13代數(shù)學(xué)的新生—19世紀(jì)的代數(shù)學(xué)

1、18世紀(jì)的幾何與代數(shù),分析的光芒使18世紀(jì)綜合幾何的發(fā)展暗然失色，但分析方法的應(yīng)用卻開(kāi)拓出了一個(gè)嶄新的幾何分支，即微分幾何，從而改變了18世紀(jì)幾何學(xué)的面貌?！按鷶?shù)”在18世紀(jì)數(shù)學(xué)家心目中則是“分析”的同義語(yǔ)，他們將分析看作是代數(shù)的延伸。在這種情況下，18世紀(jì)的代數(shù)學(xué)為下個(gè)世紀(jì)的革命性發(fā)展做出了必要準(zhǔn)備。,1 微分幾何的形成,微積分的創(chuàng)始人已經(jīng)利用微積分研究曲線的曲率、拐點(diǎn)、漸伸線、漸屈線等而獲得了屬于微分幾何范疇的部分結(jié)果。但微分幾何

2、成為獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支主要是在18世紀(jì)。1731年法國(guó)數(shù)學(xué)家克萊洛發(fā)表了《關(guān)于雙重曲率曲線的研究》，開(kāi)創(chuàng)了空間曲線理論，是建立微分幾何的重要一步。 歐拉是微分幾何的重要奠基人。他早在1736年就引進(jìn)了平面曲線的內(nèi)在坐標(biāo)概念，即以曲線弧長(zhǎng)作為曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)。在《無(wú)限小分析引論》第2卷中則引進(jìn)了曲線的參數(shù)表示： x = x(s), y = y(s), z = z(s),歐拉將曲率定義為曲線的切線方向與一固定方向的交角相對(duì)于弧長(zhǎng)的變化率,

3、并推導(dǎo)了空間曲線任一點(diǎn)曲率半徑的解析表達(dá)式歐拉的曲率定義是對(duì)克萊洛引進(jìn)的空間曲線的兩個(gè)曲率之一的標(biāo)準(zhǔn)化（另一個(gè)曲率,現(xiàn)在叫“撓率”，其解析表示到19世紀(jì)初才得到）。歐拉關(guān)于曲面論的經(jīng)典工作《關(guān)于曲面上曲線的研究》（1760）被公認(rèn)為微分幾何史上的一個(gè)里程碑。歐拉在其中,將曲面表示為z = f ( x, y ), 并引進(jìn)了相當(dāng)于,的標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)外，歐拉還正確地建立了曲面的曲率概念，引進(jìn)了法曲率、主曲率等概念，并得到了法曲率的歐拉公式,

4、（其中 是主曲率，是一法截面與主曲率所在法截面的交角）。1771年以后，歐拉還率先對(duì)可展曲面理論進(jìn)行了研究，導(dǎo)出了曲面可展性的充分必要條件。 18世紀(jì)微分幾何的發(fā)展因蒙日的工作而臻于高峰。蒙日于1795年發(fā)表的《關(guān)于分析的幾何應(yīng)用的活頁(yè)論文》是第一部系統(tǒng)的微分幾何著述。他將空間曲線與曲面理論與微分方程緊密結(jié)合，在曲面簇、可展曲面及直紋面研究方面獲得了大量深刻的結(jié)果。與大多數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)家不同的是，蒙日不僅將分

5、析應(yīng)用于幾何，同時(shí)也反過(guò)來(lái)用幾何去解釋微分方程，從而推動(dòng)后者的發(fā)展。他開(kāi)創(chuàng)了偏微分方程的特征理論，引進(jìn)了探討偏微分方程的幾何工具：特征曲線與特征錐（現(xiàn)稱“蒙日錐”）等，它們至今仍是現(xiàn)代偏微分方程論中的重要概念。,18世紀(jì)代數(shù)學(xué)的主題仍然是代數(shù)方程。在這個(gè)世紀(jì)的最后一年，年青的高斯在他的博士論文中公布了代數(shù)基本定理的第一個(gè)實(shí)質(zhì)性證明。高斯的這一成果可以看作是18世紀(jì)方程論的一個(gè)漂亮的總結(jié)。代數(shù)基本定理斷言n次代數(shù)方程恰有n個(gè)根。它最早是由

6、荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾于1629年提出，后經(jīng)笛卡爾、牛頓等眾多學(xué)者反復(fù)陳述、應(yīng)用，但均未給出證明。高斯的思想具有深刻的意義，因?yàn)槠渥C明是純粹存在性的。在此之前，幾乎所有的數(shù)學(xué)家都習(xí)慣于通過(guò)實(shí)際構(gòu)造來(lái)證明問(wèn)題解的存在。 相對(duì)于代數(shù)基本定理而言，高次方程根式可解性問(wèn)題顯得并不怎么幸運(yùn)。盡管未能在18世紀(jì)奏響解決的凱歌, 但這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們還是為此做出了歷史性貢獻(xiàn)，其中以拉格朗日的工作最為重要。他在1770年的一篇長(zhǎng)文中探討了一般三、四

7、次方程能根式求解的原因，并猜測(cè)高次方程一般不能根式求解。1799年，拉格朗日的部分猜測(cè)被意大利的魯菲尼所證實(shí)。可以說(shuō)，他們已經(jīng)走到了成功的邊緣，雖然未能達(dá)到目標(biāo)，卻為下一世紀(jì)的最終沖刺指明了方向。 方程組理論也是頗受關(guān)注的代數(shù)方程問(wèn)題。首先是線性方程組與行列式理論。瑞士數(shù)學(xué)家克拉姆在其《代數(shù)曲線分析引論》（1750）中提出了由系數(shù)行列式來(lái)確定線性代數(shù)方程組解的表達(dá)式的法則，即“克拉姆法則”。行列式理論在1772年被法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙德

8、系統(tǒng)化，自此成為獨(dú)立的數(shù)學(xué)對(duì)象。范德蒙德用二階子行列式及其余子式來(lái)展開(kāi)行列式的法則，后來(lái)被拉普拉斯推廣到一般情形而稱為“拉普拉斯展開(kāi)”。,2 方程論及其他,與方程論相聯(lián)系的是人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家還談不上有完整的數(shù)系概念和建立數(shù)系的企圖。雖然在接受負(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)方面還存有疑慮與爭(zhēng)議，但在弄清復(fù)數(shù)的意義方面卻也有些功績(jī)。隨著微積分的發(fā)展，復(fù)數(shù)幾乎進(jìn)入了所有的初等函數(shù)領(lǐng)域，并且在應(yīng)用上卓有成效。達(dá)朗貝爾在1747年關(guān)于一切復(fù)數(shù)均可以

