數(shù)學(xué)史概論近代數(shù)學(xué)的興起

1、第五講 近代數(shù)學(xué)的興起------------文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)(15－17世紀(jì)初),5.2.1代數(shù)學(xué)5.2.2三角學(xué)5.2.3從透視學(xué)到攝影學(xué)5.2.4計(jì)算技術(shù)與對(duì)數(shù),5.1中世紀(jì)的歐洲 - 歐洲中世紀(jì)的回顧,公元5-11世紀(jì)，是歐洲歷史上的黑暗時(shí)期直到12世紀(jì)，同于受翻譯、傳播阿拉伯著作和希臘著作的刺激，歐洲數(shù)學(xué)與開始出現(xiàn)復(fù)

2、蘇跡象?？梢哉f(shuō)，12世紀(jì)是歐洲數(shù)學(xué)的翻譯時(shí)代歐洲黑暗時(shí)期過(guò)后，第一位有影響力的數(shù)學(xué)家是斐波那契,斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250):(1202 《算盤書》),《算盤書》主要內(nèi)容：,整數(shù)和分?jǐn)?shù)算法；開方法；二次和三次方程以及不定方程；系統(tǒng)介紹印度-阿拉伯?dāng)?shù)碼；《算盤書》可以看作是歐洲數(shù)學(xué)在經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的黑夜之后走向復(fù)蘇的號(hào)角。,一、文藝復(fù)興（14-16世紀(jì)）,文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)：13世紀(jì)末，在意大利各城市興起，以后

3、擴(kuò)展到西歐各國(guó)，于16世紀(jì)在歐州盛行的思想文化運(yùn)動(dòng)。是科學(xué)與藝術(shù)的革命時(shí)期,文藝復(fù)興時(shí)期在各領(lǐng)域取得很大成就 ，數(shù)學(xué)成就只不過(guò)是其中之一,5.2向近代數(shù)學(xué)的過(guò)度---希望的曙光-歐州文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué),代數(shù)學(xué) 三角學(xué) 從透視學(xué)到射影幾何計(jì)算技術(shù)與對(duì)數(shù),5.2.1代數(shù)學(xué),歐洲人在數(shù)學(xué)上的推進(jìn)是從代數(shù)學(xué)開始的，它是文藝復(fù)興時(shí)期成果最突出、影響最深遠(yuǎn)的領(lǐng)域，拉開了近代數(shù)學(xué)的序幕。主要包括三、四次方程求解與符號(hào)代數(shù)的引入這兩個(gè)方面。

4、,1. 三、四次方程根式求解的成功第一個(gè)突破：約1515年費(fèi)羅發(fā)現(xiàn)形如：x3+mx=n (m,n>0)，代數(shù)方程的解法并將解法秘密傳給自己的學(xué)生費(fèi)奧1535年，意大利另一位數(shù)學(xué)家塔塔利亞，也宣稱自己能解形如：x3+mx2=n (m,n>0)的三次方程。費(fèi)奧向塔塔利亞挑戰(zhàn)，要求各自解出對(duì)方提出的30個(gè)三次方程。,,,結(jié)果是，塔塔利亞很快解出形如: x3+mx2=n 和x3+mx=n (m,n>0)兩類

5、型所有方程，而費(fèi)奧只能解出后一類方程后來(lái)，塔塔利亞把解法傳給了卡爾丹,塔塔利亞（niccolo fontana, 1499?~1557，綽號(hào)tartaglia意為口吃著）,卡爾丹（1501-1576）醫(yī)生、數(shù)學(xué)家、預(yù)言家?！洞蠓ā贰剂巳畏匠痰慕夥ā?《大法》（Ars Magna）,,,（p, q >0）,,,,實(shí)質(zhì)是考慮恒等式,若選取a,b,使：3ab=p, a3-b3=q,不難解得a,b,p, q >0,2

6、.四次方程求解,費(fèi)拉里（1522-1565），卡爾丹的學(xué)生，獲得解一般四次方程的解法。,x4+ax3+bx2+cx+d=0基本思想是通過(guò)配方、因式分解后降次,關(guān)于四次方程的解法，以后韋達(dá)和笛卡爾都作過(guò)研究，并取得成果，由此引發(fā)探求五次方程根式解的嘗試，經(jīng)拉格朗日、阿貝爾、伽羅瓦的努力，阿貝爾首先證明了一般的五次及以上方程無(wú)根式解，伽羅瓦在此基礎(chǔ)上創(chuàng)造了群論，將代數(shù)研究推向縱深。,3.代數(shù)符號(hào)體系與代數(shù)運(yùn)算,韋達(dá)(F.Vieta):(1

