 條件概率,例如：有一兇殺案，甲乙丙丁4人是嫌犯，其中1人是兇手，則甲是兇手的機(jī)會(huì)是1/4.若有新證據(jù)顯示丙不是兇手，此時(shí)甲是

2、兇手的機(jī)會(huì)就不是1/4而是1/3了。,例1：100件產(chǎn)品中有5件不合格品，而5件不合格品中又有3件是次品，2件是廢品?，F(xiàn)從100件產(chǎn)品中任意抽取一件，假定每件產(chǎn)品被抽到的可能性都相同，求,(1).抽到的產(chǎn)品是次品的概率；(2).在抽到的產(chǎn)品是不合格品條件下, 產(chǎn)品是 次品的概率。,解：,設(shè) A={抽到的產(chǎn)品是次品}， B={抽到的產(chǎn)品是不合格品}。,(1). 按古典概型計(jì)算公式，有,可見(jiàn)，P(A) ≠P(A|B)

3、。,(2). 由于5件不合格品中有3件是次品，故可得,雖然 P(A) 與 P(A|B) 不同，但二者之間存在什么關(guān)系呢?,先來(lái)計(jì)算P(B)和P(AB)。,因?yàn)?00件產(chǎn)品中有5件是不合格品，所以P(B)=5/100。,P(AB)=3/100。,而P(AB)表示事件“抽到的產(chǎn)品是不合格品、又是次品”的概率，再由100件產(chǎn)品中只有3件即是不合格品又是次品，得,通過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算，得,有,P(A)=1/6，,又如：擲一顆均勻骰子，A={擲出2點(diǎn)}

4、，,B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}，,求P(A|B)。,已知事件B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B。,于是，P(A|B)= 1/3。,B中共有3個(gè)元素，每個(gè)元素出現(xiàn)是等可能的，且其中只有1個(gè)(2點(diǎn))在集合A中。,可以得到：,受此啟發(fā)，對(duì)條件概率進(jìn)行 如下定義。,若事件B已發(fā)生, 則為使 A也發(fā)生 , 試驗(yàn)結(jié)果必須是既在 B 中又在A中的樣本點(diǎn) , 即此點(diǎn)必屬于AB。 由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生, 故B就變成了新的樣本空間 ,

5、 于是 就有(1)。,II. 條件概率定義,為在事件B發(fā)生條件下，事件A的條件概率。,定義1: 設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(B)>0，稱,III. 條件概率的性質(zhì),設(shè)B是一事件，且P(B)>0, 則,1. 對(duì)任一事件A，0≤P(A|B)≤1;,2. P(Ω|B)=1；,而且，前面對(duì)概率所證明的一切性質(zhì)，也都適用于條件概率。,3. 設(shè)A1, A2,…互斥，則,例2：有外觀相同的三極管6只，按電流放大系數(shù)分類(lèi),4只屬甲類(lèi)

6、, 兩只屬乙類(lèi)。不放回地抽取三極管兩次, 每次只抽一只。求在第一次抽到是甲類(lèi)三極管的條件下, 第二次又抽到甲類(lèi)三極管的概率。,解:記Ai= {第 i 次抽到的是甲類(lèi)三極管}, i=1,2,,A1A2={兩次抽到的都是甲類(lèi)三極管},,由第2講中的例1.3.3，可知,再由P(A1)=4/6=2/3，得,由條件概率的定義：,即 若P(B)>0, 則 P(AB)=P(B)P(A|B) , (2),而 P(AB) =

7、P(BA)，,1.4.2 乘法公式,在已知P(B), P(A|B)時(shí), 可反解出P(AB)。,將 A、B的位置對(duì)調(diào)，有,故 P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A) 。 (3),若 P(A)>0, 則P(BA)=P(A)P(B|A) ，,(2)和(3)式都稱為乘法公式, 利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率。,當(dāng) P(A1A2…An-1) > 0 時(shí)，有 P (A1A2…A

8、n）= P(A1) P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1) .,多個(gè)事件乘法公式的推廣:,例 3: 一批燈泡共100只，其中10只是次品，其余為正品，作不放回抽取，每次取一只，求: 第三次才取到正品的概率。,解：設(shè) Ai ={第 i 次取到正品}, i=1,2,3。 A ={第三次才取到正品}。則:,例4：袋中有同型號(hào)小球b+r個(gè)，其中b個(gè)是黑球，r個(gè)是紅球。每次從袋中任取一球，觀其顏色后放回,并再放

9、入同顏色，同型號(hào)的小球c 個(gè)。若 B={第一、第三次取到紅球,第二次取到黑球}，求P(B)。,解: 設(shè)Ai={第 i 次取到紅球}, i =1,2,3, 則,,全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率, 它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用。,綜合運(yùn)用,加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)A、B互斥,乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)>0,,,1.4.3 全概率公式與貝葉斯公式,

10、,例5: 有三個(gè)箱子, 分別編號(hào)1, 2, 3。1號(hào)箱裝有1紅球, 4白球; 2號(hào)箱裝有2紅球, 3白球; 3號(hào)箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱, 再?gòu)南渲腥稳∫磺颍笕〉郊t球的概率。,解：記 Ai={取到第 i 號(hào)箱}, i =1,2,3; B ={取得紅球}。,即 B= A1B∪A2B∪A3B， 且 A1B、A2B、A3B兩兩互斥。,要取球，必須先取箱子，故B發(fā)生總是隨著A1,A2

11、,A3 之一同時(shí)發(fā)生，,于是，P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),運(yùn)用加法公式,將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式。,對(duì)和式中的各項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得,為介紹全概率公式，引入樣本空間的完備事件組（劃分）的概念 定義：設(shè)Ω為實(shí)驗(yàn)E的樣本空間， A1,A2,…,An為一組事件，若A1,A2,…,An兩兩互斥，且A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An= Ω ，則稱A1,A2,…,An

