非線性發(fā)展方程組的整體解及漸近性態(tài).pdf

1、非線性發(fā)展方程解的漸近性態(tài),尤其是當時間趨于無窮大時整體解是否收斂到某個穩(wěn)態(tài)解的問題的研究,是非線性發(fā)展方程研究中的一個基本問題,自上個世紀中期以來引起了國際上一大批數(shù)學(xué)家的興趣和關(guān)注。對于物理、生物以及工業(yè)上提出的各類非線性發(fā)展方程(組)的研究具有理論和實際上的重要意義,并有廣泛的應(yīng)用(例如材料學(xué)上提出的phase-field方程以及生物學(xué)上提出的chemotaxis模型等等)。
　　 整體解是否收斂到平衡態(tài),作為非線性發(fā)展方

2、程研究的一個基本問題,最早是由Zelenyak[91]和Matano[60]分別采用不同的方法考慮了一維情形時的非線性拋物型方程,證明了如果整體解關(guān)于時間是一致有界的,則當時間趨于無窮大時,解將收斂到某個平衡態(tài)。但是,當空間維數(shù)大于等于2時情形將復(fù)雜的多。對于梯度系統(tǒng),整體解對應(yīng)的ω-極限集是方程對應(yīng)穩(wěn)態(tài)問題解集的連通緊子集。如果穩(wěn)態(tài)問題解集是離散的,則易知ω-極限集是一個單點集,從而得到收斂性結(jié)果。然而,當空間維數(shù)大于1的時候,非線性

3、發(fā)展方程對應(yīng)穩(wěn)態(tài)問題的解集往往不是離散的,甚至是一個連續(xù)集。例如P.Polacik&K.P.Rybakowski[68]于1996年指出當Ω為R2中的單位圓盤時,對于具有非解析的非線性項的拋物型方程,其Dirichlet初邊值問題的一致有界整體解的ω-極限集與單位圓微分同胚,即不是一個單點集,從而該整體解不會收斂到某個平衡態(tài)。Simon于1983年[74]作出了一個重大突破,他證明了在高維情形下如果拋物型方程的非線性項是關(guān)于未知函數(shù)解析

4、的,則一致有界的整體解將收斂到某個穩(wěn)態(tài)點。他使用的關(guān)鍵工具是把關(guān)于有限維空間上解析函數(shù)的著名的Lojasiewicz不等式推廣到了無限維空間上,即所謂的Lojasiewicz-Simon不等式。自此以后國際上開展了大量的研究工作致力于研究各類非線性發(fā)展方程(組)整體解當時間趨于無窮大時收斂到平衡態(tài)的問題。
　　 本文的主要內(nèi)容如下:
　　 第一章緒論,簡要回顧問題的背景,研究現(xiàn)狀以及我們證明的思路和方法。介紹了本文考慮的

5、問題的特點、數(shù)學(xué)上的困難以及本文的創(chuàng)新之處。最后,簡要列舉了一些必要的基本知識和常用不等式。
　　 第二章,我們分兩節(jié)分別考察了Cattaneo熱傳導(dǎo)模型下拋物一雙曲耦合型和完全雙曲型的相場方程組,分別對應(yīng)相場函數(shù)沒有相延遲和有相延遲的情況,證明了齊次Neumann邊界條件下整體解的存在唯一性以及解收斂到平衡態(tài)的結(jié)果,并給出了收斂速率的估計。需要指出的是,對于雙曲型發(fā)展方程組,由于不具備拋物型方程那樣的光滑性,整體解軌道的緊性證

6、明亦成為一個關(guān)鍵難點,我們對軌道進行了分解從而解決了這一問題。另一方面,Lojasiewicz-Simon的方法對于雙曲型方程不能直接應(yīng)用,需要針對具體問題構(gòu)造相應(yīng)的輔助泛函來得到收斂性結(jié)果。
　　 第三章,我們研究了具有體積填充效應(yīng)(volume-fillingeffect)的Chemotaxis模型,證明了整體解隨時間趨于無窮大時收斂到平衡態(tài)并得到收斂速率的估計。需要指出的是,此問題中我們要考察的能量泛函在相空間上不再解析,