2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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文檔簡介

1、<p>  第五講 線性空間與線性變換</p><p><b>  一、基本概念</b></p><p>  1. 數(shù)域 數(shù)的集合,且</p><p><b>  1) ;</b></p><p>  2) 關(guān)于運(yùn)算封閉.</p><p><b>  

2、例如:數(shù)域</b></p><p>  * 任意數(shù)域都包含有理數(shù)域(有理數(shù)域是最小的數(shù)域). 數(shù)域有無窮多.</p><p>  2. 數(shù)域上的線性空間 非空集合 + 數(shù)域 + 集合在數(shù)域上關(guān)于“+”與“數(shù)乘”運(yùn)算封閉 + 八條規(guī)律</p><p>  線性空間也稱為向量空間,其中的元素也稱為向量.</p><p>  *

3、 維實(shí)向量線性空間</p><p>  例如,例5.1-例5.7</p><p>  3. 子空間 1) ;</p><p>  2) 且是數(shù)域上的線性空間.</p><p>  生成子空間 1);</p><p>  2). (P84 例5.10)</p><p>  4. 基 維數(shù)

4、 坐標(biāo)</p><p>  基 線性空間中的“極大線性無關(guān)組” P84</p><p>  維數(shù) “極大線性無關(guān)組”的秩 P84</p><p>  例如,例5.11-例5.14</p><p>  坐標(biāo) 線性空間中的向量由基線性表示的系數(shù) P85</p><p>  例如,例5.15-例5.16</

5、p><p>  5. 基變換和坐標(biāo)變換</p><p>  基變換 基之間的線性變換 P87</p><p>  過渡矩陣 構(gòu)成基變換的矩陣(過渡矩陣是可逆矩陣) P88</p><p>  坐標(biāo)變換 向量在不同的基下的坐標(biāo)之間的線性變換 P88</p><p><b>  6. 線性變換</b

6、></p><p>  線性變換 線性空間到的滿足線性運(yùn)算的映射 P89</p><p>  例如,例5.17-例5.20</p><p>  線性變換的矩陣 基表示基的像的線性變換矩陣 P90</p><p>  例如,例5.21-例5.22</p><p><b>  7. 歐氏空間<

7、/b></p><p>  內(nèi)積 設(shè)是實(shí)數(shù)域上的一個(gè)線性空間,在上定義一個(gè)二元函數(shù),記作,如果它滿足:1),有 1) (對稱性);</p><p>  2) , (線性性);</p><p>  3) ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),(正定性),</p><p>  則稱這個(gè)二元函數(shù)是上的內(nèi)積. P93</p><p>  

8、歐氏空間 定義了內(nèi)積的實(shí)線性空間(實(shí)數(shù)域上的線性空間) P93</p><p>  * 維實(shí)向量線性空間是歐氏空間</p><p>  例如,例5.24-例5.26</p><p>  向量的長 P94</p><p>  單位向量 (規(guī)范性) P94</p><p>  向量的夾角 , P94&l

9、t;/p><p>  向量的正交 (正交性) P94</p><p>  例如,標(biāo)準(zhǔn)單位向量組中的向量是相互正交的向量</p><p>  例1(P94 例5.27)</p><p><b>  8. 規(guī)范正交基</b></p><p>  規(guī)范向量組 向量長度皆為1的向量組</p>

10、;<p>  正交向量組 向量皆非零且互相正交的向量組(正交向量組線性無關(guān)) P94</p><p>  規(guī)范正交向量組 滿足規(guī)范性和正交性的向量組,即若滿足:, P94</p><p>  正交基/規(guī)范正交基 由正交向量組成的基/由規(guī)范正交向量組成的基 P95</p><p>  正交矩陣 P97</p><p&

11、gt;<b>  二、基本結(jié)論</b></p><p>  1. 線性空間的基本性質(zhì) P83</p><p>  1)線性空間的零向量是唯一的;</p><p>  2)每一個(gè)向量的負(fù)向量是唯一的;</p><p><b>  3);</b></p><p><b&g

12、t;  4)若, 則.</b></p><p><b>  2. 子空間的判定</b></p><p>  定理1(P84 定理5.1)</p><p>  例如,例5.8-例5.9</p><p>  推論(P85) 如果線性空間,則.</p><p><b>  3.