12、為樣本空間Ω的一個(gè)完備事件組（劃分）。 易見(jiàn)，若A1,A2,…,An為樣本空間Ω的一個(gè)劃分，則每次實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件A1,A2,…,An中必有，且僅有一個(gè)發(fā)生.,設(shè)A1, A2,…, An是樣本空間Ω的一個(gè)完備事件組，且P(Ai)>0, i =1, 2, …, n; 則對(duì)任一事件B有,全概率公式,,在較復(fù)雜情況下，直接計(jì)算P(B)不容易, 但總可以適當(dāng)?shù)貥?gòu)造一組兩兩互斥的Ai , 使B伴隨著某個(gè)Ai 的出現(xiàn)而出現(xiàn)，且每個(gè)

13、 P( Ai B) 容易計(jì)算?？捎盟?P( Ai B) 之和計(jì)算 P(B)。,由公式,“全部概率” P(B)，可分成多個(gè)“部分概率” P( Ai B) 之和。,它的理論和實(shí)用意義在于:,不難看出:,全概率公式示意圖如下：各Ai構(gòu)成了樣本空間Ω的一個(gè)劃分（完備事件組），因此B是劃分的子集。同時(shí)B被劃分成許多小塊，任一塊AiB是B的子集，也是Ai的子集，因此這些小塊也是互不相容的。各小塊構(gòu)成了B，因此B的概率是各AiB的概率之和，各P(

14、AiB)再由P(Ai)P(B|Ai) 算出。,實(shí)際中還有下面一類(lèi)問(wèn)題：已知結(jié)果求原因。,這一類(lèi)問(wèn)題在實(shí)際中常見(jiàn)，它所求的是條件概率，是某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生的可能性大小。,接上例，考慮如下問(wèn)題：,或者問(wèn)：“該球取自各箱的可能性大小” 。,某人從任意一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號(hào)箱的概率。,考慮上邊例子：記 Ai = {球取自 i 號(hào)箱}， i =1, 2, 3; B = {取得紅球}。,所求為

15、 P(A1|B)。,運(yùn)用全概率公式 計(jì)算P(B),將上述公式一般化，就得貝葉斯公式。,該公式于1763年由貝葉斯 (Bayes) 給出。 它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率。,貝葉斯公式,設(shè)A1, A2,…, An是完備事件組，P(Ai)>0，i=1, 2, …, n; 則對(duì)任一事件B有,,例6: 某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對(duì)某種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)

16、反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性，問(wèn)此人是癌癥患者的概率有多大?,則 表示“抽查的人不患癌癥”。,解：設(shè) A = {抽查的人患有癌癥}, B = {試驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性}。,求 P(A|B)。,已知:,現(xiàn)在來(lái)分析一下結(jié)果的意義：,代入數(shù)據(jù)計(jì)算，得 P(A | B)= 0.1066。,由貝葉斯公式，得,如果不做試驗(yàn)，一個(gè)人患癌

17、癥的概率是 P(A)=0.005 。,若試驗(yàn)后呈陽(yáng)性反應(yīng)，則此人患癌癥的概率為 P(A|B)= 0.1066 。,說(shuō)明試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患癌癥有意義。,概率從0.005增加到0.1066, 約增加了21倍。,(1). 該試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無(wú) 意義？,(2). 檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥?,,試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，此人確患癌癥的概率為 P(A|B)=0.1066。,即

18、使你檢出陽(yáng)性，尚可不必過(guò)早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有10.66% (平均來(lái)說(shuō)，1000個(gè)人中大約只有107人確患癌癥)，此時(shí)醫(yī)生常要通過(guò)其他試驗(yàn)來(lái)確認(rèn)。,,貝葉斯公式,在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分別稱為原因的驗(yàn)前概率和驗(yàn)后概率。,P(Ai) ( i =1, 2,…, n ) 是在沒(méi)有進(jìn)一步的信息(不知道事件B是否發(fā)生) 的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí)。,當(dāng)有了新的信息(知道B發(fā)生)，人們對(duì)諸事件發(fā)生

19、可能性大小 P(Ai | B) 有了新的認(rèn)識(shí)。,例7：8支步槍中有5支已校準(zhǔn)過(guò),3支未校準(zhǔn)。一名射手用校準(zhǔn)過(guò)的槍射擊時(shí)，中靶概率為0.8；用未校準(zhǔn)的槍射擊時(shí)，中靶概率為0.3。現(xiàn)從8支槍中任取一支用于射擊，求：（1）中靶的概率。（2）若已中靶，用的槍是校準(zhǔn)過(guò)的概率。,解：設(shè) A={射擊中靶}，B1={槍校準(zhǔn)過(guò)}, B2={槍未校準(zhǔn)}，則 B1,B2 是Ω一個(gè)劃分，于是,例8：一批同型號(hào)的螺釘由編號(hào)為I,II,III的三臺(tái)機(jī)器共同生產(chǎn)。各

20、臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的螺釘占這批螺釘?shù)谋壤謩e為35%,40%, 25%。各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的螺釘?shù)拇纹仿史謩e為3%, 2%和1%?，F(xiàn)從該批螺釘中抽到一顆次品。求:這顆螺釘由I, II, III號(hào)機(jī)器生產(chǎn)的概率各為多少?,解：設(shè) A={螺釘是次品}, B1={螺釘由I號(hào)機(jī)器生產(chǎn)}, B2={螺釘由II號(hào)機(jī)器生產(chǎn)}, B3={螺釘由III號(hào)機(jī)器生產(chǎn)}。,則,由貝葉斯公式，得,P(B1)=0.35，P(B2)=0.40，P(B3)