9、表示成形式 a + b i 的斷言開(kāi)始被多數(shù)人接受。1797年，丹麥數(shù)學(xué)家韋塞爾創(chuàng)造了復(fù)數(shù)的幾何表示，并發(fā)展了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則。等到1806年瑞士人阿爾岡、1831年高斯各自獨(dú)立發(fā)表了關(guān)于復(fù)數(shù)幾何表示的研究之后，籠罩著虛數(shù)的疑云終于被驅(qū)散開(kāi)來(lái)。18世紀(jì)數(shù)學(xué)家在澄清無(wú)理數(shù)邏輯基礎(chǔ)方面沒(méi)有進(jìn)展，但他們以相對(duì)平靜的態(tài)度接受了一些數(shù)的無(wú)理性。歐拉在1737年證明了e是無(wú)理數(shù)。他的證明以連分?jǐn)?shù)為基礎(chǔ)，他得到 e 的連分?jǐn)?shù)展開(kāi)：,因?yàn)樗呀?jīng)證明了每

10、一個(gè)有理數(shù)都能表示成一個(gè)有限的連分?jǐn)?shù)，所以e必定是無(wú)理數(shù)。1761年，蘭伯特用類(lèi)似方法證明了圓周率?是無(wú)理數(shù)。稍后勒讓德甚至猜測(cè)說(shuō)?可能不是任何有理系數(shù)方程的根。這促使數(shù)學(xué)家們將無(wú)理數(shù)區(qū)分為代數(shù)數(shù)和超越數(shù)。1844年，法國(guó)數(shù)學(xué)家劉維爾第一次真正地顯示了超越數(shù)的存在，他證明了形如,的數(shù)（a1 , a2 , a3 , … 為從0到9的任意整數(shù)）都是超越數(shù)。1873年和1882年，法國(guó)數(shù)學(xué)家埃爾米特和德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼又分別證明了e和 ? 的

11、超越性。,雖然古希臘、中國(guó)與印度的數(shù)學(xué)著作中早就給出了不少問(wèn)題和結(jié)果，但近代意義上的數(shù)論研究還得從費(fèi)馬開(kāi)始。費(fèi)馬提出了大量定理或猜想，讓全世界的數(shù)學(xué)家們忙碌了好幾個(gè)世紀(jì)，有的至今仍為現(xiàn)代數(shù)論饒有興趣的課題。 (1)費(fèi)馬小定理：如果 p是素?cái)?shù)， a與p互素，則 ap - a可以被 p 整除。 1640年10月18日,費(fèi)馬給德貝西（B.Frenicle de Bessy）的信中提出。 (2)費(fèi)馬大定理：對(duì)于任意

12、大于 2的自然數(shù) n，方程xn + yn = zn 沒(méi)有整數(shù)解。 費(fèi)馬閱讀巴歇（C.-G.Bachet）校訂的丟番圖《算術(shù)》時(shí)的批注。1670年費(fèi)馬及其子薩繆爾（Samuel）的批注連同巴歇校訂的《算術(shù)》再版，此問(wèn)題公諸于世。 (3)平方數(shù)問(wèn)題：I）每個(gè)4n + 1形的素?cái)?shù)和它的平方都只能以一種方式表示為兩個(gè)平方數(shù)之和；每個(gè)4n + 1形的素?cái)?shù)的三次方和它的四次方都只能以兩種方式；其五次方和六次方都能以三種方式，如此

13、等等，以至無(wú)窮。如 n = 1時(shí)， 5 = 22 + 12 ， 52 = 32 + 42， 53 = 22 + 112 = 52 + 102 ，等等；II）每個(gè)正整數(shù)可表示成四個(gè)或少于四個(gè)平方數(shù)之和。 (4)費(fèi)馬數(shù)：形如 Fn = 22 + 1 （n = 0, 1, 2, 3, … ）的數(shù)永遠(yuǎn)是素?cái)?shù). 1640年，費(fèi)馬給梅森的信中提出。 (5)佩爾方程的解：當(dāng)A是正數(shù)而非完全平方數(shù)時(shí)，佩爾（J.Pell,

14、 1611-1685）方程 x2 - Ay2 = 1 有無(wú)窮個(gè)整數(shù)解。 1657年2月,費(fèi)馬給德貝西（B.Frenicle de Bessy）的信中提出。18世紀(jì)的數(shù)論尤其受到了費(fèi)馬思想的主宰，該時(shí)期得到的許多結(jié)果，都與證明費(fèi)馬提出的這些猜想有關(guān)。,3 數(shù)論的進(jìn)展,n,1732年，歐拉推翻了費(fèi)馬關(guān)于費(fèi)馬數(shù)的結(jié)論，證明n = 5時(shí)， Fn = 22 + 1 不是素?cái)?shù)，它有一個(gè)因子641。今

15、天我們知道，對(duì)于 n = 5～ 16， Fn 都是合數(shù)。還存在其他的 n 使 Fn 是合數(shù)。 1736年，歐拉證明了費(fèi)馬小定理是正確的。 1753年，歐拉在致哥德巴赫(C.Goldbach,1690-1764)的一封信中宣布證明了n = 3時(shí)的費(fèi)馬大定理。其證明使用了一種稱為“無(wú)限下降法”技巧。該技巧實(shí)際也是費(fèi)馬的發(fā)明。他曾使用這種方法證明了如下定理：邊長(zhǎng)為整數(shù)的直角三角形其面積不可能是整數(shù)的平方。這也是費(fèi)馬

16、惟一寫(xiě)出了證明過(guò)程的定理。證明大意是：令x, y, z為直角三角形的邊長(zhǎng)， z 是斜邊，則有x2 + y2 = z2 ,設(shè)三角形面積為 u2, u是整數(shù)，三角形面積應(yīng)為u2 = xy/2. 依靠一套巧妙的推理, 費(fèi)馬導(dǎo)出了另一組正整數(shù) X1 , Y1 , Z1 和 U1 ,因?yàn)閄1 , Y1 , Z1 和 x , y , z有同樣性質(zhì)，故根據(jù)同樣推理可導(dǎo)出另