13、 基的性質(zhì)</b></p><p>  定理2(P85 定理5.2)(產(chǎn)生基的方法)</p><p>  推論(P85) 含有非零向量的線性空間一定存在基.</p><p>  推論(P95) 非空的歐氏空間一定存在規(guī)范正交基.</p><p>  4. 坐標(biāo)變換與基變換的關(guān)系</p><p>  定

14、理3(P88 定理5.3)</p><p><b>  例1(P88)</b></p><p>  5. 線性變換的性質(zhì)</p><p>  線性變換的性質(zhì)(P88)</p><p>  定理4(P91 定理5.4)(向量與向量的像在同一基下的坐標(biāo)的關(guān)系)</p><p>  定理5(P92

15、 定理5.5)(兩組基的線性變換矩陣之間的關(guān)系)</p><p>  例2(P92 例5.23)</p><p>  6. 正交矩陣的性質(zhì)</p><p><b>  (1);</b></p><p>  (2)是正交矩陣的充要條件是的行向量組和列向量組是規(guī)范正交向量組. P97</p><p&g

16、t;  例3(P97 例5.30)</p><p>  三、向量組的規(guī)范正交化</p><p>  定理1(P95 定理5.7)</p><p>  例1(P95 例5.28)</p><p>  例2(P96 例5.29)</p><p><b>  四、習(xí)題解答</b></p&g

17、t;<p>  1. P98 3.</p><p>  提示: 即求的極大線性無關(guān)組極其秩.</p><p>  2. P98 5.</p><p>  提示: (1)是維線性空間. 是的一組基.</p><p> ?。?)是維線性空間. 是的一組基.</p><p> ?。?)是1維線性空間, 是

18、的一組基.</p><p> ?。?)是2維線性空間, 是的一組基.</p><p>  3. P98 6.</p><p><b>  提示:(1)</b></p><p>  , 所以是線性空間的一組基.</p><p><b> ?。?)設(shè), 則.</b></p

19、><p><b>  ,</b></p><p>  所以在基下的坐標(biāo)為.</p><p>  4. P98 7.</p><p>  提示: 令, 有, 故線性無關(guān), 可以成為線性空間的一組基.</p><p>  因?yàn)? 所以在基下的坐標(biāo)為, 即</p><p><

20、b>  .</b></p><p>  5. P98 8.</p><p>  提示: (1)過渡矩陣;</p><p><b> ?。?).</b></p><p>  6. P99 10.</p><p>  提示: 計(jì)算基的像, 表示</p><p&

21、gt;<b>  , 則即是所求.</b></p><p>  7. P99 11.</p><p><b>  提示: 同上題</b></p><p>  8. P99 12.</p><p>  提示:(1)同上題;</p><p> ?。?)用表示, 并計(jì)算像. 余

22、下同(1).</p><p>  9. P99 13.</p><p>  提示:(1). 余下同12.(2);</p><p> ?。?), 余下同上;</p><p> ?。?), 余下同上.</p><p>  10. P100 14.</p><p><b>  提示: &

23、lt;/b></p><p>  故由生成的子空間的一組基為.</p><p><b>  正交化 ,</b></p><p><b>  單位化 .</b></p><p>  故空間的一組規(guī)范正交基為.</p><p>  11. P100 16. 17.<

24、;/p><p>  提示:(1)、(2)是正交矩陣</p><p><b>  (3)</b></p><p><b> ?。?)</b></p><p>  12. P100 3.</p><p>  提示: P64 11.</p><p>  13

25、. P100 4.</p><p>  提示: 表示法唯一線性無關(guān); 任意向量都可由線性表示</p><p><b>  是一組基.</b></p><p>  14. P100 5.</p><p><b>  提示:(1);</b></p><p><b>

26、 ?。?).</b></p><p>  14. P100 6.</p><p>  提示: 同12.(2).</p><p>  15. P101 7.</p><p>  提示: (1)關(guān)于y軸對稱;</p><p><b> ?。?)投影到x軸;</b></p>

27、<p>  (3)關(guān)于直線y=x對稱;</p><p> ?。?)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900.</p><p>  16. P101 8.</p><p><b>  提示: .</b></p><p><b> ?。?);</b></p><p><b>  

28、(2);</b></p><p><b>  (3).</b></p><p>  17. P102 10.</p><p>  提示: 方程組的解即為所求.</p><p>  18. P102 11.</p><p>  提示:(2)設(shè), 有</p><p&

29、gt;  19. P102 12.</p><p><b>  提示: 是正交矩陣</b></p><p><b>  另一方面,由</b></p><p>  20. P102 13.</p><p>  提示: 由12.(1)及及</p><p><b> 

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