代數(shù)學的新生

1、第八章 代數(shù)學的新生,第一節(jié) 代數(shù)方程的可解性與群的發(fā)現(xiàn)第二節(jié) 從四元數(shù)到超復(fù)數(shù)第三節(jié) 布爾代數(shù)第四節(jié) 代數(shù)數(shù)論,序言,1、18世紀的數(shù)學悲觀主義,從17世紀初開始，數(shù)學經(jīng)歷了近兩個世紀的開拓，在18世紀行將結(jié)束的時候，數(shù)學家們對自己從事的這門科學卻奇怪地存在著一種普遍的悲觀情緒。拉格朗日于1781年在寫給達朗貝爾的信中說：“在我看來似乎（數(shù)學的）礦井已經(jīng)挖掘很深了，除非發(fā)現(xiàn)新的礦脈，否則遲早勢必放棄它，……科學院中幾何學（指數(shù)學

2、）的處境將會有一天變成目前大學里阿拉伯語的處境一樣，那也不是不可能的。”歐拉和達朗貝爾都同意拉格朗日的觀點。 法國法蘭西學院一份《關(guān)于1789年以來數(shù)學科學進展的歷史及其現(xiàn)狀的報告》更是預(yù)測在數(shù)學的“幾乎所有的分支里，人們都被不可克服的困難阻擋住了；把細枝末節(jié)完善化看來是剩下來惟一可做的事情了，所有這些困難好象是宣告我們的分析的力量實際上是已經(jīng)窮竭了?！?這種世紀末悲觀主義的由來，可能是因為17、18世紀數(shù)學與天文力學的緊密結(jié)合

3、，使部分數(shù)學家把天文與力學看成是數(shù)學發(fā)展的幾乎惟一源泉，而一旦這種結(jié)合變得相對滯緩和暫時進入低谷，就會使人感到迷失方向。18世紀末出現(xiàn)的數(shù)學悲觀主義具有深刻的認識論背景。,2、數(shù)學發(fā)展的動力,從根本上說，數(shù)學的發(fā)展與人類的生產(chǎn)實踐和社會需求密切相關(guān)，對自然的探索是數(shù)學研究最豐富的源泉。但是，數(shù)學的發(fā)展對于現(xiàn)實世界又表現(xiàn)出相對的獨立性。一種數(shù)學理論一經(jīng)建立，便可基于邏輯思維向前推進，并由此導致新理論與新思想的產(chǎn)生。因此，內(nèi)在的邏輯需要也是

4、數(shù)學進步的重要動力之一。過于看重數(shù)學進展對現(xiàn)實需要的依賴，而忽視數(shù)學發(fā)展的內(nèi)在動力，難免產(chǎn)生對數(shù)學發(fā)展前景的悲觀預(yù)見。,3、18世紀末數(shù)學悲觀內(nèi)部遺留的問題,實際上，就在18世紀后半葉，數(shù)學內(nèi)部悄悄積累的矛盾已經(jīng)開始醞釀新的變革。當時的數(shù)學家們面臨著一系列數(shù)學自身產(chǎn)生的、長期懸而未決的問題，其中最突出的是： （1）高于四次的代數(shù)方程的根式求解問題； （2）歐幾里得幾何中平行公理的證明問題； （3）牛頓、萊布尼茨微積分算法的邏

5、輯基礎(chǔ)問題。在19世紀初，這些問題已變得越發(fā)尖銳而不可回避。,生產(chǎn)實踐的需要數(shù)學發(fā)展的動力 數(shù)學內(nèi)部的矛盾 數(shù)學家的求知欲,,第一節(jié) 代數(shù)方程的可解性與群的發(fā)現(xiàn),中世紀的阿拉伯數(shù)學家把代數(shù)學看成是解代數(shù)方程的學問。直到19世紀初，代數(shù)研究仍未超出這個范圍。不過這時數(shù)學家們的注意力集中在了五次和高于五次的代數(shù)方程上。 二次方程的解法古巴比倫人就已掌握。中世紀

6、，阿拉伯數(shù)學家將二次方程的理論系統(tǒng)化。三、四次方程的求解在文藝復(fù)興時期獲得解決。接下來，讓人關(guān)心的自然是一般的五次或更高次的方程求解。,接下來，讓人關(guān)心的自然是一般的五次或更高次的方程求解。在解出三、四次方程后的整整兩個半世紀內(nèi)，很少有人懷疑五次代數(shù)方程根式解法的存在性。但是尋求這種解法的努力卻都以失敗而告終。,發(fā)現(xiàn)者：阿貝爾 伽羅瓦發(fā)展者：凱萊 若爾當 F·克萊因 李,挪威數(shù)學家。1802年8月5日生于芬島