17、一組正整數(shù)X2 , Y2 , Z2 , U2 , 使得,5,且有Z2 < Z1 .,且有Z1 < z ,,使得,這一推理過(guò)程可以無(wú)限繼續(xù)下去，這將引出矛盾，因?yàn)椴豢赡苡袩o(wú)限下降的正整數(shù)序列，所以結(jié)論只能是：不存在面積為某個(gè)整數(shù)的平方而邊長(zhǎng)均為整數(shù)的直角三角形。 費(fèi)馬還曾在給朋友的信中宣稱自己用無(wú)限下降法證明了n = 4時(shí)的費(fèi)馬大定理，但卻沒(méi)有寄出證明過(guò)程。德貝西根據(jù)費(fèi)馬的提示在1676年補(bǔ)出了這一證明。無(wú)限下降

18、法在18世紀(jì)成為一種證明數(shù)論問(wèn)題的有用技巧。,18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們也有自己的猜想，其中最著名的是哥德巴赫猜想與華林問(wèn)題。1742年6月7日，哥德巴赫在給歐拉的信中提出了自己的猜想： 每個(gè)偶數(shù)是兩個(gè)素?cái)?shù)之和；每個(gè)奇數(shù)是三個(gè)素?cái)?shù)之和。 哥德巴赫的原始陳述相當(dāng)含糊，歐拉將其進(jìn)一步明確化，但卻未能證明這個(gè)命題。哥德巴赫猜想現(xiàn)在的表述形式是英國(guó)數(shù)學(xué)家華林在他的《代數(shù)沉思錄》中首先給出的。華林在同一著作中還提出了他自己的一個(gè)猜想：

19、任一自然數(shù)n，可表示成至多r個(gè)數(shù)的k次冪之和，其中r 依賴于k。 “華林問(wèn)題”與哥德巴赫猜想，以及費(fèi)馬那些未獲得解決的命題一起，為后世數(shù)論研究提供了持久的刺激。華林問(wèn)題直至1909年才由德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特首次證明。1994年，費(fèi)馬大定理也由英國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯證明，而哥德巴赫猜想至今仍然懸而未決。（格爾曼1776-31）18世紀(jì)數(shù)論還有兩項(xiàng)深刻的工作需要特別提到，它們都屬于歐拉。一個(gè)是歐拉在1737年導(dǎo)出的一個(gè)恒等式,該恒

20、等式在數(shù)論與分析之間架起了一座橋梁，是解析數(shù)論的肇端。另一個(gè)是歐拉在1743年發(fā)現(xiàn)的二次互反律。誠(chéng)如他所預(yù)言，二次互反律在19世紀(jì)成為數(shù)論研究的重要課題并引出“許多偉大的結(jié)果”，從而開(kāi)啟了代數(shù)數(shù)論的新領(lǐng)域。,,其中 s > 1, n 取遍所有的正整數(shù)， p取遍所有素?cái)?shù)。,從17世紀(jì)初開(kāi)始，數(shù)學(xué)經(jīng)歷了近兩個(gè)世紀(jì)的開(kāi)拓，在18世紀(jì)行將結(jié)束的時(shí)候，數(shù)學(xué)家們對(duì)自己從事的這門(mén)科學(xué)卻奇怪地存在著一種普遍的悲觀情緒。拉格朗日于1781年在寫(xiě)

21、給達(dá)朗貝爾的信中說(shuō)：“在我看來(lái)似乎（數(shù)學(xué)的）礦井已經(jīng)挖掘很深了，除非發(fā)現(xiàn)新的礦脈，否則遲早勢(shì)必放棄它，……科學(xué)院中幾何學(xué)（指數(shù)學(xué)）的處境將會(huì)有一天變成目前大學(xué)里阿拉伯語(yǔ)的處境一樣，那也不是不可能的。”歐拉和達(dá)朗貝爾都同意拉格朗日的觀點(diǎn)。法國(guó)法蘭西學(xué)院一份《關(guān)于1789年以來(lái)數(shù)學(xué)科學(xué)進(jìn)展的歷史及其現(xiàn)狀的報(bào)告》更是預(yù)測(cè)在數(shù)學(xué)的“幾乎所有的分支里，人們都被不可克服的困難阻擋住了；把細(xì)枝末節(jié)完善化看來(lái)是剩下來(lái)惟一可做的事情了，所有這些困難好象是

22、宣告我們的分析的力量實(shí)際上是已經(jīng)窮竭了”。 這種世紀(jì)末悲觀主義的由來(lái)，可能是因?yàn)?7、18世紀(jì)數(shù)學(xué)與天文力學(xué)的緊密結(jié)合，使部分?jǐn)?shù)學(xué)家把天文與力學(xué)看成是數(shù)學(xué)發(fā)展的幾乎惟一源泉，而一旦這種結(jié)合變得相對(duì)滯緩和暫時(shí)進(jìn)入低谷，就會(huì)使人感到迷失方向。當(dāng)然也有人看到了曙光，孔多塞在1781年寫(xiě)道：“不應(yīng)該相信什么我們已經(jīng)接近了這些科學(xué)必定會(huì)停滯不前的終點(diǎn)，……我們應(yīng)該公開(kāi)宣稱，我們僅僅是邁出了萬(wàn)里征途的第一步！”,4 18世紀(jì)末數(shù)學(xué)發(fā)展的悲

23、觀情緒,從根本上說(shuō)，數(shù)學(xué)的發(fā)展與人類(lèi)的生產(chǎn)實(shí)踐和社會(huì)需求密切相關(guān)，對(duì)自然的探索是數(shù)學(xué)研究最豐富的源泉。但是，數(shù)學(xué)的發(fā)展對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界又表現(xiàn)出相對(duì)的獨(dú)立性。一種數(shù)學(xué)理論一經(jīng)建立，便可基于邏輯思維向前推進(jìn)，并由此導(dǎo)致新理論與新思想的產(chǎn)生。因此，內(nèi)在的邏輯需要也是數(shù)學(xué)進(jìn)步的重要?jiǎng)恿χ弧＿^(guò)于看重?cái)?shù)學(xué)進(jìn)展對(duì)現(xiàn)實(shí)需要的依賴，而忽視數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在動(dòng)力，難免產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展前景的悲觀預(yù)見(jiàn).