7、591)近現(xiàn)代數(shù)學(xué)一個(gè)最為明顯、突出的標(biāo)志，就是普遍地使用了數(shù)學(xué)符號(hào)，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的高度抽象與簡(jiǎn)練。文藝復(fù)興時(shí)期代數(shù)學(xué)的另一重大進(jìn)展，便是系統(tǒng)地引入符號(hào)代數(shù)。 韋達(dá)是第一個(gè)有意識(shí)地、系統(tǒng)地使用字母。他的符號(hào)體系的引入導(dǎo)致代數(shù)性質(zhì)上產(chǎn)生最重大變革,韋達(dá)（1540-1603），法國(guó)數(shù)學(xué)家，（原是律師與政治家，業(yè)余時(shí)間研究數(shù)學(xué)。）創(chuàng)立符號(hào)代數(shù)；發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系。,16世紀(jì)最大的數(shù)學(xué)家,代數(shù)學(xué)之父：1591年《分析引論》,5.2.2三

8、角學(xué)(從球面三角到平面三角）,航海、歷法推算以及天文觀測(cè)的需要，推動(dòng)了三角學(xué)的發(fā)展 。早期三角學(xué)總是與天文學(xué)密不可分，這樣在1450年以前，三角學(xué)主要是球面三角 。后來(lái)由于間接測(cè)量、測(cè)繪工作的需要而出現(xiàn)了平面三角,三角學(xué),起源于古希臘。為了預(yù)報(bào)天體運(yùn)行路線、計(jì)算日歷、航海等需要，古希臘人已研究球面三角形的邊角關(guān)系，掌握了球面三角形兩邊之和大于第三邊，球面三角形內(nèi)角之和大于兩個(gè)直角，等邊對(duì)等角等定理。印度人和阿拉伯人對(duì)三角學(xué)也有研究和推進(jìn)

9、，但主要是應(yīng)用在天文學(xué)方面。15、16世紀(jì)三角學(xué)的研究轉(zhuǎn)入平面三角，以達(dá)到測(cè)量上的應(yīng)用目的。,在歐洲，最早將三角學(xué)從天文學(xué)獨(dú)立出來(lái)的數(shù)學(xué)家是德國(guó)人雷格蒙塔努斯（J.Regionomtanus,1436-1476）。雷格蒙塔努斯的主要著作是１４６４年完成的《論各種三角形》。這是歐洲第一部獨(dú)立于天文學(xué)的三角學(xué)著作。全書共５卷，前２卷論述平面三角學(xué)，后３卷討論球面三角學(xué)，是歐洲傳播三角學(xué)的源泉。雷格蒙塔努斯還較早地制成了一些三角函數(shù)表。,

10、三角學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，是法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)所做的平面三角與球面三角系統(tǒng)化工作。他在《標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)》（1579）和《斜截面》（1615）二書中，把解平面直角三角形和斜三角形的公式匯集在一起，其中包括自己得到的正切公式：,三角學(xué)在今天 的應(yīng)用,三角測(cè)量：在導(dǎo)航，測(cè)量及土木工程中精確測(cè)量距離和角度的技術(shù)，主要用于為船只或飛機(jī)定位。它的原理是：如果已知三角形的一邊及兩角，則其余的兩邊一角可用平面三角學(xué)的方法計(jì)算出來(lái)。,5.2.3從透視學(xué)到射影幾何,由于繪

11、畫、制圖的刺激而導(dǎo)致了富有文藝復(fù)興特色的學(xué)科——透視學(xué)的興起，從而誕生了投影幾何學(xué)。意大利藝術(shù)家布努雷契（f.brunelleschi, 1377~1446）由于對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)興趣而認(rèn)真研究透視法，他試圖運(yùn)用幾何方法進(jìn)行繪畫。數(shù)學(xué)透視法的天才阿爾貝蒂（l.b.alberti ，1404~1472) 的完全是數(shù)學(xué)性質(zhì)的《論繪畫》（1511）一書，是早期數(shù)學(xué)透視法的代表作，書中除引入投影線、截影等一些概念外，還討論了截影的數(shù)學(xué)性質(zhì)，成為射影幾

