非線性發(fā)展方程的平衡態(tài)模式和解的漸近性質(zhì)研究.pdf

1、在過去的幾十年中,非線性偏微分方程理論的研究得到了極大的發(fā)展,而這些發(fā)展大多都是出于對(duì)生物學(xué),物理學(xué)和化學(xué)等自然科學(xué)中的應(yīng)用.本文主要討論來自于生物學(xué),物理學(xué)和化學(xué)中的幾類發(fā)展方程的平衡態(tài)模式和解的漸近性質(zhì),包括解的周期性、爆破性及衰減性。全文分為三部分:
　　 第一部分(本文第二章至第四章)主要討論來自于生態(tài)學(xué)和化學(xué)中的幾類反應(yīng)擴(kuò)散和分次擴(kuò)散模型的平衡態(tài)模式.對(duì)于齊次Neumann邊界條件,重點(diǎn)是研究一般擴(kuò)散和分次擴(kuò)散對(duì)模式生

2、成(即非常數(shù)正平衡解)的影響;對(duì)于齊次Dirichlet邊界條件,重點(diǎn)是分析正平衡解(共存解)的存在性、穩(wěn)定性和漸近性.本部分的具體安排如下:
　　 在第二章中,我們研究了two-cell Brusselator模型的模式生成問題.模式生成問題是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中一個(gè)具有重要理論意義和實(shí)際應(yīng)用背景的研究課題.它描述了自然界(如生態(tài)學(xué)、化學(xué)反應(yīng)、基因生成)中幾種物質(zhì)相互作用時(shí)的結(jié)構(gòu)變化.對(duì)于該模型,我們建立了正平衡解上下界的精確估計(jì),

3、得到了非常數(shù)正平衡解的存在性和不存在性條件.所得結(jié)果表明:在一定條件下,擴(kuò)散能夠?qū)е履Ｊ?(本章的主要結(jié)果發(fā)表于J.Math.Anal.Appl.,2010(366):679-693)在第三章中,我們考慮了一個(gè)帶有齊次Dirichlet邊界條件的捕食模型的平衡態(tài)模式.我們主要關(guān)心當(dāng)參數(shù)變化時(shí),共存解的存在性。眾所周知,這些問題的研究是很有趣但通常是非常困難和具有挑戰(zhàn)性的.通過細(xì)致分析解的漸近性態(tài)并借助拓?fù)涠壤碚摵头种Ю碚?我們完全確定了

4、該模型共存解存在的充要條件.(本章的主要結(jié)果發(fā)表于J.Math.Anal.Appl.,2010(369):555-563)在第四章中,我們討論了一個(gè)具有分次擴(kuò)散的捕食模型的平衡態(tài)模式.我們首先對(duì)平衡態(tài)解作了一些先驗(yàn)估計(jì),接著利用這些估計(jì)我們討論了共存解不存在的條件,最后,利用分支理論,我們獲得了共存解存在的充分條件并刻畫了共存解的共存區(qū)域。(本章的主要結(jié)果已投往Math.Model Anal.)第二部分(本文第五章至第七章)主要討論非線

5、性拋物方程解的周期性和爆破性.我們首先討論的是周期問題.晝夜更替,日月變遷,生命繁衍,自然界許多狀態(tài)或過程周而復(fù)始地有規(guī)律地變化著,因此對(duì)周期解的討論有著重要的意義;其次,我們討論非線性拋物方程解的爆破問題,對(duì)該問題的研究具有重要的理論意義和實(shí)際意義.這方面的研究是當(dāng)今非線性發(fā)展方程理論研究中的前沿和熱點(diǎn)問題之一.本部分的具體安排如下:
　　 在第五章中,我們討論了一個(gè)logistic型的多孔介質(zhì)方程的周期解。利用Leray-S

6、chauder不動(dòng)點(diǎn)理論,我們首先建立了非平凡周期解的存在性,接著我們利用Moser迭代技術(shù)證明了這些周期解的支集和時(shí)間無關(guān),最后利用單調(diào)性方法我們建立了極大周期解的吸引性.(本章的主要結(jié)果發(fā)表于Math.Meth.Appl.Sci.,2010(33):1942-1954)在第六章中,我們討論了齊次Dirichlet邊界條件下的具有局部化源的弱耦合的退化、奇異拋物方程組解的爆破性質(zhì).我們首先證明了該方程組經(jīng)典解的存在性,接著研究了解整體

7、存在或有限時(shí)間爆破的充分條件,最后我們研究了爆破解的爆破集和爆破速率.(本章的主要結(jié)果發(fā)表于Z.Ange.Math.Phy.,2011(62):47-66)在第七章中,我們研究了一類具有非局部源的非牛頓多方滲流方程解的整體存在性和爆破性.在一定的假設(shè)下,我們得到了解的整體存在或有限時(shí)間爆破的充分條件.最后,在臨界條件下,我們同樣討論了該問題整體存在性和爆破性.(本章的主要結(jié)果發(fā)表于ANZIAM J.,2008(50):13-29)第三部

8、分(本文第八章至第九章)主要討論非線性雙曲方程解的爆破性、生命跨度和衰減性.由于雙曲方程有著重要的物理背景,長(zhǎng)期以來一直是數(shù)學(xué)工作者研究的熱點(diǎn).自從John引入生命跨度(局部解存在的最大時(shí)間)的概念以來,許多數(shù)學(xué)工作者在這方面做了大量的工作.他們主要討論生命跨度與非線性項(xiàng)形式及空間維數(shù)之間的關(guān)系.本部分將討論兩類非線性雙曲方程解的爆破性、生命跨度和衰減性.本部分的具體安排如下:
　　 在第八章中,我們研究了一類含有非線性阻尼項(xiàng)的

9、雙曲系統(tǒng)的初邊值問題.在一定的假設(shè)下,我們得到了全局解的不存在性并估計(jì)了解的生命跨度.我們的結(jié)果改進(jìn)了Agre和Rammaha(Diff.Inte.Equation,2006)的結(jié)果.(本章的主要結(jié)果已投往Nonlinear Anal.)在第九章中,我們研究了一類具有阻尼項(xiàng)的非線性高階波動(dòng)方程.我們首先給出了整體解存在的充分條件,接下來,在一些初始能量的假設(shè)下,我們研究了局部解的爆破性質(zhì).對(duì)于整體解,我們研究了它的衰減性質(zhì),對(duì)于爆破解,