24、 生產(chǎn)實(shí)踐的需要 數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力 數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾 數(shù)學(xué)家的求知欲,,實(shí)際上，就在18世紀(jì)后半葉，數(shù)學(xué)內(nèi)部悄悄積累的矛盾已經(jīng)開(kāi)始醞釀新的變革。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們面臨著一系列數(shù)學(xué)自身產(chǎn)生的、長(zhǎng)期懸而未決的問(wèn)題，其中最突出的是： （1）高于四次的代數(shù)方程的根式求解問(wèn)題； （2）歐幾里得幾何中平行公理的證明問(wèn)題； （3）牛頓、萊布尼茲

25、微積分算法的邏輯基礎(chǔ)問(wèn)題。在19世紀(jì)初，這些問(wèn)題已變得越發(fā)尖銳而不可回避。,19世紀(jì)的代數(shù)學(xué)：新生的時(shí)代,1 代數(shù)方程的可解性與群的發(fā)現(xiàn),發(fā)現(xiàn)者：阿貝爾 伽羅瓦發(fā)展者：凱萊 若爾當(dāng) F.克萊因 李,中世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家把代數(shù)學(xué)看成是解代數(shù)方程的學(xué)問(wèn)。直到19世紀(jì)初，代數(shù)研究仍未超出這個(gè)范圍。不過(guò)這時(shí)數(shù)學(xué)家們的注意力集中在了五次和高于五次的代數(shù)方程上。 二次方程的解法古巴比倫人就已掌握

26、。中世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家將二次方程的理論系統(tǒng)化。三、四次方程的求解在文藝復(fù)興時(shí)期獲得解決。接下來(lái)，讓人關(guān)心的自然是一般的五次或更高次的方程求解。在解出三、四次方程后的整整兩個(gè)半世紀(jì)內(nèi)，很少有人懷疑五次代數(shù)方程根式解法的存在性。但是尋求這種解法的努力卻都以失敗而告終。,Niels Henrik Abel(1802～1829）,挪威數(shù)學(xué)家。1802年8月5日生于芬島一個(gè)牧師家庭,1829年4月6日卒于弗魯蘭。13歲入奧斯陸一所教會(huì)學(xué)校學(xué)習(xí),

27、年輕的數(shù)學(xué)教師B.M.霍爾姆博發(fā)現(xiàn)了阿貝爾的數(shù)學(xué)天才,對(duì)他給予指導(dǎo)。少年時(shí),阿貝爾就已經(jīng)開(kāi)始考慮一些數(shù)學(xué)問(wèn)題。1821年在一些教授資助下,入奧斯陸大學(xué)。在學(xué)校里,他幾乎全是自學(xué),同時(shí)花大量時(shí)間作研究。1824年,他解決了用根式求解五次方程的不可能性問(wèn)題。為了能有更多的讀者,他的論文以法文寫(xiě)成,也送給了C.F.高斯,可是在外國(guó)數(shù)學(xué)家中沒(méi)有任何反響。1825年,他去拍林,結(jié)識(shí)了A.L.克雷爾,并成為好友。他鼓勵(lì)克雷爾創(chuàng)辦了著名的數(shù)學(xué)刊物《純

28、粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》。第1卷（1826）刊登了7篇阿貝爾的文章,其中有一般五次方程用根式不能求解的證明。以后各卷也有很多他的文章。1826年阿貝爾到巴黎,遇見(jiàn)了A.M.勒讓德和A.L.柯西等著名數(shù)學(xué)家。他寫(xiě)了一篇關(guān)于橢圓積分的論文,提交給法國(guó)科學(xué)院,不幸未得到重視,他只好又回到拍林。克雷爾為他謀求教授職位,沒(méi)有成功。1827年阿貝爾貧病交迫地回到了挪威,靠作家庭教師維生。直到阿貝爾去世前不久,人們才認(rèn)識(shí)到他的價(jià)值。,1828年,四名法國(guó)科

29、學(xué)院院士上書(shū)給挪威國(guó)王,請(qǐng)他為阿貝爾提供合適的科學(xué)研究位置,勒讓德也在科學(xué)院會(huì)議上對(duì)阿貝爾大加稱贊。次年4月6日,不到27歲的阿貝爾就病逝。柏林大學(xué)邀請(qǐng)他擔(dān)任教師的信件在他去世后的第二天才送出。此后榮譽(yù)和褒獎(jiǎng)接踵而來(lái),1830年他和C.G.J.雅可比共同獲得法國(guó)科學(xué)院大獎(jiǎng)。 阿貝爾在數(shù)學(xué)方面的成就是多方面的。除了五次方程之外,他還研究了更廣的一類(lèi)代數(shù)方程,后人發(fā)現(xiàn)這是具有交換的伽羅瓦群的方程。為了紀(jì)念他,后人稱交換群為阿貝

30、爾群。阿貝爾還研究過(guò)無(wú)窮級(jí)數(shù),得到了一些判別準(zhǔn)則以及關(guān)于冪級(jí)數(shù)求和的定理。這些工作使他成為分析學(xué)嚴(yán)格化的推動(dòng)者。,1.1 阿貝爾,阿貝爾和雅可比是公認(rèn)的橢圓函數(shù)論的奠基者。阿貝爾發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的加法定理、雙周期性、并引進(jìn)了橢圓積分的反演。他研究了形如∫R(x,y)dx的積分(現(xiàn)稱阿爾貝積分)，其中R（x, y）是x 和y 的有理函數(shù),且存在二元多項(xiàng)式f, 使 f ( x , y)=0。他還證明了關(guān)于上述積分之和的定理,現(xiàn)稱阿貝爾定理,

31、它斷言:若干個(gè)這種積分之和可以用g個(gè)這種積分之和加上一些代數(shù)的與對(duì)數(shù)的項(xiàng)表示出來(lái),其中g(shù)只依賴于f,就是f的虧格。阿貝爾這一系列工作為橢圓函數(shù)論的研究開(kāi)拓了道路,并深刻地影響著其他數(shù)學(xué)分支。C.埃爾米特曾說(shuō):阿貝爾留下的思想可供數(shù)學(xué)家們工作150年。,阿貝爾銅像,阿貝爾中學(xué)時(shí)代的筆記,Evariste Galois (1811～1832）,1.2 伽羅瓦,盡管1824年阿貝爾完全證實(shí)了拉格朗日的命題：“不可能用根式解四次以上方程”

32、，粉粹了人們對(duì)根式求解五次以上代數(shù)方程的奢望，而且沒(méi)有忘記給出一些特殊的能用根式求解的方程，其中的一類(lèi)現(xiàn)在被稱為“阿貝爾方程”。在此過(guò)程中，阿貝爾已在實(shí)際上引進(jìn)了“域”這一重要的近世代數(shù)思想。 然而數(shù)學(xué)家們并不滿足，他們又開(kāi)始追問(wèn)：究竟什么樣的特殊方程能夠用根式來(lái)求解？在其1829-1831年間完成的幾篇論文中，一位同樣年青的法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅瓦對(duì)此做出了解答。,伽羅瓦的思想是將一個(gè)n次方程,的n個(gè)根（由代數(shù)基本定理可知）x1、 x2

