6單元 變量分離的方程

1、第6單元變量分離的方程一.教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.進(jìn)一步掌握理解變量分離法，并且能夠熟練的運(yùn)用分離變量法解常微分方程。2對(duì)某些本身不可分離變量的方程能夠通過適當(dāng)變換后，將原方程轉(zhuǎn)換為可分離變量的方程。二.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1.分離變量法三.教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)難點(diǎn)對(duì)分離變量法的學(xué)習(xí)是本單元的重點(diǎn)也是難點(diǎn)考慮微分方程（2.2.1）0)()(??dyyxQdxyxP若函數(shù)均可分別表示為的函數(shù)與的函數(shù)的乘積，則稱（2.2.1）為變量分離的)()(y

2、xQyxP和xy方程.因此，變量分離的方程可以寫成如下形式：（2.2.2）0)()()()(11??dyyYxXdxyYxX變量分離的方程的特點(diǎn)是：可以分別表示為的函數(shù)與的函數(shù)的乘積.)()(yxQyxP和xy問題是：對(duì)（2.2.2）如何求解？一般來說，（2.2.2）不一定是恰當(dāng)方程.為此先考慮一個(gè)特殊情形：（2.2.3）0)()(??dyyYdxxX（2.2.3）顯然是一個(gè)恰當(dāng)方程，它的通積分為（2.2.4）CdyyYdxxX????

3、)()(由對(duì)方程（2.2.3）的求解過程，不難想到，當(dāng)時(shí)，若用因子去除（2.2.2）0)()(11?yYxX)()(11yYxX式的兩側(cè)，得到（2.2.5）0)()()()(11??dyyYyYdxxXxX這種變形過程叫做分離變量。分離變量后的方程（2.2.5）已具有（2.2.3）的形式，故通積分為（2.2.6）CdyyYyYdxxXxX????)()()()(11附注1：當(dāng)時(shí)，用求解方程（2.2.5）來代替求解方程（2.2.2）是合理

4、的，因?yàn)榇藭r(shí)0)()(11?yYxX方程（2.2.2）與方程（2.2.5）是同解的.附注2：若（或）是方程（或）的一個(gè)根，把它代入（2.2.2）式ax?by?0)(1?xX0)(1?yY驗(yàn)證，可知（或）是方程（2.2.2）的解.這個(gè)解一般會(huì)在由（2.2.2）化為（2.2.5）時(shí)丟失故ax?by?有時(shí)不包含在通積分（2.2.6）中，必須補(bǔ)上.例1求解微分方程（3）。yxxytandd2?解（1）由，得；由，得。所以方程的所有常數(shù)解為012

5、??y1??y012??x1??x。11????xy（2）由，得，，所以方程的所有常數(shù)解為，0sin?y?ky??210???k?ky?。?210???k（3）由，得，，所以方程的所有常數(shù)解為，0tan?y?ky??210???k?ky?。?210???k例4求解微分方程（2.2.9）3123yy?并作出積分曲線族的圖形.解當(dāng)時(shí)，將（2.2.9）改寫為，兩邊積分，得0?ydxydy2331?，（），Cxy??320??Cx或，（）（2.

6、2.10）32)(Cxy??Cx??最后，還有特解，它不包含在（2.2.10）之中.0?y利用方程（2.2.9）并參照通積分（2.2.10），可以作出積分曲線族的圖形。由圖形不難看出，過軸上的每一點(diǎn)，都有無窮多條積分曲線通過.很顯然每一條這樣的積x)0(xP分曲線都由兩部分拼合而成：左半部分是與軸重合的直線段，右半部分可以是軸，也可以是向上或xx向下延伸的半立方拋物線.左右兩部分在接合點(diǎn)相切.總之，微分方程（2.2.9）滿足初值條件的解