7、一個牧師家庭，1829年4月6日卒于弗魯蘭。13歲入奧斯陸一所教會學校學習，年輕的數(shù)學教師霍爾姆博發(fā)現(xiàn)了阿貝爾的數(shù)學天才，對他給予指導。少年時，阿貝爾就已經(jīng)開始考慮一些數(shù)學問題。1821年在一些教授資助下，入奧斯陸大學。在學校里，他幾乎全是自學，同時花大量時間作研究。 1824年，他解決了用根式求解五次方程的不可能性問題。為了能有更多的讀者，他的論文以法文寫成，也送給了高斯，可是在外國數(shù)學家中沒有任何反響。1825年，他

8、去拍林，結(jié)識了克雷爾，并成為好友。他鼓勵克雷爾創(chuàng)辦了著名的數(shù)學刊物《純粹與應(yīng)用數(shù)學雜志》。,1、阿貝爾,第1卷（1826）刊登了7篇阿貝爾的文章，其中有一般五次方程用根式不能求解的證明。以后各卷也有很多他的文章。1826年阿貝爾到巴黎，遇見了勒讓德和柯西等著名數(shù)學家。他寫了一篇關(guān)于橢圓積分的論文，提交給法國科學院，不幸未得到重視，他只好又回到拍林。克雷爾為他謀求教授職位，沒有成功。 1827年阿貝爾貧病交迫地回到了挪威，

9、靠作家庭教師維生。直到阿貝爾去世前不久，人們才認識到他的價值。,阿貝爾（1802～1829）,1828年，四名法國科學院院士上書給挪威國王，請他為阿貝爾提供合適的科學研究位置，勒讓德也在科學院會議上對阿貝爾大加稱贊。次年4月6日，不到27歲的阿貝爾就病逝。柏林大學邀請他擔任教師的信件在他去世后的第二天才送出。此后榮譽和褒獎接踵而來，1830年他和雅可比共同獲得法國科學院大獎。 阿貝爾在數(shù)學方面的成就是多方面的。除了五次方程之外，

10、他還研究了更廣的一類代數(shù)方程，后人發(fā)現(xiàn)這是具有交換的伽羅瓦群的方程。為了紀念他，后人稱交換群為阿貝爾群。阿貝爾還研究過無窮級數(shù)，得到了一些判別準則以及關(guān)于冪級數(shù)求和的定理。這些工作使他成為分析學嚴格化的推動者。,阿貝爾和雅可比是公認的橢圓函數(shù)論的奠基者。阿貝爾發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的加法定理、雙周期性、并引進了橢圓積分的反演。他研究了形如∫R(x,y)dx的積分（現(xiàn)稱阿爾貝積分），其中R(x,y)是x 和y 的有理函數(shù)，且存在二元多項式 f ，

11、使 f ( x,y)=0。他還證明了關(guān)于上述積分之和的定理，現(xiàn)稱阿貝爾定理，它斷言:若干個這種積分之和可以用g個這種積分之和加上一些代數(shù)的與對數(shù)的項表示出來，其中g(shù)只依賴于f，就是f的虧格。 阿貝爾這一系列工作為橢圓函數(shù)論的研究開拓了道路，并深刻地影響著其他數(shù)學分支。埃爾米特曾說：阿貝爾留下的思想可供數(shù)學家們工作150年。,阿貝爾銅像,阿貝爾中學時代的筆記,2、伽羅瓦,盡管1824年阿貝爾完全證實了拉格朗日的命題：“不可

12、能用根式解四次以上方程”，粉粹了人們對根式求解五次以上代數(shù)方程的奢望，而且沒有忘記給出一些特殊的能用根式求解的方程，其中的一類現(xiàn)在被稱為“阿貝爾方程”。在此過程中，阿貝爾已在實際上引進了“域”這一重要的近世代數(shù)思想。 然而數(shù)學家們并不滿足，他們又開始追問：究竟什么樣的特殊方程能夠用根式來求解？在1829-1831年間完成的幾篇論文中，一位同樣年青的法國數(shù)學家伽羅瓦對此做出了解答。,（1811～1832）,伽羅瓦的思想是將

13、一個n次方程,的n個根（由代數(shù)基本定理可知）x1、 x2 、 …、 xn作為一個整體來考察，并研究它們之間的排列或稱“置換”。,為了容易理解起見，我們以四次方程的四個根x1、 x2 、 x3 、 x4為例，在包含這些 xi 的任何表達式中交換 x1和 x2 就是一個置換，表示成,另一個置換表示成,第一個置換后再實行第二個置換，等價于實行第三個置換,我們說頭兩個置換按上述順序作成的“乘積”就是第三個置換，即P1· P2 = P3

14、 。 對于四次方程的情形，易知共有4！=24個可能的置換。這些置換的全體構(gòu)成一個集合，而其中任意兩個置換的乘積仍是原來集合中的一個置換，伽羅瓦稱之為“群”。這是歷史上最早的“群”的定義，不過它只是針對一個具體的群（置換群）所作的定義，還不是抽象群的一般定義。但伽羅瓦正是利用他提出的群的概念來解決方程根式可解性問題的。,進一步考慮一個方程根的置換群中某些置換組成的“子群”。這個群，伽羅瓦稱之為“方程的群”，也就是我們今天所說的“伽