33、、 …、 xn作為一個(gè)整體來(lái)考察，并研究它們之間的排列或稱“置換”。,為了容易理解起見(jiàn)，我們以四次方程的四個(gè)根x1、 x2 、 x3 、 x4為例，在包含這些 xi 的任何表達(dá)式中交換 x1和 x2 就是一個(gè)置換，用,來(lái)表示。另一個(gè)置換用,表示。第一個(gè)置換后再實(shí)行第二個(gè)置換，等價(jià)于實(shí)行第三個(gè)置換,我們說(shuō)頭兩個(gè)置換按上述順序作成的“乘積”就是第三個(gè)置換，即P1· P2 = P3 .對(duì)于四次方程的情形，易知共有4！=24個(gè)

34、可能的置換。這些置換的全體構(gòu)成一個(gè)集合，而其中任意兩個(gè)置換的乘積仍是原來(lái)集合中的一個(gè)置換，伽羅瓦稱之為“群”。這是歷史上最早的“群”的定義，不過(guò)它只是針對(duì)一個(gè)具體的群（置換群）所作的定義，還不是抽象群的一般定義。但伽羅瓦正是利用他提出的群的概念來(lái)解決方程根式可解性問(wèn)題的。 進(jìn)一步考慮一個(gè)方程根的置換群中某些置換組成的“子群”。這個(gè)群，伽羅瓦稱之為“方程的群”，也就是我們今天所說(shuō)的“伽羅瓦群”。它的含義如下：考慮由方程系數(shù)的 有

35、限次加、減、乘、除運(yùn)算可能得到的一切表達(dá)式的集合。這個(gè)集合，現(xiàn)在叫方程的“基本域”，并記為 F = Q ( a1, a2 , … , an )， Q為有理數(shù)域， a1, a2 , … , an 是方程的系數(shù)，但伽羅瓦沒(méi)有用“域”這個(gè)名稱。伽羅瓦群就是由方程的根的置換群中這樣一些置換構(gòu)成的子群，這些置換保持方程的根以 F 的元素為系數(shù)的全部代數(shù)關(guān)系不變。我們以四次方程為例來(lái)說(shuō)明這個(gè)重要的概念。,設(shè)方程,，其中 p、 q 是獨(dú)立的，令F

36、 是 p , q的有理表達(dá)式,形成的域（基本域），如,就是這樣一個(gè)表達(dá)式。這個(gè)方程的四個(gè)根：,是我們已經(jīng)知道的，并且容易看出這些根的系數(shù)在F中的下列兩個(gè)關(guān)系成立： x1 + x2 = 0, x3 + x4 = 0 ,可以驗(yàn)證，在方程根的所有24個(gè)可能置換中，下面8個(gè)置換,都能使上述兩個(gè)關(guān)系在 F 中保持成立，并且這8個(gè)置換是24個(gè)置換中，使根之間在域F中的全部代數(shù)關(guān)系都保持不變的僅

37、有的置換。這8個(gè)置換就是方程在域F中的群，即伽羅瓦群。 需要指出，保持根的代數(shù)關(guān)系不變，就意味著在此關(guān)系中根的地位是對(duì)稱的。因此，伽羅瓦群刻畫(huà)了方程的根的對(duì)稱性。伽羅瓦于是指出，方程的群（即伽羅瓦群）與它是否根式可解存在著本質(zhì)聯(lián)系，對(duì)方程的群的認(rèn)識(shí)，是解決全部根式可解問(wèn)題的關(guān)鍵。伽羅瓦證明，當(dāng)且僅當(dāng)方程的群滿足一定的條件（即方程的群是可解群）時(shí)，方程才是根式可解的，也就是他找到了方程根式可解的充分必要條件。 伽羅瓦

38、攻克的難題雖然是三百年前的老問(wèn)題,但他的思想?yún)s遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了他的時(shí)代。他的工作可以看成是近世代數(shù)的發(fā)端。這不只是因?yàn)樗鉀Q了方程根式可解性這樣一個(gè)難題，更重要的是群概念的引進(jìn)導(dǎo)致了代數(shù)學(xué)在對(duì)象、內(nèi)容和方法上的深刻變革。,伽羅瓦之后，數(shù)學(xué)家們逐漸認(rèn)識(shí)到“群”可以是一個(gè)更加普遍的概念，而不必僅限于置換群。 凱萊（A .Cayley）在1849-1854年間指出了矩陣在乘法下、四元數(shù)在加法下都構(gòu)成群，人們還發(fā)現(xiàn)高斯在數(shù)論中研究過(guò)的

39、具有同一判別式的二次型類(lèi) f = ax2 + 2bxy + cy2 (a, b, c 為整數(shù)，x, y 取整數(shù)值，D = b2 – ac 取固定值)對(duì)于型的合成運(yùn)算也構(gòu)成群。 1868-1869年間，若爾當(dāng)（C.Jordan）在物理學(xué)家布拉維斯(A.Bravais)關(guān)于運(yùn)動(dòng)群的理論的啟發(fā)下開(kāi)展了無(wú)限群（即有無(wú)限多個(gè)元素的群）的系統(tǒng)研究。 若爾當(dāng)?shù)墓ぷ饔绊懣巳R因(F.Klein)關(guān)

40、于幾何分類(lèi)中的無(wú)限變換群的研究。 1874-1883年間, 挪威數(shù)學(xué)家李(S.Lie,1842-1899 )又研究了無(wú)限連續(xù)變換群（李群）。,Arthur Cayley,Camille Jordan,Felix Christian Klein 1849--1925,Sophus Lie,在抽象的群概念中，其元素本身的具體內(nèi)容已無(wú)關(guān)緊要，關(guān)鍵是聯(lián)系這些元素的運(yùn)算關(guān)系。這樣建立起來(lái)的一般群論也就成了描寫(xiě)其他各種數(shù)學(xué)

