有限維線性空間的基

1、有限維線性空間的基,楊忠鵬　晏瑜敏　戴培培莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系,1．基2．維數(shù)3．坐標(biāo),一、數(shù)域 上有限維線性空間 的三要素：,維數(shù)是 的唯一的本質(zhì)特征，在同構(gòu)意義下,的研究可歸結(jié)為 的討論。,基一般是不唯一的，在線性運(yùn)算下，對(duì)具體的線性空間 來說，可由一組基來把握。,正如[1，P171]所說：“給定有限維的向量空間，要求其維數(shù)，首先要抓‘基’”。,關(guān)于有限維

2、空間的基與維數(shù)，綜合起來有以下基本結(jié)論（見[2]，P330）:,設(shè) 是數(shù)域 上線性空間，,則下列陳述彼此等價(jià)：,（6） 且,（7）,二、常見線性（子）空間的基與維數(shù),1．這是基本的習(xí)題內(nèi)容,[3，習(xí)題6]的3（有8個(gè)小題）、8（有4個(gè)小題）、13（有3個(gè)小題）、14、16、17、18題。,,,2．常見的線性（子）空間的標(biāo)準(zhǔn)基,（1）,（2）,（3）,,（4）,（5）,三、

3、n維線性空間 的基的確定,1. 從一組給定的基 出發(fā)，可構(gòu)造出所有（無窮多）的不同的 的基.,,是可逆的,線性無關(guān),為 的基.,2. 指定條件下的線性空間基的確定.,例1.設(shè) 是數(shù)域 上n維線性空間 的 任意 s 個(gè)非平凡子空間. 試證：存在 的一個(gè)基，使這個(gè)基的

4、n個(gè)基向量均不在 中.（見[2，p213],[4,p213],[5,p196]）,例2（見[3，補(bǔ)充題4]）設(shè) 是線性空間 的兩個(gè)非平凡子空間. 證明：在 中存在 使 同時(shí)成立.,例3（見[3，補(bǔ)充題5]）設(shè) 是線性空間 的s個(gè)非平凡子空間，證明： 中至少有一個(gè)向量不屬于

5、 中任何一個(gè)。,例4（見[6]） 設(shè) 為數(shù)域 上n維線性空間(n≥1). 證明：必存在 中一個(gè)無窮的向量序列 使得 中任何n個(gè)向量都是 的一組基.,同樣，依次取向量 使得,取另一向量,則顯然有從以上n+1向量中選出n個(gè)均可作為n維線性空間的一組基.,證明：采用構(gòu)造法. 取n維線性空間的一組基,這樣得到一個(gè)無窮的向量

6、序列,… … ，,下證，從中任選n個(gè)，它們均線性無關(guān).,從而不妨任選,令,得,從構(gòu)造中易得，,從而,（*）,又,可以證明，對(duì)角線上的元素均不為零，從而行列式不為零,,從而它們均線性無關(guān)，故問題得證.,也即，方程組（*）僅有平凡解，即,這是因?yàn)?為范德蒙行列式.,實(shí)際上，更簡(jiǎn)單的方法來構(gòu)造，令,則 是無

7、關(guān)的.,,,,例5 （見[7，p49]）Again let V be the space of matrices over F. Find a basic for V such that for each i.,這個(gè)結(jié)論對(duì) 也是成立的.,為 的冪等基.,例6 （見[8，定理1]） 具有無窮多個(gè)冪等基.,例7 （見[2，p319]）設(shè)

8、V是數(shù)域 P上全體二階對(duì)稱矩陣所成的線性空間，證明：,與,都是V 的基.,問題：是否存在的由可逆的對(duì)稱矩陣構(gòu)造的基？若有，有多少個(gè)？在相似的條件下有多少個(gè)？,參考文獻(xiàn),,[1] 陳昭木、陳清華、王華雄、林亞南.高等代數(shù)（上冊(cè)）， 福建教育出版社，1991，福州[2] 莊瓦金 高等代數(shù)教程，國(guó)際華文出版社 2002年[3] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與高等代數(shù)教研室前代數(shù)小組編 王萼芳、石生明修訂，高等代數(shù)（第三版

9、）[4] 白述偉 高等代數(shù)選講，黑龍江教育出版社，1996[5] 李師正主編 高等代數(shù)解題方法與技巧，高等教育出版社， 北京, 2004[6] 南開大學(xué)2005年碩士研究生入學(xué)考試試題,,[7] K.Hoffman and R.Kunze,Lineasr Algebra (Second Edition),Prentice-Hall,Inc.,Englewoord Cliffs,New Jers