15、羅瓦群”。它的含義如下：考慮由方程系數(shù)的 有限次加、減、乘、除運算可能得到的一切表達式的集合。這個集合，現(xiàn)在叫方程的“基本域”，并記為 F=Q（ a1，a2 ，… ，an），Q為有理數(shù)域，a1,a2 ,…,an 是方程的系數(shù)，但伽羅瓦沒有用“域”這個名稱。 伽羅瓦群就是由方程的根的置換群中這樣一些置換構(gòu)成的子群，這些置換保持方程的根以 F 的元素為系數(shù)的全部代數(shù)關(guān)系不變。我們以四次方程為例來說明這個重要的概念。,設(shè)方程

16、 ，其中 p、 q 是獨立的，令F 是 p ，q,形成的域（基本域），如,就是這樣一個表達式。,已知方程的四個根：,容易看出這些根的系數(shù)在F中的下列兩個關(guān)系成立： x1 + x2 = 0， x3 + x4 = 0 ，可以驗證，在方程根的所有24個可能置換中，下面8個置換,都能使上述兩個關(guān)系在 F 中保持成立，并且這8個置換是24個置換中，使根之間在域F中的全部代

17、數(shù)關(guān)系都保持不變的僅有的置換。這8個置換就是方程在域F中的群，即伽羅瓦群。 需要指出，保持根的代數(shù)關(guān)系不變，就意味著在此關(guān)系中根的地位是對稱的。因此，伽羅瓦群刻畫了方程的根的對稱性。伽羅瓦于是指出，方程的群（即伽羅瓦群）與它是否根式可解存在著本質(zhì)聯(lián)系，對方程的群的認識，是解決全部根式可解問題的關(guān)鍵。伽羅瓦證明，當且僅當方程的群滿足一定的條件（即方程的群是可解群）時，方程才是根式可解的，也就是他找到了方程根式可解的充分必要條

18、件。 伽羅瓦攻克的難題雖然是三百年前的老問題，但他的思想?yún)s遠遠超出了他的時代。他的工作可以看成是近世代數(shù)的發(fā)端。這不只是因為它解決了方程根式可解性這樣一個難題，更重要的是群概念的引進導致了代數(shù)學在對象、內(nèi)容和方法上的深刻變革。,伽羅瓦之后，數(shù)學家們逐漸認識到“群”可以是一個更加普遍的概念，而不必僅限于置換群。 凱萊在1849-1854年間指出了矩陣在乘法下、四元數(shù)在加法下都構(gòu)成群，人們還發(fā)現(xiàn)高斯在數(shù)論中研究過的具

19、有同一判別式的二次型類 f = ax2 + 2bxy + cy2 （a，b，c 為整數(shù)，x，y 取整數(shù)值，D = b2 – ac 取固定值）對于型的合成運算也構(gòu)成群。 1868-1869年間，若爾當在物理學家布拉維斯關(guān)于運動群的理論的啟發(fā)下開展了無限群（即有無限多個元素的群）的系統(tǒng)研究。 若爾當?shù)墓ぷ饔绊懣巳R因關(guān)于幾何分類中的無限變換群的研究。 1874-1883年

20、間，挪威數(shù)學家李（1842-1899 ）研究了無限連續(xù)變換群（李群）。,Cayley,Jordan,Klein,Lie,到19世紀80年代，關(guān)于各種不同類型的群的研究使數(shù)學家們有了足夠積累來形成抽象群概念：,（A） 封閉性：對于運算 * ，? a ， b ? R，則a * b = c ? R ；（B） 結(jié)合性： 對于運算 * ，? a ，b ，c ? R， 則 （a * b ） *

21、 c = a * （ b * c ） ； （C） 存在單位元： ? I ? R，使 I * a = a * I = a ; （D） 存在逆元： ? a ? R，則 ? a -1 ? R，使 a * a -1 = a -1 * a = I 。,在抽象的群概念中，其元素本身的具體內(nèi)容已無關(guān)緊要，關(guān)鍵是聯(lián)系這些元素的運算關(guān)系。這樣建立起來的一般群論也就成了描寫其他各種數(shù)學和物理現(xiàn)象的

22、對稱性質(zhì)的普遍工具。在19世紀末，群論已被應(yīng)用于晶體結(jié)構(gòu)的研究，在現(xiàn)代物理中，群論更成為研究基本粒子、量子力學的有力武器。 代數(shù)學由于群的概念的引進和發(fā)展而獲得新生，它不再僅僅是研究代數(shù)方程，而更多地是研究各種抽象對象的運算關(guān)系，從而為20世紀代數(shù)結(jié)構(gòu)觀念的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。,1、19世紀初復(fù)數(shù)的幾何表示 四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)是繼伽羅瓦提出群的概念后，19世紀代數(shù)學最重大的事件。四元數(shù)是推廣平面復(fù)數(shù)系結(jié)構(gòu)的產(chǎn)物。

