2、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理

1、CDOBAEP圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理證明：圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理證明：如右圖：圓內(nèi)接四邊形ABCD，圓心為O，延長BC至E，AC、BD交于P，則：1、圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)：∠ABC∠ADC=180，∠BCD∠BAD=1802、圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角：∠DCE=∠BAD3、圓內(nèi)接四邊形對(duì)應(yīng)三角形相似：△BCP∽△ADP4、相交弦定理：APCP=BPDP5、托勒密定理：ABCDADCB=ACBD一、圓內(nèi)接一、圓內(nèi)接四邊形四邊

2、形的對(duì)角的對(duì)角互補(bǔ)互補(bǔ)的證明（三種方法）的證明（三種方法）【證明】方法一：利用一條弧所對(duì)圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半。CABDOαβ如圖，連接OB、OD則∠A=β，∠C=α2121∵αβ=360∴∠A∠C=360=18021同理得∠B∠D=180（也可利用四邊形內(nèi)角和等于360）【證明】方法二：利用直徑所對(duì)應(yīng)的圓周角為直角。設(shè)圓內(nèi)接四邊形ABCD證明：∠A∠C=180，∠B∠D=180連接BO并延長，交⊙O于E。連接AE、CE。則BE為

3、⊙O的直徑∴∠BAE=∠BCE=90∴∠BAE∠BCE=180∴∠BAE∠BCE∠DAE∠DAE=180即∠BAE∠DAE∠BCE∠DAE=180∵∠DAE=∠DCE（同弧所對(duì)的圓周角相等）∴∠BAE∠DAE∠BCE∠DCE=180即∠BAD∠BCD=180∠A∠C=180∴∠B∠D=360（∠A∠C）=180（四邊形內(nèi)角和等于360）【證明】方法三：利用四邊形內(nèi)角和為360及同弧所對(duì)的圓周角均相等連接AC、BD，將∠A、∠B、∠C、∠

4、D分為八個(gè)角∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8∵∠1∠2∠3∠4∠5∠6∠7∠8=360（四邊形內(nèi)角和為360）∠4=∠1，∠7=∠2，∠8=∠5，∠3=∠6（同弧所對(duì)的圓周角相等）∴∠1∠2∠5∠6=360=18021∵∠1∠2=∠A∠5∠6=∠C∴∠A∠C=180∴∠B∠D=360（∠A∠C）=180（四邊形內(nèi)角和等于360）2、圓內(nèi)接圓內(nèi)接四邊形四邊形的任意一個(gè)的任意一個(gè)外角外角等于它的等于它的內(nèi)對(duì)角內(nèi)對(duì)角證明證明CD

5、OBAEP如圖，求證：∠DCE=∠BAD∠BCD∠DCE=180（平角為180）∠BCD∠BAD=180（圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)）∴∠DCE=∠BAD3、圓內(nèi)接圓內(nèi)接四邊形四邊形對(duì)應(yīng)三角形對(duì)應(yīng)三角形相似相似如上圖，求證：△BCP∽△ADP，△ABP∽△DCP證明：∵∠CBP=∠DAP，∠BCP=∠ADP（一條弧所對(duì)圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半。）又∵∠APD=∠BPC（對(duì)頂角相等）∴△BCP∽△ADP∵∠BAP=∠CDP，∠ABP=∠D

6、CP（一條弧所對(duì)圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半。）AOBCD12435678又∵∠APB=∠DPC（對(duì)頂角相等）∴△ABP∽△DCP4、相交弦定理相交弦定理仍用上圖，求證：APCP=BPDP證明：∵△BCP∽△ADP（圓內(nèi)接四邊形對(duì)應(yīng)三角形相似）∴（相似三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例）CPDPBPAP?∴APCP=BPDPCDOBAEP5、托勒密定理托勒密定理求證：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，那么ABCDADBC=ACBD【證明】方法一：作輔

7、助線AE，使∠BAE=∠CAD，交BD于點(diǎn)E∵∠ABE=∠ACD（同弧AD所對(duì)的圓周角相等）又∵∠BAE=∠CAD∴△ABE∽△ACD∴，即ABCD=ACBE(1)CDBEACAB?∵∠BAE=∠CAD∴∠BAE∠EAC=∠CAD∠EAC即∠BAC=∠EAD又∵∠ACB=∠ADE（同弧AB所對(duì)的圓周角相等）∴△ABC∽△AED∴，即BCAD=ACDE(2)ADACDEBC?(1)(2)得∴ABCDBCAD=ACBEACDE=AC（BED

8、E）=ACBD【證明】方法二：利用西姆松定理證明托勒密定理。（提示：本題要使用正弦定理），初三現(xiàn)有知識(shí)還不能求證。廣義托勒密定理廣義托勒密定理廣義托勒密(Ptolemy)定理指出，圓內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，其推論是任意凸四邊形ABCD，必有ACBD≤ABCDADBC，而且當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。內(nèi)容：凸四邊形對(duì)邊乘積和≥對(duì)角線的積托勒密定理的推論：任意凸四邊形ABCD，必有ACBD≤ABCDADBC，當(dāng)且僅

9、當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。證明如下：在四邊形ABCD中連接AC、BD作∠ABE=∠ACD∠BAE=∠CAD，則△ABE∽△ACD∴BECD=ABACABAC=AEAD∴BEAC=ABCD①ABAE=ACAD∵∠BAE=∠CAD∴∠BAE∠EAC=∠CAD∠EAC即∠BAC=∠DAE又∵ABAE=ACAD∴△ABC∽△AED∴BCED=ACAD∴EDAC=ADBC②①②得AC(BEED)=ABCDADBC又∵BEED≥BD∴ACBD≤A