模塊六2.探究活動(dòng) 重溫代數(shù)學(xué)

1、重溫代數(shù)學(xué)如果沒(méi)有一些數(shù)學(xué)知識(shí)，那么就是對(duì)最簡(jiǎn)單的自然現(xiàn)象也很難理解什么，而要對(duì)自然的奧秘做更深入的探索，就必須同時(shí)地發(fā)展數(shù)學(xué)J.W.A.Young數(shù)學(xué)的歷史是重要的，它是文明史的有價(jià)值的組成部分。人類的進(jìn)步是與科學(xué)思想極為一致的。數(shù)學(xué)和物理的研究是智慧進(jìn)一步的一個(gè)可靠的記錄。F.Caji1.初等數(shù)學(xué)回顧1.主要內(nèi)容。這里對(duì)初等數(shù)學(xué)作一簡(jiǎn)要回顧。孔子說(shuō)：“溫故而知新”。柏拉圖說(shuō)：“天下本無(wú)新事”。這是告訴我們，要從舊中找出新，從新中辯出

2、舊。只有如此我們才能學(xué)得深、理解得透。初等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容計(jì)有：算術(shù)，代數(shù)，幾何，三角和解析幾何。它們提供了最基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和最基本的思維模式.這些內(nèi)容清楚地表明，數(shù)學(xué)是空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科。那么，形與數(shù)的本質(zhì)是什么？形：空間形式的科學(xué)，視覺思維占主導(dǎo)，培養(yǎng)邏輯推理能力，培養(yǎng)洞察力。數(shù)：數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，有序思維占主導(dǎo)，培養(yǎng)符號(hào)運(yùn)算能力。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候要注意數(shù)、形結(jié)合。已故著名數(shù)學(xué)家華羅庚對(duì)此非常重視。他曾寫了一首詞：數(shù)與形，本是相倚

3、依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少知覺，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離。數(shù)與形相結(jié)合，既有助于加深理解，也有助于記憶。在初等數(shù)學(xué)中，算術(shù)與代數(shù)以研究數(shù)量關(guān)系為主，幾何與三角以研究空間形式為主。解析幾何是數(shù)與形結(jié)合的典范。幾何學(xué)教給我們邏輯推理的能力，代數(shù)學(xué)教給我們數(shù)學(xué)演算的能力。在整個(gè)初等數(shù)學(xué)中代數(shù)占有更加重要的作用。2.中學(xué)代數(shù)的主要內(nèi)容。中學(xué)代數(shù)主要完成了那些成果呢？1）從數(shù)值

4、運(yùn)算過(guò)渡到符號(hào)運(yùn)算。算術(shù)的特點(diǎn)是數(shù)值運(yùn)算，代數(shù)的特點(diǎn)是符號(hào)運(yùn)算。中學(xué)代數(shù)實(shí)現(xiàn)了從數(shù)值運(yùn)算到符號(hào)運(yùn)算的過(guò)渡，沿著抽象思維的道路走上了數(shù)學(xué)的更高級(jí)的階段。但是，在中學(xué)代數(shù)中，符號(hào)代表的仍然是數(shù)。2）二元、三元一次線性方程組的解。三元一次線性方程組的一般形式是333322221111axbyczdaxbyczdaxbyczd===為了求解線性方程組，我們采用逐次消去一些未知量的方法以簡(jiǎn)化方程組，這就是實(shí)施了下面的變換：指數(shù)函數(shù)：xy=a(a0

5、a≠1?∞0a≠10x∞）。指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。5數(shù)學(xué)歸納法。初等代數(shù)中引入了數(shù)學(xué)歸納法，這是整個(gè)代數(shù)學(xué)中最基本的方法之一，因?yàn)榇鷶?shù)中的許多定理是通過(guò)歸納手段得到的。下面的例子都是用數(shù)學(xué)歸納法證明：例1。自然數(shù)的求和公式：2(1)123=nn?n。例2自然數(shù)平方的求和公式：(1)(21)611232222?n=nnn。這些公式都是對(duì)任意n成立的，而用數(shù)學(xué)歸納法卻可以通過(guò)“有限”來(lái)解決“無(wú)限”的問(wèn)題。6.數(shù)系的結(jié)構(gòu)。中學(xué)代數(shù)提供

6、了：最基本的運(yùn)算：四則運(yùn)算；乘方與開方運(yùn)算；指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算。最基本的運(yùn)算法則：結(jié)合律，分配律，交換律。加法的法則。1）加法結(jié)合律：a(bc)=(ab)c；32）加法交換律：ab=ba；3）存在數(shù)0，對(duì)一切實(shí)數(shù)a，有0a=a；4）對(duì)一切實(shí)數(shù)a，存在實(shí)數(shù)b，使ba=0。乘法的法則。1）法結(jié)合律：a(bc)=(ab)c；2）法交換律：ab=baa)存在數(shù)1，對(duì)一切實(shí)數(shù)a，有1?a=a；b)對(duì)一切非零實(shí)數(shù)a，存在實(shí)數(shù)b，使ab=1。3）加法與乘