23、 18末19世紀初，韋塞爾、阿爾岡和高斯等人給出了復(fù)數(shù) a + bi （a，b為實數(shù)）的幾何表示，這樣復(fù)數(shù)才有了合法地位。在稍微熟悉了復(fù)數(shù)的幾何表示之后，數(shù)學家們認識到復(fù)數(shù)能用來表示和研究平面上的向量。,第二節(jié) 從四元數(shù)到超復(fù)數(shù),y,2、空間向量及其運算 向量概念在物理學上十分重要，力、速度或加速度這些有大小和方向的量都是向量，而人們很早就已知道向量的合成服從平行四邊形法則。數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)兩個復(fù)數(shù)相加的結(jié)果正好對應(yīng)于平行四邊形法則

24、相加的向量和。用復(fù)數(shù)來表示向量及其運算有一個很大的優(yōu)點，那就是，人們從此不必幾何地作出向量運算，就能通過代數(shù)的方法研究它們。這就像方程能用來表示和研究曲線而帶給人們方便一樣。然而事實卻使數(shù)學家們很快發(fā)覺，他們無法在三維情況下找到復(fù)數(shù)的一個類似物。,3、哈密頓對復(fù)數(shù)的推廣 在尋找復(fù)數(shù)三維推廣的數(shù)學家中，愛爾蘭數(shù)學家哈密頓也是其中一員。他在1837年曾把復(fù)數(shù)處理成實數(shù)的有序數(shù)偶，并希望通過推廣這種有序數(shù)偶的思想，來達到自己的目的。

25、如此結(jié)過15年的努力，他終于發(fā)現(xiàn)自己所要找的新數(shù)組應(yīng)包含四個分量，而且必須放棄乘法的交換性。他把這種新數(shù)組命名為四元數(shù)。,Hamilton,哈密頓的四元數(shù)形如 a + b i + c j + d k，其中a，b，c，d為實數(shù)，i，j，k滿足　 i 2 = j 2 = k 2 = －1 ;　 ij =－ji = k ， jk = －kj =i ， ki =－ik = j兩個四元數(shù)相乘可以根據(jù)上

26、面的規(guī)則仿照復(fù)數(shù)乘法那樣去做，例如，設(shè) p =1+2i + 3j + 4k ， q = 4+3i +2j + k，則 pq =（1+2i + 3j + 4k ）（4+3i +2j + k ） = －12 + 6i + 24j + 12k qp =（4+3i +2j + k） （1+2i + 3j + 4k ） = －12 + 16i + 4j + 2

27、2k,可見，但哈密頓證明了四元數(shù)乘法具有“結(jié)合性”，這是第一次使用這個術(shù)語。 四元數(shù)也是歷史上第一次構(gòu)造的不滿足乘法交換律的數(shù)系。四元數(shù)本身雖然沒有廣泛的應(yīng)用，但它對于代數(shù)學的發(fā)展來說是革命性的。哈密頓的作法啟示了數(shù)學家們，他們從此可以更加自由地構(gòu)造新的數(shù)系，通過減弱、放棄或替換普通代數(shù)中的不同定律和公理，就為眾多代數(shù)系的研究開辟了道路。,金雀花橋上的紀念石刻,在哈密頓之后，各種新的超復(fù)數(shù)像雨后春筍般涌現(xiàn)出來。

28、事實上，就在哈密頓建立四元數(shù)的同時，一位德國數(shù)學家格拉斯曼也在試圖對復(fù)數(shù)作出推廣，與哈密頓相比，格拉斯曼的推廣更為大膽。他實際上涉及的是n維向量空間。他的“擴張的量”就是一種有n個分量的超復(fù)數(shù)。,Grassmann,4、格拉斯曼,例如：當 n = 3 時，考慮兩個超復(fù)數(shù) ? = a1e1 + a2e2 + a3e3 ， ? = b1e1 + b2e2 + b3e3 其中，ai 和 bi 是實數(shù)，ei 是基元素，格拉

29、斯曼定義它們的加減法為 ? ? ? = (a1? b1 )e1 +(a2? b2 )e2 + (a3? b3 )e3 ， 而對于乘法則定義了兩種，一種稱為內(nèi)積，另一種稱為外積。對于內(nèi)積，他假設(shè) ei ?ei = 1， ei ?ej = 0， i ? j ， 所以 ? ?? = a1b1 + a2 b2 + a3 b3 ，并且有? ?? = ? ?? 。,對于外積，他假設(shè)[eiei

30、 ] = 0，[eiej ] =- [ej ei]，i ? j，所以 [?? ]=（a2 b3－a3 b2）[e2e3]+（a3 b1－a1 b3）[e3e1] +（a1b2－a2 b21）[e1e2] ， 顯然 [?? ] ? [??] 。 格拉斯曼還討論了超復(fù)數(shù)之間的混合積。在1855年的一篇文章中，格拉斯曼對超復(fù)數(shù)給出了16種不同類型的乘積。他對這些乘積作了幾何解釋，并給出了它們在力學、磁學