41、和物理現(xiàn)象的對(duì)稱性質(zhì)的普遍工具。在19世紀(jì)末，群論已被應(yīng)用于晶體結(jié)構(gòu)的研究，在現(xiàn)代物理中，群論更成為研究基本粒子、量子力學(xué)的有力武器。 代數(shù)學(xué)由于群的概念的引進(jìn)和發(fā)展而獲得新生，它不再僅僅是研究代數(shù)方程，而更多地是研究各種抽象對(duì)象的運(yùn)算關(guān)系，從而為20世紀(jì)代數(shù)結(jié)構(gòu)觀念的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。,到19世紀(jì)80年代，關(guān)于各種不同類(lèi)型的群的研究使數(shù)學(xué)家們有了足夠的積累來(lái)形成抽象群的概念：,（A） 封閉性： 對(duì)于運(yùn)算 *

42、,? a , b ? R，則a * b = c ? R ；（B） 結(jié)合性： 對(duì)于運(yùn)算 * ，? a ，b ，c ? R， 則（a * b ） * c = a * （ b * c ） ； （C） 存在單位元： ? I ? R，使 I * a = a * I = a ; （D） 存在逆元： ? a ? R，則 ? a -1 ? R，使 a * a

43、 -1 = a -1 * a = I .,2 從四元數(shù)到超復(fù)數(shù),（1） 19世紀(jì)初復(fù)數(shù)的幾何表示 四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)是繼伽羅瓦提出群的概念后，19世紀(jì)代數(shù)學(xué)最重大的事件。四元數(shù)是推廣平面復(fù)數(shù)系結(jié)構(gòu)的產(chǎn)物。 18末19世紀(jì)初，韋塞爾、阿爾岡和高斯等人給出了復(fù)數(shù) a + bi (a，b 為實(shí)數(shù))的幾何表示，這樣復(fù)數(shù)才有了合法地位。在稍微熟悉了復(fù)數(shù)的幾何表示之后，數(shù)學(xué)家們認(rèn)識(shí)到復(fù)數(shù)能用來(lái)表示和研究平面上的向量。,,,

44、O,a,,,,b,y,x,（2） 空間向量及其運(yùn)算 向量概念在物理學(xué)上十分重要，力、速度或加速度這些有大小和方向的量都是向量，而人們很早就已知道向量的合成服從平行四邊形法則。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)復(fù)數(shù)相加的結(jié)果正好對(duì)應(yīng)于平行四邊形法則相加的向量和。用復(fù)數(shù)來(lái)表示向量及其運(yùn)算有一個(gè)很大的優(yōu)點(diǎn)，那就是，人們從此不必幾何地作出向量運(yùn)算，就能通過(guò)代數(shù)的方法研究它們。這就像方程能用來(lái)表示和研究曲線而帶給人們方便一樣。然而事實(shí)卻使數(shù)學(xué)家們很快發(fā)覺(jué)

45、，他們無(wú)法在三維情況下找到復(fù)數(shù)的一個(gè)類(lèi)似物。,,,,,,,,O,Sir William Rowan Hamilton,（3） 哈密頓對(duì)復(fù)數(shù)的推廣 在尋找復(fù)數(shù)三維推廣的數(shù)學(xué)家中，愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓也是其中一員。他在1837年曾把復(fù)數(shù)處理成實(shí)數(shù)的有序數(shù)偶，并希望通過(guò)推廣這種有序數(shù)偶的思想，來(lái)達(dá)到自己的目的。如此經(jīng)過(guò)15年的努力，他終于發(fā)現(xiàn)自己所要找的新數(shù)組應(yīng)包含四個(gè)分量，而且必須放棄乘法的交換性。他把這種新數(shù)組命名為四元數(shù)?！?

46、 哈密頓的四元數(shù)形如 a + b i + c j + d k，其中a , b ,c , d為實(shí)數(shù)，i，j，k滿足　 i 2 = j 2 = k 2 = -1 ;　 ij = -ji = k , jk = -kj =i , ki = -ik = j兩個(gè)四元數(shù)相乘可以根據(jù)上面的規(guī)則仿照復(fù)數(shù)乘法那樣去做，例如，設(shè) p =1+2i + 3j + 4k , q = 4+3

47、i +2j + k,則 pq =(1+2i + 3j + 4k )(4+3i +2j + k ) = -12 + 6i + 24j + 12k qp =(4+3i +2j + k) (1+2i + 3j + 4k ) = -12 + 16i + 4j + 22k,可見(jiàn)，但哈密頓證明了四元數(shù)乘法具有“結(jié)合性”，這是第一次使用這個(gè)術(shù)語(yǔ)。 四元數(shù)也是歷史上第

48、一次構(gòu)造的不滿足乘法交換律的數(shù)系。四元數(shù)本身雖然沒(méi)有廣泛的應(yīng)用，但它對(duì)于代數(shù)學(xué)的發(fā)展來(lái)說(shuō)是革命性的。哈密頓的作法啟示了數(shù)學(xué)家們，他們從此可以更加自由地構(gòu)造新的數(shù)系，通過(guò)減弱、放棄或替換普通代數(shù)中的不同定律和公理，就為眾多代數(shù)系的研究開(kāi)辟了道路。,由四元數(shù)構(gòu)成的Jyuria集合,在哈密頓之后，各種新的超復(fù)數(shù)像雨后春筍般涌現(xiàn)出來(lái)。 事實(shí)上，就在哈密頓建立四元數(shù)的同時(shí)，一位德國(guó)數(shù)學(xué)家格拉斯曼也在試圖對(duì)復(fù)數(shù)作出推廣，與哈密頓相比

49、，格拉斯曼的推廣更為大膽。他實(shí)際上涉及的是n維向量空間。他的“擴(kuò)張的量”就是一種有n個(gè)分量的超復(fù)數(shù)。例如：當(dāng) n = 3 時(shí)，考慮兩個(gè)超復(fù)數(shù) ? = a1e1 + a2e2 + a3e3 , ? = b1e1 + b2e2 + b3e3 其中， ai 和 bi 是實(shí)數(shù)， ei 是基元素，格拉斯曼定義它們的加減法為 ? ? ? = (a1? b1 ) e1 +(a2? b2 ) e2 + (a3? b3 )

50、 e3 , 而對(duì)于乘法則定義了兩種，一種稱為內(nèi)積，另一種稱為外積。對(duì)于內(nèi)積，他假設(shè) ei ?ei = 1, ei ?ej = 0, i ? j , 所以 ? ?? = a1b1 + a2 b2 + a3 b3 ,并且有? ?? = ? ?? .,4 格拉斯曼,Hermann Grassmann,對(duì)于外積，他假設(shè) [eiei ] = 0, [eiej ] = - [ej ei] , i ? j ,

