代數(shù)學基礎0

1、線性代數(shù)作為先修課程，以下內容作為已學過內容。,行列式的定義、性質與計算矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、分塊乘法，逆矩陣及其求法向量組的線性相關與無關及相應性質線性方程組基本理論與一般解法二次型理論與計算,一、初等矩陣和矩陣的初等變換,矩陣初等變換定義: 倍法變換、消法變換、換法變換.初等矩陣，倍法矩陣 P[i(k)], k≠0 消法矩陣 P[i,j(k)]

2、 換法矩陣 P[i,j]初等 矩陣都可逆的，其逆仍是同種的初等陣。,初等矩陣與初等變換的關系，有如下結論1°以 乘矩陣A等于將A的第 擴大k倍;2°以 乘A等于將A的第 之k倍加于第3°以 乘A等于互換A的i,j兩 .,線性相關：對

3、 ，若有不全為0的數(shù)k1，k2, …，ks，使（*）線性無關,二、向量組的線性相關性,關于向量組相關（無關）性的主要結論1°一組向量（個數(shù)多于1）線性相關的充要條件是其中（至少）有一個向量可以由其余向量線性表示.2°若 無關，而 相關，則 必可由 線表示，而且表法唯一. 3

4、 °相關組的擴大組仍相關；無關組的部分組仍無關.4 °n維向量多于n個時必成相關組.5 °若 被 線表，且s>t，則必為相關組.,向量組的極大無關組定義向量組的秩——極大無關組中向量個數(shù)矩陣的秩 A的行秩= A的列秩= A的行列式秩=秩A,第0章 預備知識,1.1 數(shù)域 數(shù)域就是描述數(shù)的范圍的一個概念。

5、 設F是一個元素個數(shù)多于1的數(shù)集，如果F中任意兩個數(shù)的和、差、積、商（當除數(shù)非0時）仍是F中的數(shù)，就稱F為一個數(shù)域。,第1節(jié) 多項式,其他數(shù)域:,構成一個數(shù)域.,有理數(shù)域是最小的數(shù)域；復數(shù)域是最大的數(shù)域.,以下討論問題時，凡涉及到數(shù)的，我們總假設是在某個數(shù)域上進行的.此時，參與運算的數(shù)都要限定在該數(shù)域內 例如，f（x）是實數(shù)域上的多項式，就是指f（x）的所有系數(shù)都是實數(shù).,常用的數(shù)域 :有理數(shù)域---記為Q.

6、 實數(shù)域------記為R. 復數(shù)域-----記為C.,定義1.2 對于非負整數(shù)n及數(shù)域F上的數(shù)ai(i=1,2, …,n),變量x的形式表達式,f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 (1),稱為數(shù)域F上的一個多項式.當a

7、n≠0時，則稱（1）為一個一元n次多項式，非零數(shù)an稱為該多項式的首項系數(shù)，a0稱為常數(shù)項.,例如 3x4+x-2是一個4次多項式；,3是一個0次多項式；,所有系數(shù)都是0的多項式0稱為零多項式.零多項式不定義次數(shù).如果為了方便，也可以認為它的次數(shù)為-∞.,1.2 多項式,對于正整數(shù)n，與n次多項式f(x)對應的方程f(x)=0稱為n次代數(shù)方程.,例如 一元二次方程,ax2+bx+c=0, a≠0.,它的根依據a，b，c的不同取

8、值可能為不同二實根、相同二實根或共軛二復根.重復出現(xiàn)的根稱為重根，其重復出現(xiàn)的次數(shù)稱為該重根的重數(shù).重數(shù)為1的根稱為單根.,定理1.3 在復數(shù)域上， n次代數(shù)方程恰有n個根(n≥1).,定義1.3 對于n次(n≥1)多項式f(x)，代數(shù)方程f(x)=0的根亦稱為多項式f(x)的根或零點.,根據定理1.1及定義1.3可知： n次(n≥1)多項式f(x)在復數(shù)域上恰有n個根（重根的個數(shù)按其重數(shù)計算）.,如果n次多項式(1)的全部互

9、異的根為x1,x2, …,xt，它們的重數(shù)分別為n1,n2, …,nt，則有,(2),并且n1+n2+ …+nt=n.,(2)式右端稱為多項式f(x)在復數(shù)域上的標準分解式.,例如對于多項式f(x)=x3+2x2+x，分解式,f(x)=x(x+1)2，,f(x)=(x+1)2x,都是標準分解式，而,f(x)=x(x+1)(x+1)，,都不是標準分解式.,第2節(jié) 方陣的特征值與特征向量,定義2.1 對于n 階矩陣A=(aij),其主對角

10、線上n個元素之和a11+a22+…+ann稱為A的跡，記為trA.,定義2.2 對于n 階矩陣A=(aij),把含有字母λ的矩陣,稱為A的特征多項式.行列式 |λE- A|的值表達式 是一,個多項式，稱為A的特征多項式.特征多項式的根稱為的特征值，亦稱為特征根.,如果是特征多項式的單根，則稱為單特征值，否則稱為重特征值,定義2.3 設λ0是n階矩陣A的一個特征值.若有n 維零非列向量α使,Aα = λ0α,,則稱α為矩陣A