31、和結(jié)晶學等方面的應(yīng)用。,將復(fù)數(shù)推廣到超復(fù)數(shù)的一個重要動力原本來源于物理中力學計算的需要。格拉斯曼的超復(fù)數(shù)在一定程度上滿足了這種需要，但他的工作在相當長的一段時間里被人忽視了。四元數(shù)倒是很快吸引了人們的注意力，但它卻不適合物理學家的需要。將四元數(shù)改造成物理學家所需要的工具的第一步，是由英國數(shù)學物理學家麥克斯韋邁出的。,麥克斯韋,他將四元數(shù)結(jié)構(gòu)區(qū)分為數(shù)量部分和向量部分，并在此基礎(chǔ)上創(chuàng)造了大量的向量分析，不過他還是沒有把向量與四元數(shù)完全分開，

32、仍然經(jīng)常把四元數(shù)作為基本的數(shù)學實體。,5、吉布斯與亥維賽,獨立于四元數(shù)的三維向量代數(shù)和向量分析，是在19世紀80年代初由美國數(shù)學物理學家吉布斯和英國數(shù)學物理學家亥維賽創(chuàng)立的。他們兩人對這個課題的發(fā)展結(jié)果，除了記法外本質(zhì)上是一致的。根據(jù)他們提出的思想，一個向量只是四元數(shù)的向量部分，但獨立于任何四元數(shù)。因此，向量v=ai+bj+ck 其中i，j，k 是分別沿軸x，y，z的單位向量，a，b，c是三個實數(shù)，稱為向量的分量。兩個向量的和仍是一個向

33、量，它的分量就是相加的兩個向量相應(yīng)分量的和。,向量的乘法有兩種，一種是數(shù)量乘法，用“·”表示，也稱為“點乘”，i，j，k滿足 i·i = j·j = k·k = 1， i·j = j·I = i·k = k·I = j·k = k·j = 0,因此，把 v 和 v’ = a’i +

34、 b’j + c’k 點乘就得到 v · v’ = aa’ + bb’ + cc’ 這個乘積不再是向量而是一個數(shù)量，稱為數(shù)量積。所以。兩個向量的數(shù)量乘法與兩個實數(shù)或復(fù)數(shù)或四元數(shù)的乘法都不同，它不滿足封閉性。,向量的另一種乘法是向量積，用“×”表示，也稱為“叉乘”，在這種情形中，i，j，k 滿足 i × i = j × j =

35、k × k =0 ， i × j = k ， j × i = －k ， j × k = i ， k × j = －i ， k × i = j ， i × k = －j ， 因此，把 v 和 v’叉乘就得到 v ×v’=（bc’－b’c）i

36、 +（ca’－ac’）j +（ab’－ba’）k 它也可寫成行列式的形式 :,Gibbs,兩個向量的向量積是一個向量，它的方向垂直于和所決定的平面，且指向通過較小的角度轉(zhuǎn)到時右手螺旋所指的方向。 有趣的是，魏爾斯特拉斯在1861年證明：有有限個基元素的實系數(shù)或復(fù)系數(shù)線性結(jié)合代數(shù)，如果要服從乘積定律和乘法交換律，就只有實數(shù)代數(shù)和復(fù)數(shù)代數(shù)。這使人們了解到為什么尋求“三維復(fù)數(shù)”的努力是徒勞的。,第三節(jié) 布爾代數(shù),1、布爾及布

37、爾代數(shù)2、杰文斯 皮爾斯 施羅德 弗雷格 皮亞諾 懷特海 羅素,19世紀中后葉，代數(shù)學還開拓了另一個完全不同的領(lǐng)域，即布爾代數(shù)。 早在17世紀，萊布尼茲就試圖建立一種推理代數(shù)，通過演算完成一切正確的推理過程。但是萊布尼茲并沒有完成這項工作。,,1、布爾及布爾代數(shù),萊布尼茲提出的邏輯數(shù)學化的思想在兩個世紀后才獲得實質(zhì)性進展。英國數(shù)學家布爾的邏輯代數(shù)即現(xiàn)今所稱的“布爾代數(shù)”基本上完成了邏輯的演算工作

38、。 布爾的邏輯代數(shù)建立于“謂詞量化”的基礎(chǔ)上。傳統(tǒng)的亞里士多德邏輯所討論的命題是一種具有“主-謂”形式的命題，在其三段論的各種基本形式中，只有主詞是被量化的。,Boole,De Morgan,19世紀上半葉，一些邏輯學家在對邏輯形式做出新的分析后，發(fā)現(xiàn)實際判斷不但要考慮主詞的量，而且也要考慮謂詞的量。將謂詞量化的努力使人們想到可以用等式來處理命題，從而為布爾的邏輯代數(shù)作了技術(shù)上的準備。 1835年，20歲的布爾開