12、何發(fā)展的起點(diǎn)。,,重要人物,布努雷契 [意](F.Brunelleschi,1377-1446)阿爾貝蒂(L.B. Alberti ,1404-1472) ---早期數(shù)學(xué)透視法的代表作富有獨(dú)創(chuàng)精神的數(shù)學(xué)天才-----德沙格（g.desargues, 1591~1661） （笛沙格）,德沙格的工作,德沙格（1591-1661），法國(guó)陸軍軍官，德沙格定理。德沙格發(fā)表了—本關(guān)于圓維曲線的

13、很有獨(dú)創(chuàng)性的小冊(cè)子《試論錐面截一平面所得結(jié)果的初稿》 ，從開普勒的連續(xù)性原理開始，導(dǎo)出了許多關(guān)于對(duì)合、調(diào)和變程、透射、極軸、極點(diǎn)以及透視的基本原理,1、兩投影三角形對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)共線，反之，對(duì)應(yīng)邊共點(diǎn)的兩三角形，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)（德沙格定理）,,德沙格定理,德沙格,德沙格的另一項(xiàng)重要工作是從對(duì)合點(diǎn)問題出發(fā)首次討論了調(diào)和點(diǎn)組的理論。在對(duì)合概念的基礎(chǔ)上他又引入共軛點(diǎn)與調(diào)和點(diǎn)組的概念，認(rèn)為對(duì)合、調(diào)和點(diǎn)組關(guān)系在投影變換下具有不變性。,即投影線的每

14、個(gè)截線上的交比都相等:如下圖，有( A B , C D )=( A′B′,C′D′),2、交比在投影下的不變性；,3、對(duì)合、調(diào)合點(diǎn)組關(guān)系不變性。,對(duì)任一直線上的定點(diǎn)O，稱直線上的兩對(duì)點(diǎn)A，B和A′，B′是對(duì)合的，如果成立：OA·OB=OA′ ·OB′,帕斯卡,帕斯卡（1623-1662），著作《圓錐曲線論》（1640），在射影幾何方面他最突出的成就就是帕斯卡定理：圓錐曲線的內(nèi)接六邊形對(duì)邊交點(diǎn)共線。,拉伊爾（1640-

15、1718），著作《圓錐線》，最突出的地方在于極點(diǎn)理論方面有所創(chuàng)新，獲得并且這樣的定理：若一點(diǎn)Q在直線p上移動(dòng)，則該點(diǎn)Q的極帶將繞直線p的極點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)。,5.2.4計(jì)算技術(shù)與對(duì)數(shù),十六世紀(jì)前半葉，歐洲人象印度、阿拉伯人一樣，把實(shí)用的算術(shù)計(jì)算放在數(shù)學(xué)的首位。1585年荷蘭數(shù)學(xué)家史蒂文發(fā)表的《論十進(jìn)制算術(shù)》系統(tǒng)探討十進(jìn)數(shù)及其運(yùn)算理論，并提倡用十進(jìn)制小數(shù)來(lái)書寫分?jǐn)?shù)，還建議度量衡及幣制中也廣泛采用十進(jìn)制。這種十進(jìn)位值制的采用又為計(jì)算技術(shù)的改

16、進(jìn)準(zhǔn)備了必要條件。,這一時(shí)期計(jì)算技術(shù)最大的改進(jìn)是對(duì)數(shù)的發(fā)明和應(yīng)用，它主要是由于天文和航海計(jì)算的強(qiáng)烈需要，為簡(jiǎn)化天文、航海方面所遇到繁復(fù)的高位數(shù)值計(jì)算，自然希望將乘除法歸結(jié)為簡(jiǎn)單的加減法。,蘇格蘭貴族數(shù)學(xué)家納皮爾(j.napier)正是在球面天文學(xué)的三角學(xué)研究中首先發(fā)明對(duì)數(shù)方法的。1614年他在題為《奇妙的對(duì)數(shù)定理說(shuō)明書》的小書中，闡述了他的對(duì)數(shù)方法。,納皮爾（1550-1617），利用兩種不同的運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，建立了“對(duì)數(shù)”關(guān)系。稱為納