11、的對應于特征值λ0的特征向量.,由上面的定義可知，矩陣A的任一特征值λ0所對應的特征向量都是方程組(A－λE)x = 0 的全部非零解向量,顯然A的關于特征值λ0所對應的特征向量有無窮多個.,可以證明：方陣A的每一個特征向量只能對應于某一個確定的特征值.事實上,第3節(jié) 正交矩陣與酉矩陣,3.1 實向量的內積與正交矩陣,對 于復矩陣 稱為A的共軛矩陣.1°

12、 ; 2° ;3° ; 4° ;5° ;6°當A為方陣時， ;7°當A可逆， 亦可逆且

13、 . 記 稱為A 的共軛轉置矩陣. 有,3.2共軛矩陣,若方陣A滿足AHA=E,稱A為U—矩陣(酉矩陣).它是（實）正交矩陣的推廣.U—陣性質1°A為U—矩陣 ;2°若A為U—矩陣，則 亦然;

14、3°若A，B均為n階U—矩陣，則AB也是U—矩陣.,3.3 酉矩陣,H—矩陣[Hermite矩陣] 方陣A為H—陣實H—陣即實對稱陣，故H—陣是實對稱矩陣的推廣.H—矩陣性質1 °若A為H—陣，則| A |為實數(shù);2 °若A為H—陣，k為實數(shù)，則k A仍為H—陣;3 °若A為H—陣，則仍H—陣，當A可逆時， A-1亦為H－陣;4 °若A ， B均n階H—

15、陣，則A + B亦然.,第4節(jié) H—矩陣與H—二次型,H—二次型: 當 A 為H—陣時， 稱為H—二次型.對任何復向量 ， 為實數(shù).H—二次型有與實二次型平行的一系列結果.如相應于原二次型的H—陣A變換為,第 1 章 線性空間與線性變換,第1節(jié) 線性空間的定義與基本性質線性空間 設V是一個非空集合，F(xiàn)是一個數(shù)域。如果V上定義加法：對

16、 有 使 。定義數(shù)乘： 有 ，使 。并且以上兩種運算還滿足：1） ；2） ；3）V中存在零元素0，對 ，有

17、 ；4）V中每一元素 有負元素 ，使 ；5） ；6） ；7） ；8） 。則稱V為數(shù)域F上的一個線性空間（向量空間）。,線性空間的基本性質 1° 零元唯一（零向量有且僅有一個）；

18、 2 °任一元素的負元素唯一； 3 ° ，k0=0，當k≠0且 時， 必有 ； 4 ° ； 推論 。,本節(jié)將研究線性空間的結構。 最簡單——零空間{0}

19、 定義2.1 設V是數(shù)域F上的線性空間，如果V中有n個向量 滿足： 1） 線性無關； 2）V中任何向量 均可由 線性表示， 則稱為V的一組基（基底）?；邢蛄總€數(shù)n稱為V的維數(shù)，記為維V 或 dim(V)。 定理2.1 n維線性空間中任意n個線性無關的向量均可構成一組基。,第2節(jié) 基與維數(shù),例

20、 求實數(shù)域R上的線性空間R3的基與維數(shù)。例 求F2×3的基與維數(shù).解,1）E11，E12，E13，E21，E22，E23線性無關 ; 2）任何 ，有 ,可見E11，E12，E13，E21，E22

21、，E23為基，維F2×3=6.,例 求數(shù)域F上線性空間 F[x]3的維數(shù)和一組基。解 空間中一般元素可表述為 ， 可得一組基 ，維數(shù)為3。 一般情形 F[x]n，維數(shù)為n 一

22、組基： 。例 在通常數(shù)的加法、乘法運算下，① C（集合）作為復數(shù)域C上的線性空間為1維。 基 ，任 ，有 。② C（集合）作為實數(shù)域R上的線性空間則為2維。 基(i)

23、 無關,任何不全0的k1 , k2 ,(ii)任 有　 。,,第3節(jié) 坐標與坐標變換,坐標 設V為F上n維線性空間， 為一組基，對 ，由于線性表示性，有唯一一組常數(shù)， , 使,稱

24、有序數(shù)組 為 在基 下的坐標，記為 在取應基之下，向量與坐標1-1對應的.,例1 求F2×2中向量 在基下的坐標解 由線性表示式

25、 ,即得α基 下的坐標為 .,例 R[x]4中向量在基 下的坐標為（1, 0, 3, 0)T在基 下坐標為（0, 3, 0, 1)T .例 V：二階實對稱陣空間，數(shù)域R,基故A在基A

26、1，A2，A3下的坐標 .,下面，研究在取定基下，向量與坐標的1-1對應關系。1。在任一基下，零向量與零坐標一一對應，即2。在基 下，若向量 的生標為 的坐標為 則，1） ;2） . 2。可推廣：若