39、辦了一所私人授課學校。為了給學生們開設(shè)必要的數(shù)學課程，他興趣濃厚地讀起了當時一些介紹數(shù)學知識的教科書。不久，他就感到驚訝，這些東西就是數(shù)學嗎？實在令人難以置信。于是，這位只學過初級數(shù)學的青年自學了艱深的《天體力學》和很抽象的《分析力學》。由于他對代數(shù)關(guān)系的對稱和美有很強的感覺，在孤獨的研究中，他首先發(fā)現(xiàn)了不變量，并把這一成果寫成論文發(fā)表。,這篇高質(zhì)量的論文發(fā)表后，布爾仍然留在小學教書，他開始和許多第一流的英國數(shù)學家交往或通信，其中有數(shù)學

40、家、邏輯學家德·摩根。摩根在19世紀前半葉卷入了一場著名的爭論，布爾知道摩根是對的，于是在1848年出版了一本薄薄的小冊子來為朋友辯護。這本書是他6年后更偉大的東西的預(yù)告，它一問世，立即激起了摩根的贊揚，肯定他開辟了新的、棘手的研究科目。布爾此時已經(jīng)在研究邏輯代數(shù)，即布爾代數(shù)。他把邏輯簡化成極為容易和簡單的一種代數(shù)。 在這種代數(shù)中，適當?shù)牟牧仙系摹巴评怼?，成了公式的初等運算的事情，這些公式比過去在中學代數(shù)第二年

41、級課程中所運用的大多數(shù)公式要簡單得多。這樣，就使邏輯本身受數(shù)學的支配。為了使自己的研究工作趨于完善，布爾在此后6年的漫長時間里，又付出了不同尋常的努力。,1854年，他發(fā)表了《思維規(guī)律》這部杰作，當時他已39歲，布爾代數(shù)問世了，數(shù)學史上樹起了一座新的里程碑。幾乎像所有的新生事物一樣，布爾代數(shù)發(fā)明后沒有受到人們的重視。歐洲大陸著名的數(shù)學家蔑視地稱它為沒有數(shù)學意義的哲學上稀奇古怪的東西，他們懷疑英倫島國的數(shù)學家能在數(shù)學上做出獨特貢獻。布爾在

42、他的杰作出版后不久就去世了。 20世紀初，羅素在《數(shù)學原理》中認為，"純數(shù)學是布爾在一部他稱之為《思維規(guī)律》的著作中發(fā)現(xiàn)的。"此說一出，立刻引起世人對布爾代數(shù)的注意。今天，布爾發(fā)明的邏輯代數(shù)已經(jīng)發(fā)展成為純數(shù)學的一個主要分支。,布爾代數(shù)的基本公式,,,,在布爾之后，一些邏輯學家和數(shù)學家又對他的邏輯演算作了改進和發(fā)展。杰文斯改進了相加的類必須不相交的限制；皮爾斯則區(qū)分了命題和命題函數(shù)，并引入了兩個變量的命題函數(shù)；

43、 在施羅德的三大卷《邏輯代數(shù)講義》（1890-1905）中，布爾代數(shù)更是發(fā)展到了頂峰。,1879年，德國數(shù)學家弗雷格開創(chuàng)了數(shù)理邏輯研究的另一種傳統(tǒng)，即數(shù)學基礎(chǔ)傳統(tǒng)。他的目標不是把數(shù)學應(yīng)用于邏輯以實現(xiàn)邏輯規(guī)律和邏輯推理的數(shù)學化，而是利用精密化的邏輯為數(shù)學建立一個可靠的基礎(chǔ)。,以后，通過佩亞諾、懷特海和羅素等人的工作，就將數(shù)理邏輯研究中的邏輯代數(shù)傳統(tǒng)和數(shù)學基礎(chǔ)傳統(tǒng)匯合在一起。,1、高斯的《算術(shù)研究》,第四節(jié) 代數(shù)數(shù)論,在19世紀

44、以前，數(shù)論只是一系列孤立的結(jié)果，但自從高斯在1801年發(fā)表了他的《算術(shù)研究》后，數(shù)論作為現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支得到了系統(tǒng)的發(fā)展。 《算術(shù)研究》中有三個主要思想：同余理論，復(fù)整數(shù)理論和型的理論。其中復(fù)整數(shù)理論正是代數(shù)數(shù)論的開端，而這個理論又是從高斯對同余理論的研究中派生出來的。如果a，b，m是整數(shù)，并且a－b能被m 整除，那么這時就說 a 和 b 關(guān)于模 m是同余的，高斯將這一事實記為a?b(modm)，它也稱為同余式。對于模相同的

45、同余式，可以像等式那樣來處理。例如，從a? b(modm)和 a’ ? b’(mod m)，可以得出 a ? a’ ?b ? b’ (mod m) 。,Gauss,高斯特別研究了二次剩余。而關(guān)于二次剩余和二次非剩余，有一個著名的定理與之相聯(lián)系，高斯稱之為二次互反律： 設(shè)p 和 q 是兩個相異的奇素數(shù)，如果乘積 是偶數(shù)，則當且僅當x2 ? p (mod q)有解時， x2 ? q(mod p)有解；