17、皮爾對(duì)數(shù)。,對(duì)數(shù)的實(shí)用價(jià)值很快為納皮爾的朋友，倫敦雷沙姆學(xué)院幾何學(xué)教授布里格斯(henrybriggs,1561~1631)所認(rèn)識(shí)，他與納皮爾合作，決定采用 ，則    時(shí)得到     ，這樣就獲得了今天所謂的“常用對(duì)數(shù)”。,布里格斯（1561-1631），建立了以10為底的常用對(duì)數(shù)，制出第一張常用對(duì)數(shù)表。,

18、比爾吉（1552-1632），也獨(dú)立發(fā)明了對(duì)數(shù)。他對(duì)數(shù)思想的基礎(chǔ)是斯蒂費(fèi)爾的級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)思想，屬于算術(shù)性質(zhì)而略異于納皮爾的做法。 對(duì)數(shù)的發(fā)明大大減輕了計(jì)算工作量，很快風(fēng)靡歐洲，所以拉普拉斯（laplace, 1749~1827）曾贊譽(yù)道：“對(duì)數(shù)的發(fā)明以其節(jié)省勞力而延長(zhǎng)了天文學(xué)家的壽命”。,5.3解析幾何的誕生,誕生的社會(huì)背景：歷史地位：解析幾何是變量數(shù)學(xué)的第一個(gè)里程碑,解析幾何基本思想：,1.平面上引進(jìn)所謂“坐標(biāo)”的概念；2.平

19、面上的點(diǎn)和有序數(shù)對(duì)（x,y)之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；3.以此方式，代數(shù)方程f(x,y)=0與平面上一條曲線對(duì)應(yīng)起來(lái)；本質(zhì)思想：用代數(shù)的方法去研究幾何；,解析幾何最重要的前驅(qū)是法國(guó)數(shù)學(xué)家奧雷斯姆(N. Oresme, 1323~1382)；真正發(fā)明者歸功于法國(guó)另外兩位數(shù)學(xué)家笛卡兒(R.Descartes , 1596~1650)與費(fèi)馬(P. de Fermat, 1601~1665)。,笛卡兒(R.Descartes, 1596-16

20、50): 《幾何學(xué)》(1637),我思故我在,證明帕普斯問題時(shí)建立了歷史上第一個(gè)傾斜坐標(biāo)系,求：,,新穎的想法：,1.曲線次數(shù)與坐標(biāo)軸選取無(wú)關(guān),但坐標(biāo)軸選取應(yīng)使曲線方程盡量簡(jiǎn)單；2.利用曲線的方程表示來(lái)求兩條不同曲線的交點(diǎn)；3.大膽的想法：任何的問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程求解,一切問題化歸為代數(shù)方程求解問題后如何繼續(xù)？,1.任意選取單位線段;2.定義線段的加、減、乘、除、乘方

21、、開方等運(yùn)算；3.線段的巧妙表示：(a,b,c,……);,4.一切幾何問題成功轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)未知線段的單個(gè)代數(shù)方程:,z = b              z2 = -az + b            z3 =

22、-az2 + b z + c            z4 = -az3 + bz2 + cz + d,與笛卡兒懷疑、批評(píng)希臘幾何學(xué)思想相反。另一位法國(guó)巨人：費(fèi)馬工作的出發(fā)點(diǎn)是竭力恢復(fù)希臘幾何他倆工作的出發(fā)點(diǎn)不同，但方式都是采用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問題。,費(fèi)馬(P.de Fermat, 1601-1665),>(1629),,法國(guó)

23、人、業(yè)余數(shù)學(xué)家、數(shù)論方面是承前啟后的人物、幾何方面是一個(gè)創(chuàng)造性人物。,任意曲線和它上面的一般點(diǎn)I；I的位置可以用A、E兩個(gè)字母確定;,,因此，用我們今天的眼光看來(lái)他所稱的兩個(gè)未知量A、E，就是我們今天所稱的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)。,費(fèi)爾馬還解析的定義以下曲線,直線方程：d(a-x)=by;圓：b2-x2=y2;橢圓：b2-x2=ky2;拋物線：x2=dy,y2=dx;雙曲線：xy=k2;x2+b2=ky2,the endthan