27、設同一基下， 的坐標為則 的坐標為 .,3。（定理3.1）設V是數(shù)域F上的n維線性空間，在取 定基 下，向量組 線性相關充要條件是它們的坐標 線性相關.證 相關

28、 線性相關.,對n維線性空間V（數(shù)域F上的），設 及都是V的基，于是它們可以互相線性表示: .借用矩陣相等及運算，可形式表示為

29、 (基變換公式)其中 .A被唯一確定，稱則基 到 的過渡矩陣或稱變換矩陣.,※ 過渡矩陣A必是可逆的. 上式兩端以A-1乘之 這也是基變換公式. 可以證明

30、,下面形式成立:,下面給出基變換與坐標變換的關系設向量 在基 及基 下 坐標分別為 , 并設基變換公式為于是由一個向量在取定基 下坐標之唯 一性，必有 或寫成

31、 . (坐標變換公式),例 在線性空間R3中，求由基的過渡矩陣，并求向量 在基 下的坐標 .解 設基變換公式為,則A中各列應是 在基 下的坐標 又 在 下的坐標里為

32、 按坐標變換公式，有 .于是,變換：由線性空間V到V映射,稱為線性空間上的變換. 記為變換的相等：σ，τ均為V上的變換，若對 總有 , 則 σ=τ.幾個特殊的變換:恒等變換 零變換數(shù)乘變換,第4節(jié) 線性變換及其運算,變換的運

33、算: 和 積 數(shù)乘 可證負變換可逆變換 對V的變換 ，若有V的變換 使 ，便說 可逆， 為 的逆，記為 .,線性變換 設V是數(shù)域W上的線性空間,σ 是V上的變換，如果1）2）則稱 為V的一個線性變換.1）2）稱為保持加法，保持數(shù)乘，總稱保持線性運算?？赡婢€性變換：既可逆又線性

34、的變換.,例　　R[x]n ,τ：求導變換， τ為線性變換. 例　 C作為實數(shù)域R上的線性空間，（ ）＝ 　為線性變換.　　　　1）　　　　2） 例　R2上的變換　??；對　　　R2 ,　　規(guī)定　　　　　, A 為取定2×2實矩陣,由于　　　1）　　　2） 是線性變換.,線性變換的基本性質（設 均為空間V上線性變換）1°2°線性變換保持線性組合

35、關系不變，即3°線性變換把線性相關組化為線性相關組,4°5°線性變換的運算滿足如下算律6°若 是可逆線性變換,則 亦然.,,第五節(jié) 線性變換的矩陣 設V，F(xiàn) , n維，基 設 ,若記 則,即可表為,例 在R［x］

36、n，τ為求導變換，求線性變換τ在基,例2 有限維線性空間V, 任一基 (1) (2) (3)定理5.2 保持加法，乘法，數(shù)乘.,定理 5.3 設線性空間V中， 則定理 5.4 若線變 在基 下的矩陣為A，V中向量ξ是在基 下的坐

37、標為x，則 在基 下的坐標為A x定理 5.5 同一線性變換在不同基下的矩陣相似，具體地說，如果線性變換 在兩基 及 下的矩陣別為A與B，且 ,則 . 相似因子即兩基變換矩陣,線性變換的特征多項式及特征根：即 在任意

38、取定基 之下的矩陣A的特征多項式及特征根. 的特征向量：若　　　　　　　　是Ａ屬于　之特征向量，則Ｖ中以x為坐標之向量稱為　的相應于特征根　的特征向量.,第6節(jié) 線性空間的子空間 子空間：設V是F上線性空間，V1 是V的非空子集，如果V1 對于V的兩運算也構成F上的線性空間，則稱V1 為V的一個線性子空間，簡稱為子空間。 定理6.1設V ，F(xiàn)，如果V的

39、非空子集V1 對于V的兩種運算滿足 1）對 ;2）對 ,則V1必是V的子空間.,例 ｛０｝，V的 平凡子空間（最小).例　 V =R3, V1 ={(a1,0, a2) a1, a2∈ R}.例 Ｖ＝Ｆnxn,V1={A A 為上三角陣，A V}.例

40、 線性變換 的核是V的子空間.,,,,例 是V中向量，它們的（系數(shù)取自F的 ）線性組合所成集合 構成子空間.V1稱為由向量 生成的子空間，記為 ,這里的 稱為生成元素.結論1 如果 的一個極大無關組的

41、 則 結論2 維,設V1 ，V2都是V的子空間, 交(空間): 和(空間): ※和不是并， .定理6.2子空間的交與和仍是子空間. 例 V=Rn×n, V1:上三角矩陣， V2：對稱矩陣，V3：反稱矩陣， V4：對角矩陣，則有,定理6.3（維數(shù)公式） 維V

42、1 +維V2=維(V1+ V2 )+維( V1∩V2).直和: 如果和V1+V2中每個向量 的分解式都是唯一的，則稱和V1+ V2為直和，記為V1 V2,不變子空間: 設 是V的線性變換，V1是V的子空間，如果V1中任意向量的象仍在V1中，即若 ，則 則稱V1為 的不變子空間. 例 線性變換 的特征子