函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、主講人：余夢濤,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判定、極值與最值導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用 1）彈性分析 2）邊際分析 3）最值問題,本節(jié)重難點(diǎn),1．單調(diào)性的判別法,單調(diào)性的判別法,定理,內(nèi)可導(dǎo),上單調(diào)增加;,1．單調(diào)性的判別法,單調(diào)性的判別法,定理,內(nèi)可導(dǎo),上單調(diào)減少;,例,又,解,函數(shù)單調(diào)減少；,函數(shù)單調(diào)增加.,注：,函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo),的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性.,數(shù)在這一區(qū)間

2、上的符號來判定，而不能用一點(diǎn)處,觀察下面的圖形, 你能得出什么結(jié)論？,,,,,,,,,,例,解,注意：,區(qū)間內(nèi)個別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零不影響區(qū)間的單調(diào)性.,,綜上所述, 可知:,提供了判斷函數(shù)單調(diào)性的方法,,,,,,例1,解:,,,,訓(xùn)練題,解:,單調(diào)區(qū)間為,,,,,,1．函數(shù)極值的定義P128,定義,內(nèi)的一個點(diǎn).,對于該鄰域內(nèi)的,如果存在著點(diǎn) 的一個鄰域,,任何點(diǎn),除了點(diǎn) 外,,均成立,,就,對于該鄰域內(nèi)的,如果存在著點(diǎn)

3、 的一個鄰域,,任何點(diǎn),除了點(diǎn) 外,,均成立,,就,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,,使函數(shù)取得,極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).,是,函數(shù)極值的求法P129,定理1,(必要條件),取得極值,,則,定義,使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(即方程 的實(shí)根)叫做,函數(shù) 的駐點(diǎn).,注:,可導(dǎo)函數(shù) 的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn),,但函數(shù)的,駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn).,例如:,但

4、不是極值點(diǎn).,定理,(第一充分條件),鄰域內(nèi),鄰域內(nèi),(3),不變號,,則 在,處沒有極值.,如果在點(diǎn) 的鄰域內(nèi),,,,,,,,(不是極值點(diǎn)情形),函數(shù)極值的求法P129,求函數(shù)極值的步驟總結(jié)如下:,(1),(3),(4),完,求導(dǎo)數(shù),(2),求出函數(shù)極值.,例,解,列表討論如下：,所以,,定理 (第二充分條件),且,則,(1),(2),函數(shù)極值的求法P131,例,解,令,得駐點(diǎn),又,故極大值,故極小值,訓(xùn)練

5、題,,解:,函數(shù)的最值,在某些問題中，往往關(guān)心的是函數(shù)在整個定義域區(qū)間上，哪個值最大或最小的問題，這就是我們通常所說的最值問題.,最大值最小值的求法,若函數(shù) 在 上連續(xù),,除個別點(diǎn)外處處可導(dǎo),,并且至多有有限個導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),,上的最大值與最小值存在.,則 在,步驟:,1.,求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);,2.,求區(qū)間端點(diǎn)、,駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,,比較大小,,哪個大哪個就是最大值,,小哪個就是最小值.,哪

6、個,注意:,如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值,,則這個極值就是,(最大值或最小值).,最值,y=x4-2x2+5, x?[-2 , 2 ],13,13,當(dāng)x變化時，y′ 、 y的變化情況如下表：,故函數(shù)的最大值為13,最小值為4.,,,,,邊際函數(shù),在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,,函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)稱為邊際函數(shù).,函數(shù)的增量與自變量增量的,比值,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,,處的變化率,,在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,,處的邊際函數(shù)值.,邊際函數(shù),(即,時,,函數(shù)的增量為,值相對來比很小時,,則有近

7、似式,它表明:,中,,邊際函數(shù)值的具體意義時,,在經(jīng)濟(jì)學(xué),通常略去“近似”二字.,邊際收入與邊際利潤,給產(chǎn)品所定的價格,稱為價格函數(shù),,于是,收入函數(shù),利潤函數(shù),是成本函數(shù)),收入函數(shù)的導(dǎo)數(shù),稱為邊際收入函數(shù);,利潤函數(shù)的導(dǎo)數(shù),稱為邊際利潤函數(shù).,例,解,由需求函數(shù),,代入得總收入函數(shù),平均收入函數(shù)為,邊際收入函數(shù)為,平均收入為,邊際收入為,例,設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為,是需求量),,成本函數(shù)為,(元).,其利潤最大?,格,,訓(xùn)練題,A.3

8、500,B.4000,C.3000,D.2500,解：,訓(xùn)練題,A.30,B.8,C.11,D.16,解：,函數(shù)的彈性,前面所引入的邊際函數(shù)的概念,實(shí)際上是研究函數(shù)的,絕對改變量與絕對變化率,,經(jīng)濟(jì)學(xué)中常需研究一個變,量對另一個變量的相對變化情況,,為此引入下面定義,定義,函數(shù)的相對改變量,稱為函數(shù),(或相對變化率).,函數(shù)的彈性,或靈敏度.,注:,變化幅度的大小,需求彈性,設(shè)需求函數(shù),是,,價格變動,1%,,需求量將變化,通常也略去“