46、如果上述乘積是奇數(shù)，則當且僅當 x2 ? p (mod q)無解時， x2 ? q(mod p)有解 。 利用勒讓德后來引入的一個記號 (q / p)：,如果 x2 ? q（mod p）有解,如果 x2 ? q（mod p）無解,可以把二次互反律表達成優(yōu)美的形式：,它最先由歐拉所發(fā)現(xiàn)，但缺少證明。高斯非常欣賞這個定律，把它譽為“算術(shù)中的寶石”，《算術(shù)研究》中就有該定律的一個完全證明。 高斯在證明了二次互反律之

47、后，試圖將它推廣到三次或四次互反律，但他發(fā)現(xiàn)為使三次和四次剩余的理論簡單、優(yōu)美，就必須超出通常的整數(shù)范圍，引進復(fù)整數(shù)，即實部和虛部皆為整數(shù)的復(fù)數(shù)。對于復(fù)整數(shù)可以像處理普通整數(shù)那樣討論它的數(shù)論性質(zhì)。從而開辟了數(shù)論的一個新天地。,Legendre,易證四個因子都是素整數(shù)，唯一分解定理不成立。,2、庫默爾與理想數(shù),在高斯之后對代數(shù)數(shù)論作出重要貢獻的是德國數(shù)學家?guī)炷瑺枴ＫM了一種新的代數(shù)數(shù)，從而推廣了高斯的復(fù)整數(shù)理論。庫默爾原本打算基于這種代

48、數(shù)數(shù)來證明費馬大定理。然而不久，他的設(shè)想便因狄利克雷對這種代數(shù)數(shù)唯一分解性的否定而被否定。因為對于一般的代數(shù)整數(shù)，唯一分解定理并不成立。例如考慮形如 的代數(shù)整數(shù)，這里a ，b是整數(shù)。我們有,Kummer,為了重建唯一分解定理，使得普通數(shù)論的一些結(jié)果在推廣到代數(shù)數(shù)論時仍能成立，為了使普通數(shù)論的一些結(jié)果在推廣到代數(shù)數(shù)論時仍能成立，庫默爾在1844-1847年間又創(chuàng)立了理想數(shù)理論。如針對上面的例子，在引入理想數(shù),6 就可以唯一地表

49、示成四個因子的乘積：6 =?2?1?2 。后來德國數(shù)學家戴德金又把庫默爾的工作系統(tǒng)化并推廣到一般的代數(shù)數(shù)域，從而創(chuàng)立了現(xiàn)代代數(shù)數(shù)的理論。 戴德金將代數(shù)數(shù)的概念一般化后，開始重建代數(shù)數(shù)域中的唯一因子分析定理，他引進了代數(shù)數(shù)類來代替理想數(shù)，為了紀念庫默爾的理想數(shù)，他把它們稱為理想。,理想數(shù)是代數(shù)數(shù)域中整數(shù)環(huán)的除子半群中的元素。理想數(shù)的概念是由德國數(shù)學家?guī)炷瑺柼岢龅摹?19世紀中葉，很多數(shù)學家還不清楚在代數(shù)整數(shù)環(huán)中是否和整數(shù)環(huán)

50、一樣有素因子唯一分解定理，就連大數(shù)學家柯西也認為唯一分解是對的。庫默爾就此問題與狄利克雷展開討論，在1844年他認識到分解是不唯一的。于是，在1845－1847年庫默爾提出了理想數(shù)的概念。 如果從理想數(shù)的觀點看，整數(shù)環(huán)的分解是唯一的。庫默爾的理想數(shù)就是現(xiàn)今理想的雛形。在庫默爾理想數(shù)理論的基礎(chǔ)上，戴德金和克羅內(nèi)克創(chuàng)立了一般理想理論。戴德金將每個理想數(shù)與環(huán)中的理想一一對應(yīng)起來，這個理想被他定義為環(huán)中由0及能被這個理想數(shù)整除的所有元素

51、組成的子集。 若al，…，an是理想 I 的生成元，則對應(yīng)于I的理想數(shù)是理想數(shù)φ（a1），…，φ（an）的最大公因子。 后來，理想的概念推廣到任意環(huán)上，那些理想概念與除子概念相一致的環(huán)，現(xiàn)稱之為戴德金環(huán)。,3、戴德金的理想論,,Dedekind,當時哥廷根剛剛建立起數(shù)學和物理學討論班，在那里他跟斯特恩學到數(shù)論基礎(chǔ)知識，跟韋伯學習物理。1851年黎曼也參加討論班，他們很快結(jié)下了深厚的友誼。戴德金還學習了物理和天文，并聽過高

