現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢(shì)資料

1、第四章 第四章 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢(shì) 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢(shì)一、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢(shì)內(nèi)容概括 一、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢(shì)內(nèi)容概括與古典數(shù)學(xué)相比，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展從思想方法的角度看具有一些新的特征，本章內(nèi)容通過(guò)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性、數(shù)學(xué)在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的廣泛應(yīng)用、數(shù)學(xué)機(jī)械化的產(chǎn)生與發(fā)展及其意義、計(jì)算機(jī)促進(jìn)計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展、計(jì)算機(jī)促進(jìn)數(shù)學(xué)中新學(xué)科的發(fā)展這些方面來(lái)認(rèn)識(shí)和理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢(shì)。下面從以下幾個(gè)方面來(lái)分析：● 數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性● 數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性● 計(jì)

2、算機(jī)與數(shù)學(xué)發(fā)展1．?dāng)?shù)學(xué)的統(tǒng)一性所謂統(tǒng)一性，就是部分與部分、部分與整體之間的協(xié)調(diào)一致?？陀^世界具有統(tǒng)一性，數(shù)學(xué)作為描述客觀世界的語(yǔ)言必然也具有統(tǒng)一性。數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性是客觀世界統(tǒng)一性的反映，是數(shù)學(xué)中各個(gè)分支固有的內(nèi)在聯(lián)系的體現(xiàn)。它表現(xiàn)為數(shù)學(xué)的各個(gè)分支相互滲透和相互結(jié)合的趨勢(shì)?！?數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性發(fā)展的三個(gè)階段（1）數(shù)學(xué)從經(jīng)驗(yàn)積累到嚴(yán)格的演繹體系建立，其特征逐步明顯，在中世紀(jì)時(shí)，從研究對(duì)象和方法來(lái)看，初等數(shù)學(xué)有了一定的統(tǒng)一性。特別是 17 世紀(jì)解析

3、幾何的誕生，使數(shù)學(xué)中的代數(shù)與幾何統(tǒng)一起來(lái)，說(shuō)明統(tǒng)一性是數(shù)學(xué)的特征。生了變革，結(jié)果是數(shù)學(xué)分支愈來(lái)愈多，數(shù)學(xué)表現(xiàn)的更加多樣化。因此，需要重新認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。為此，數(shù)學(xué)家們作了很多努力，到 20 世紀(jì) 30 年代，法國(guó)的布爾巴基（Bourbaki）學(xué)派提出，利用數(shù)學(xué)內(nèi)在聯(lián)系和公理化方法從數(shù)學(xué)各個(gè)分支中提煉出各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。他們認(rèn)為數(shù)學(xué)的發(fā)展無(wú)非是各種結(jié)構(gòu)的建立和發(fā)展，“數(shù)學(xué)好比一座大城市。城市中心有些巨大的建筑物，就好比是一個(gè)個(gè)已經(jīng)建成的數(shù)學(xué)

4、理論體系。城市的郊區(qū)正在不斷地并且多少有點(diǎn)雜亂無(wú)章地向外伸展，他們就好像是一些尚未發(fā)育成型的正在成長(zhǎng)著的數(shù)學(xué)新分支。與此同時(shí)，市中心又在時(shí)時(shí)重建，每次都是根據(jù)構(gòu)思更加清晰的計(jì)劃和更加合理的布局，在拆毀掉舊的迷宮似的斷街小巷的同時(shí)，將修筑起新的更直、更寬、更加方便的林蔭大道通向四方，……。”(2)布爾巴基學(xué)派在集合論的基礎(chǔ)上建立了三個(gè)基本結(jié)構(gòu)（即代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)），然后根據(jù)不同的條件，由這三個(gè)基本結(jié)構(gòu)交叉產(chǎn)生新的結(jié)構(gòu)，如分析結(jié)構(gòu)

5、、布爾代數(shù)結(jié)構(gòu)等等。他們認(rèn)為整個(gè)數(shù)學(xué)或大部分?jǐn)?shù)學(xué)都可以按照結(jié)構(gòu)的不同而加以分類，用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)能統(tǒng)一整個(gè)數(shù)學(xué)，各個(gè)數(shù)學(xué)分支只是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由一般向特殊發(fā)展的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)的不同分支是由這些不同的結(jié)構(gòu)組成的，而這些結(jié)構(gòu)之間的錯(cuò)綜復(fù)雜的聯(lián)系又把所有的分支連成一個(gè)有機(jī)整體。因此可以說(shuō)，布爾巴基學(xué)派用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)顯示了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。（3）20 世紀(jì)下半葉，數(shù)學(xué)已經(jīng)發(fā)展成一個(gè)龐大的理論體系，數(shù)學(xué)分工愈來(lái)愈細(xì)，分支愈來(lái)愈多，分支之間的聯(lián)系愈來(lái)愈不明顯