51、 所以 [?? ]= (a2 b3 － a3 b2 ) [e2e3] + (a3 b1 － a1 b3 ) [e3e1] + (a1 b2 － a2 b21 ) [e1e2] , 顯然 [?? ] ? [??] . 格拉斯曼還討論了超復(fù)數(shù)之間的混合積。在1855年的一篇文章中，格拉斯曼對(duì)超復(fù)數(shù)給出了16種不同類(lèi)型的乘積。他對(duì)這些乘積作了幾何解釋?zhuān)⒔o出了它們?cè)诹W(xué)、磁學(xué)和結(jié)晶學(xué)等方面的應(yīng)用。,麥克斯韋,

52、（5） 吉布斯與亥維賽,將復(fù)數(shù)推廣到超復(fù)數(shù)的一個(gè)重要?jiǎng)恿υ緛?lái)源于物理中力學(xué)計(jì)算的需要。格拉斯曼的超復(fù)數(shù)在一定程度上滿足了這種需要，但他的工作在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間里被人忽視了。四元數(shù)倒是很快吸引了人們的注意力，但它卻不適合物理學(xué)家的需要。將四元數(shù)改造成物理學(xué)家所需要的工具的第一步，是由英國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家麥克斯韋邁出的。他將四元數(shù)結(jié)構(gòu)區(qū)分為數(shù)量部分和向量部分，并在此基礎(chǔ)上創(chuàng)造了大量的向量分析，不過(guò)他還是沒(méi)有把向量與四元數(shù)完全分開(kāi)，仍然經(jīng)常把

53、四元數(shù)作為基本的數(shù)學(xué)實(shí)體。,獨(dú)立于四元數(shù)的三維向量代數(shù)和向量分析，是在19世紀(jì)80年代初由美國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家吉布斯和英國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家亥維賽創(chuàng)立的。他們兩人對(duì)這個(gè)課題的發(fā),展結(jié)果，除了記法外本質(zhì)上是一致的。根據(jù)他們提出的思想，一個(gè)向量只是四元數(shù)的向量部分，但獨(dú)立于任何四元數(shù)。因此，向量 v = ai+bj+ck 其中i，j，k 是分別沿軸x, y, z的單位向量，a,b,c是三個(gè)實(shí)數(shù)，稱為向量的分量。兩個(gè)向量的和仍是一個(gè)向量，它的分量就是相

54、加的兩個(gè)向量相應(yīng)分量的和。向量的乘法有兩種，一種是數(shù)量乘法，用“ · ”表示，也稱為“點(diǎn)乘”，在這種情形中， i，j，k滿足 i · i = j · j = k · k =1 , i · j = j · i = i · k = k · i = j · k = k · j =0,J Willard Gibbs,因此，把

55、 v 和 v’ = a’i + b’j + c’k 點(diǎn)乘就得到v · v’ = aa’ + bb’ + cc’ 點(diǎn)這個(gè)乘積不再是向量而是一個(gè)數(shù)量，稱為數(shù)量積。所以。兩個(gè)向量的數(shù)量乘法與兩個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)或四元數(shù)的乘法都不同，它不滿足封閉性。 向量的另一種乘法是向量積，用“×”表示，也稱為“叉乘”，在這種情形中，i，j，k 滿足i × i = j × j = k × k =0 ,

56、i × j = k , j × i = －k , j × k = i , k × j = －i , k × i = j , i × k = －j , 因此，把 v 和 v’叉乘就得到 v × v’ = (bc’ －b’c) i + (ca’ －ac’ ) j + (ab’ －ba’ ) k 它也可寫(xiě)成行列式的形式 :,兩個(gè)向量的向量積是一個(gè)向量

57、，它的方向垂直于和所決定的平面，且指向通過(guò)較小的角度轉(zhuǎn)到時(shí)右手螺旋所指的方向。 有趣的是，魏爾斯特拉斯在1861年證明：有有限個(gè)基元素的實(shí)系數(shù)或復(fù)系數(shù)線性結(jié)合代數(shù)，如果要服從乘積定律和乘法交換律，就只有實(shí)數(shù)代數(shù)和復(fù)數(shù)代數(shù)。這才使人們了解到為什么尋求“三維復(fù)數(shù)”的努力是徒勞的。,3 布爾代數(shù),3.1 前奏----萊布尼茨的工作,3.2 布爾及布爾代數(shù),3.3 杰文斯 皮爾斯 施羅德 弗雷格

58、 皮亞諾 懷特海 羅素,19世紀(jì)中后葉，代數(shù)學(xué)還開(kāi)拓了另一個(gè)完全不同的領(lǐng)域，即布爾代數(shù)。,3.1 前奏----萊布尼茨的工作,早在17世紀(jì)，萊布尼茲就試圖建立一種推理代數(shù)，通過(guò)演算完成一切正確的推理過(guò)程。但是萊布尼茲并沒(méi)有完成這項(xiàng)工作。,3.2 布爾及布爾代數(shù),,萊布尼茲提出的邏輯數(shù)學(xué)化的思想在兩個(gè)世紀(jì)后才獲得實(shí)質(zhì)性進(jìn)展。英國(guó)數(shù)學(xué)家布爾的邏輯代數(shù)即現(xiàn)今所稱的“布爾代數(shù)”基本上完成了邏輯的演算工作。 布爾的邏輯代數(shù)建立于

59、“謂詞量化”的基礎(chǔ)上。傳統(tǒng)的亞里士多德邏輯所討論的命題是一種具有“主-謂”形式的命題，在其三段論的各種基本形式中，只有主詞是被量化的。19世紀(jì)上半葉，一些邏輯學(xué)家在對(duì)邏輯形式做出新的分析后，發(fā)現(xiàn)實(shí)際判斷不但要考慮主詞的量，而且也要考慮謂詞的量。將謂詞量化的努力使人們想到可以用等式來(lái)處理命題，從而為布爾的邏輯代數(shù)作了技術(shù)上的準(zhǔn)備。,George Boole,Augustus De Morgan,1835年，20歲的喬治·布爾開(kāi)辦