52、斯的最小二乘法和高等測量學。他只上了四個學期就在高斯指導下準備博士論文，題目是《關(guān)于歐拉積分的理論》。對此，高斯寫了如下評語：“戴德金先生準備的論文是關(guān)于積分學的一項研究，它決不是一般的。作者不僅顯示出對有關(guān)領(lǐng)域具有充分的知識而且這種獨創(chuàng)性也預(yù)示出他未來的成就。作為批準考試的試驗論文，我對這篇論文完全滿意?！?戴德金（1831-1916），德國數(shù)學家。1848年戴德金進入了卡羅琳學院，這也是高斯的母校。在那里他學到了解析幾何，代數(shù)分析，

53、微積分以及力學和自然科學。1850年復(fù)活節(jié)，他進入哥廷根大學學習。,1855年高斯去世后，狄里赫利來到哥廷根。戴德金聽到狄里赫利的數(shù)論，位勢理論，定積分和偏微分方程等內(nèi)容，獲益匪淺。他很快與狄里赫利有了密切的交往，并進入了狄里赫利和他的朋友們的社交活動。1855年冬到1856年，戴德金聽黎曼講授了阿貝爾函數(shù)和橢圓函數(shù)的課程。他自己也在1856到1858年先后講授兩個學期的伽羅瓦理論。他可能是第一個開伽羅瓦理論的人。在講課中，他引進了域的

54、概念，并且把置換群的概念用抽象群的概念來取代。　　1858年戴德金被任命為瑞士蘇黎世綜合工業(yè)學院教授。在講授微積分的課程中深感分析基礎(chǔ)的薄弱，從此開始實數(shù)理論基礎(chǔ)的研究。他在11月24日得出了自己的連續(xù)性和無理數(shù)理論，并在幾天后告訴了他的朋友杜瑞熱。1872年以《連續(xù)性與無理數(shù)》出版。這本書的問世連同魏爾斯特拉斯分析基礎(chǔ)的傳播以及康托爾集合論的誕生，標志著現(xiàn)代數(shù)學新時期的來臨。1888年他出版了《數(shù)是什么？數(shù)應(yīng)當是什么？》。這本書有很

55、大的影響，特別是影響皮亞諾得出其著名的算術(shù)公理。,戴德金無理數(shù)理論的核心是他的“分割”的概念。一個分割把所有有理數(shù)分成兩類，使得第一類中每一個數(shù)都小于第二類中每一個，每一個分割對應(yīng)于一個實數(shù)。這樣在有理數(shù)之外，就引進了無理數(shù)的概念。這是建立在有理數(shù)已經(jīng)存在的基礎(chǔ)之上。再進一步，如何建立自然數(shù)，有理數(shù)，就直接導致了皮亞諾的自然數(shù)公理。　　在哥廷根和瑞士期間，戴德金致力于狄里赫利1856到1857年的數(shù)論講義和黎曼全集的編輯工作。在187

56、1年《數(shù)論講義》第二版附錄中，戴德金首次發(fā)表了自己的域論及理想理論以及由此建立的一般代數(shù)數(shù)論。而獨立的、系統(tǒng)的代數(shù)數(shù)論是他在1876至1857年發(fā)表的《代數(shù)整數(shù)論》，其部分內(nèi)容收入《數(shù)論講義》1879年第三版。更為完整的理論則作為1894年第四版附錄出版。,戴德金是近代抽象數(shù)學的先驅(qū)。他或明顯或隱含的定義了抽象代數(shù)許多基本概念，而且對研究抽象結(jié)構(gòu)有著明確的理解。他給出了有限群的抽象定義，推廣了理想及域的概念。1897年在研究群論中引進換

57、位子群概念，并證明他是正規(guī)的。在他通信啟發(fā)下，F(xiàn)robenius從1895年起發(fā)展了群的特征標理論，成為群表示論的強有力的工具。另外，他還是格論的創(chuàng)始人。他的抽象代數(shù)的思想后來被希爾伯特和諾特大大發(fā)展。但諾特認為，她的抽象代數(shù)理論在戴德金那里已經(jīng)有了。 　　朗道在1917年哥廷根召開的紀念戴德金的講演中對他作了崇高的評價：“戴德金不僅是一位偉大的數(shù)學家，而且是從古到今整個數(shù)學史上真正杰出的人物。他是他那時代的最后一位英雄，高斯的最后一

58、位學生。他本人40多年來已是經(jīng)典作家，不僅我們，而且我們的老師乃至老師的老師都從他的工作中受到啟發(fā)?！?代數(shù)對象是什么?,數(shù),運算,算術(shù)數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)、四元數(shù)、超復(fù)數(shù)、向量,四則運算、初等代數(shù)運算、抽象運算,{,運算對象運算規(guī)律,1、18世紀數(shù)學內(nèi)部主要聚集了哪些突出的問題？2、在五次和五次以上方程根式可解上哪些數(shù)學家做出了突出的貢獻？3、群概念產(chǎn)生對代數(shù)學的重要意義是什么？4、簡述伽羅瓦理論。5、論述四元數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程及其意義