6、，但是，數(shù)學(xué)學(xué)科的統(tǒng)一化趨勢(shì)也在不斷加強(qiáng)，主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的不同分支領(lǐng)域的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法相互融合，導(dǎo)致了一系列重大發(fā)現(xiàn)以及數(shù)學(xué)內(nèi)部新的綜合交叉學(xué)科的不斷興起：例如微分拓?fù)鋵W(xué)的建立、發(fā)展；整體微分幾何研究的突破；代數(shù)幾何領(lǐng)域的進(jìn)展；多復(fù)變函數(shù)理論以及其他數(shù)學(xué)分支的突破和發(fā)展都有密切的聯(lián)系。 來(lái)描述。這樣，廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)表述第一次揭示了非歐幾何的現(xiàn)實(shí)意義，成為歷史上數(shù)學(xué)應(yīng)用最偉大的例子之一。自然科學(xué)研究存在著兩種方式：定性研究和定量研究

7、。定性研究揭示研究對(duì)象是否具有某種特征，定量研究揭示研究對(duì)象具有某種特征的數(shù)量狀態(tài)。精確的定量研究使人們能夠?qū)陀^事物的認(rèn)識(shí)從現(xiàn)象上升到本質(zhì)，從而可能有精確的科學(xué)預(yù)見功能。數(shù)學(xué)是實(shí)現(xiàn)定量研究的必要條件。所以，一門科學(xué)只有當(dāng)它與數(shù)學(xué)充分地融合，才可能精確地揭示客觀事物的狀態(tài)和變化規(guī)律，才會(huì)顯示其真正的價(jià)值。因此，自然科學(xué)研究必然要經(jīng)過(guò)定量研究過(guò)程，所以科學(xué)研究的一般過(guò)程是從定性研究出發(fā)，然后再研究其量的規(guī)律性，進(jìn)行定量研究，并進(jìn)一步把定性

8、研究和定量研究相結(jié)合?？茖W(xué)的數(shù)學(xué)化是有一個(gè)發(fā)展過(guò)程，它是從低級(jí)運(yùn)動(dòng)形態(tài)發(fā)展到高級(jí)運(yùn)動(dòng)形態(tài)，以簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)形態(tài)到復(fù)雜運(yùn)動(dòng)形態(tài)。與此相應(yīng)的，是從物理學(xué)、力學(xué)、天文學(xué)開始，發(fā)展到化學(xué)、生物學(xué)和工程技術(shù)科學(xué)。（2）以生物學(xué)為例與物理和天文等學(xué)科相比， 生物學(xué)中應(yīng)用相當(dāng)遲緩. 將數(shù)學(xué)方法引進(jìn)生物學(xué)的研究大約始于 20 世紀(jì)初. 英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜（K.Pearson， 1857-1936）首先將統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用于遺傳學(xué)和進(jìn)化論， 并于 1902 年創(chuàng)辦了《

9、生物統(tǒng)計(jì)學(xué)》 （Biometrika）雜志， 統(tǒng)計(jì)方法在生物學(xué)中的應(yīng)用變的日益廣泛。意大利生物學(xué)家達(dá)松納（D’Ancona）在研究地中海各種魚群的變化及其彼此影響時(shí)，發(fā)現(xiàn)鯊魚及其他兇猛大魚的捕獲量在全部漁獲量中的比例成倍增長(zhǎng)。他感到困惑的是作為魚餌的小魚也應(yīng)該多起來(lái)，并且鯊魚在魚群中的總體比例應(yīng)該不變的。什么原因使得鯊魚的增長(zhǎng)要比小魚的增長(zhǎng)更快呢？達(dá)松納盡一切生物學(xué)上的解釋都無(wú)法解開這個(gè)謎，于是他請(qǐng)教意大利數(shù)學(xué)家伏爾泰拉（V. Volt

10、erra） 。1926 年， 伏爾泰拉提出著名的伏爾泰拉方程：方程中 x 表示食餌，即被食小魚，y 表示捕食者，即食肉大魚（鯊魚） 。用微分方程知識(shí)解釋道：當(dāng)捕魚量減小時(shí)，捕食者（鯊魚）增加，被食者（被食小魚）減少；當(dāng)捕魚量增加時(shí)，捕食者減少，被食者增加。這給生物學(xué)一個(gè)滿意的答復(fù)。這一現(xiàn)象現(xiàn)在稱為伏爾泰拉原理，已在許多生物學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)用。如使用農(nóng)藥殺蟲劑，若把害蟲及其天敵一起毒殺，則由于殺死害蟲數(shù)量猛增，根據(jù)伏爾泰拉原理，卻會(huì)使捕食害蟲的

11、天敵下降更快，引起不利后果。用微分方程建立生物模型在 20 世紀(jì) 50 年代曾獲得轟動(dòng)性成果，這就是描述神經(jīng)脈沖傳導(dǎo)過(guò)程的霍奇金-哈斯利（Hodgkin-Huxley）方程（1952 年）和描述視覺系統(tǒng)側(cè)抑制作用的哈特萊因-拉特里夫（Hartline-Ratliff）方程（1958 年） ，它們都是復(fù)雜的非線性方程組，引起了數(shù)學(xué)家和生物學(xué)家的濃厚興趣。這兩項(xiàng)工作分別獲得 1963 年和 1967 年的諾貝爾醫(yī)學(xué)生理學(xué)獎(jiǎng)。（3）以醫(yī)學(xué)為例