60、了一所私人授課學(xué)校。為了給學(xué)生們開(kāi)設(shè)必要的數(shù)學(xué)課程，他興趣濃厚地讀起了當(dāng)時(shí)一些介紹數(shù)學(xué)知識(shí)的教科書(shū)。不久，他就感到驚訝，這些東西就是數(shù)學(xué)嗎？實(shí)在令人難以置信。于是，這位只學(xué)過(guò)初級(jí)數(shù)學(xué)的青年自學(xué)了艱深的《天體力學(xué)》和很抽象的《分析力學(xué)》。由于他對(duì)代數(shù)關(guān)系的對(duì)稱和美有很強(qiáng)的感覺(jué)，在孤獨(dú)的研究中，他首先發(fā)現(xiàn)了不變量，并把這一成果寫(xiě)成論文發(fā)表。這篇高質(zhì)量的論文發(fā)表后，布爾仍然留在小學(xué)教書(shū), 是他開(kāi)始和許多第一流的英國(guó)數(shù)學(xué)家交往或通信，其中有數(shù)學(xué)

61、家、邏輯學(xué)家德·摩根。摩根在19世紀(jì)前半葉卷入了一場(chǎng)著名的爭(zhēng)論，布爾知道摩根是對(duì)的，于是在1848年出版了一本薄薄的小冊(cè)子來(lái)為朋友辯護(hù)。這本書(shū)是他6年后更偉大的東西的預(yù)告，它一問(wèn)世，立即激起了摩根的贊揚(yáng)，肯定他開(kāi)辟了新的、棘手的研究科目。布爾此時(shí)已經(jīng)在研究邏輯代數(shù)，即布爾代數(shù)。他把邏輯簡(jiǎn)化成極為容易和簡(jiǎn)單的一種代數(shù)。在這種代數(shù)中，適當(dāng)?shù)牟牧仙系摹巴评怼?，成了公式的初等運(yùn)算的事情，這些公式比過(guò)去在中學(xué)代數(shù)第二年級(jí)課程中所運(yùn)用的大

62、多數(shù)公式要簡(jiǎn)單得多。這樣，就使邏輯本身受數(shù)學(xué)的支配。為了使自己的研究工作趨于完善，布爾在此后6年的漫長(zhǎng)時(shí)間里，又付出了不同尋常的努力。 1854年，他發(fā)表了《思維規(guī)律》這部杰作，當(dāng)時(shí)他已39歲，布爾代數(shù)問(wèn)世了，數(shù)學(xué)史上樹(shù)起了一座新的里程碑。幾乎像所有的新生事物一樣，布爾代數(shù)發(fā)明后沒(méi)有受到人們的重視。歐洲大陸著名的數(shù)學(xué)家蔑視地稱它為沒(méi)有數(shù)學(xué)意義的哲學(xué)上稀奇古怪的東西，他們懷疑英倫島國(guó)的數(shù)學(xué)家能在數(shù)學(xué)上做出獨(dú)特貢獻(xiàn)。布爾在他的杰作出

63、版后不久就去世了。20世紀(jì)初，羅素在《數(shù)學(xué)原理》中認(rèn)為，"純數(shù)學(xué)是布爾在一部他稱之為《思維規(guī)律》的著作中發(fā)現(xiàn)的。"此說(shuō)一出，立刻引起世人對(duì)布爾代數(shù)的注意。今天，布爾發(fā)明的邏輯代數(shù)已經(jīng)發(fā)展成為純數(shù)學(xué)的一個(gè)主要分支。,,布爾代數(shù)的基本公式,,,,在布爾之后，一些邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家又對(duì)他的邏輯演算作了改進(jìn)和發(fā)展。其中比較重要的如： 杰文斯改進(jìn)了相加的類(lèi)必須不相交的限制； 皮爾斯則區(qū)分了命題和命題函數(shù)，

64、并引入了兩個(gè)變量的命題函數(shù)； 在施羅德的三大卷《邏輯代數(shù)講義》（1890-1905）中，布爾代數(shù)更是發(fā)展到了頂峰。,William Jevons 1835-1882,Charles S Peirce 1839-1914,Ernst Schröder 1841-1902,1879年，德國(guó)數(shù)學(xué)家弗雷格開(kāi)創(chuàng)了數(shù)理邏輯研究的另一種傳統(tǒng)，即數(shù)學(xué)基礎(chǔ)傳統(tǒng)。他的目標(biāo)不是把數(shù)學(xué)應(yīng)用于邏輯以實(shí)現(xiàn)邏輯規(guī)律和邏輯

65、推理的數(shù)學(xué)化，而是利用精密化的邏輯為數(shù)學(xué)建立一個(gè)可靠的基礎(chǔ)。,Gottlob Frege 1848-1925,Giuseppe Peano 1858-1932,Alfred Whitehead 1861-1947,以后，通過(guò)佩亞諾（G.Peano）、懷特海(A.Whitehead)和羅素（B.Russell）等人的工作，就將數(shù)理邏輯研究中的邏輯代數(shù)傳統(tǒng)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)傳統(tǒng)匯合在一起。,Bertrand Russe

66、ll 1872-1970,4.1 高斯的《算術(shù)研究》,4 代數(shù)數(shù)論,在19世紀(jì)以前，數(shù)論只是一系列孤立的結(jié)果，但自從高斯在1801年發(fā)表了他的《算術(shù)研究》后，數(shù)論作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支得到了系統(tǒng)的發(fā)展。《算術(shù)研究》中有三個(gè)主要思想：同余理論，復(fù)整數(shù)理論和型的理論。其中復(fù)整數(shù)理論正是代數(shù)數(shù)論的開(kāi)端，而這個(gè)理論又是從高斯對(duì)同余理論的研究中派生出來(lái)的。如果 a , b , m 是整數(shù)，并且a－b 能被m 整除，那么這時(shí)

67、就說(shuō) a 和 b 關(guān)于模 m是同余的，高斯將這一事實(shí)記為 a ? b (mod m ), 它也稱為同余式。對(duì)于模相同的同余式，可以像等式那樣來(lái)處理。例如，從a ? b (mod m ) 和 a’ ? b’ (mod m ), 可以得出 a ? a’ ? b ? b’ (mod m ) 。,Gauss,高斯特別研究了二次剩余。而關(guān)于二次剩余和二次非剩余，有一個(gè)著名的定理與之相聯(lián)系，高斯稱之為二次互反律： 設(shè) p

68、和 q 是兩個(gè)相異的奇素?cái)?shù)，如果乘積 是偶數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)x2 ? p (mod q )有解時(shí)， x2 ? q(mod p)有解 ；如果上述乘積是奇數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng) x2 ? p (mod q )無(wú)解時(shí)， x2 ? q(mod p)有解 。利用勒讓德后來(lái)引入的一個(gè)記號(hào) （q / p）：,如果 x2 ? q(mod p)有解,如果 x2 ? q(mod p)無(wú)解,還可以把二次互反律表達(dá)成如下優(yōu)美的形式：,