專題復習_“隱形圓”問題

1、12“隱形圓”問題江蘇省通州高級中學一、問題概述江蘇省高考考試說明中圓的方程是C級知識點，每年都考，但有些時候，在條件中沒有直接給出圓方面的信息，而是隱藏在題目中的，要通過分析和轉化，發(fā)現(xiàn)圓（或圓的方程），從而最終可以利用圓的知識來求解，我們稱這類問題為“隱形圓”問題二、求解策略如何發(fā)現(xiàn)隱形圓（或圓的方程）是關鍵，常見的有以下策略策略一利用圓的定義（到定點的距離等于定長的點的軌跡）確定隱形圓例1（1）如果圓(x－2a)2＋(y－a－3)

2、2＝4上總存在兩個點到原點的距離為1，則實數(shù)a的取值范圍是?6?a?05略解：到原點的距離為1的點的軌跡是以原點為圓心的單位圓，轉化到此單位圓與已知圓相交求解（2）（2016年南京二模）已知圓O：x2＋y2＝1，圓M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得∠APB＝60，則a的取值范圍為解：由題意得OP?2，所以P在以O為圓心2為半徑的圓上，即此圓與圓M有公共點，因此有2?1?OM

3、?2?1?1≤a2?(a?4)2≤9?2?2≤a≤2??222（3）（2017年蘇北四市一模）已知A、B是圓C:x2?y2?1上的動點，AB=3，P是圓C:(x?3）2?(y?4)2?1上的動點，則PA?PB的取值范圍是[713]1略解：取AB的中點M，則C1M=21，所以M在以C1圓心，半徑為2的圓上，且PA?PB?2PM，轉化為兩圓上動點的距離的最值（4）若對任意??R，直線l：xcos?＋ysin?＝2sin(?＋?)＋4與圓C：

4、(x－m)2＋(y－3m)26＝1均無公共點，則實數(shù)m的取值范圍是(?15)22略解：直線l的方程為：(x1)cos?＋(y3)sin?＝4，M(13)到l距離為4，所以l是以M為圓心半徑為4的定圓的切線系，轉化為圓M與圓C內含0策略二動點P對兩定點A、B張角是900（kPA?kPB??1，或PA?PB?0）確定隱形圓例3（1）（2014年北京卷）已知圓C：(x?3)2?(y?4)2?1和兩點A(?m0)，B(m0)，若圓上存在點P，使

5、得?APB?90，則m的取值范圍是?46?略解：由已知以AB為直徑的圓與圓C有公共點（2）（海安2016屆高三上期末）在平面直角坐標系xOy中，已知點P(?1，0)，Q(2，1)，直線l：ax?by?c?0其中實數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，若點P在直線l上的射影為H，則線段QH的取值范圍是[232]解：由題意，圓心C(1，－2)在直線ax＋by＋c＝0上，可得a－2b＋c＝0，即c＝2b－a直線l：(2a－b)x＋(2b－c)y＋(2c－a

6、)＝0，即a(2x＋y－3)＋b(4－x)＝0，?2x?y?3?0由??4?x?0，可得x＝4，y＝－5，即直線過定點M(4，－5)，由題意，H在以PM為直徑的圓上，圓心為A(5，2)，方程為(x－5)2＋(y－2)2＝50，∵|CA|＝42，∴CH最小為52－42＝2，CH最大為42＋52＝92，∴線段CH長度的取值范圍是[2，92]（3）（通州區(qū)2017屆高三下開學初檢測）設m?R，直線l1：x?my?0與直線l2：mx?y?2m?

7、4?0交于點P(x0y0)，則x02?y2?2x0的取值范圍是[12?41012?410]略解：l1過定點O(0，0)，l2過定點A(2，4)，則P在以OA為直徑的圓上（除去一點），變式（2017年南京二模）在平面直角坐標系xOy中，直線l1：kx－y＋2＝0與直線l2：x＋ky－2＝0相交于點P，則當實數(shù)k變化時，點P到直線x－y－4＝0的距離的最大值為32策略三兩定點A、B，動點P滿足PA?PB??確定隱形圓例4（1）（2017年南