數(shù)列通項公式的方法總結(jié)

1、專題一：求解通項公式（1）觀察法觀察法例1：根據(jù)數(shù)列的前4項，寫出它的一個通項公式：（1）9，99，999，9999，…（2）（3）?171641093542211?5221321（4）?54433221??解：（1）變形為：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通項公式為：110??nna（2）122???nnnan（3）12??nan（4）.點評：關(guān)鍵是找出各項與項數(shù)n的關(guān)系。1)1(1?????nnann（2）定義

2、法定義法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式。例2：已知數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列bn是公比為q的(q∈R且q≠1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d1)，b1=f(q1)，b3=f(q－1)，(1)求數(shù)列an和bn的通項公式；解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d1)=d2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，∴d=2，∴an=a1(n－1)d=2(n－1)

3、；又b1=f(q1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=bqn－1=4(－2)n－12213)2(qqbb??（3）公式法公式法：已知（即）求，用作差法：nS12()naaafn?????na。?11(1)(2)nnnSnaSSn?????例:3：(07重慶21題)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為滿足＞1且6=nanS1SnSn∈求的通項公式。(1)(2)nnaa??N?na解：

4、由=解得=1或=2，由已知＞1，因此=2又11aS?111(1)(2)6aa??1a1a11aS?1a由=得11nnnaSS????1111(1)(2)(1)(2)66nnnnaaaa???????=0∵＞0∴11()(3)nnnnaaaa?????na13nnaa???從而是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，故的通項為=23(n1)=3n1.nanana當(dāng)時，符合上式∴.（5）倒數(shù)法倒數(shù)法：形如形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項11nnn

5、aakab????例6：已知數(shù)列，=，，求=？na1a1?11nnnaaa???nN??na解：把原式變形得兩邊同除以得11nnnnaaaa?????1nnaa?1111nnaa???∴是首項為，d=的等差數(shù)列故∴。1na1?1?11(1)(1)nnna???????1nan??（6）構(gòu)造等比數(shù)列法）構(gòu)造等比數(shù)列法:）（1）遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。qpaann???1)0)1((??ppq解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再

6、利用換元法換元法轉(zhuǎn)化為)(1taptann????pqt??1等比數(shù)列求解。（2）遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。nnnqpaa???1)0)1)(1((???qppq（或其中p，qr均為常數(shù)）1nnnaparq???解法：該類型較類型3要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：1?nqqqaqpqannnn111?????引入輔助數(shù)列引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型3的方法解決。??nbnnnqab?qbqpbnn1