第四章 線性變換

1、第四章第四章線性變換線性變換在第三章中，我們介紹了同構(gòu)的概念，它研究的是線性空間與線性空間之間的一種聯(lián)系.我們研究客觀事物，固然要弄清楚個體事物單個的和總體的性質(zhì)，但單個事物之間的各種各樣的聯(lián)系則更為重要.基于此，本章將要研究線性空間本身的向量之間的一種最為基本、最為重要的聯(lián)系——線性變換.它是線性空間到它自身的映射是幾何中旋轉(zhuǎn)變換、投影變換以及別的科目中類似變換的一種推廣.其應(yīng)用十分廣泛，是線性代數(shù)的一個主要研究對象.在本章中，如果不

2、特別聲明，我們考慮的都是某個數(shù)域上的線性空間.P4.14.1線性變換及其運算線性變換及其運算一個集合到它自身的映射，稱為這個集合的一個變換變換.線性變換就是線性空間到它自身的一種特殊變換.我們給出它的定義.1.1.線性變換的概念線性變換的概念定義定義4.1.14.1.1設(shè)是線性空間的一個變換，如果對于中任意的向量AVAV及數(shù)域中的任意數(shù)，滿足：??Pk；()()()???AAA????.()()kk?AA??則稱是線性空間的一個線性變換

3、線性變換.AV以后我們一般用花體大寫字母來表示線性變換，用或?ABC()A?來表示向量在線性變換下的象.A??A說明說明變換僅反映元素之間的一種單純的對應(yīng)關(guān)系，而線性變換則涉及到了線性空間中向量的運算.從定義可以看出，線性變換保持向量的加法與數(shù)乘.例4.1.24.1.2設(shè)是數(shù)域上的上的線性空間，是中的某個數(shù)，定義變換如下：VP?P.()()V?????A???則容易看出，是線性空間的一個線性變換.?AV說明說明1）上例中的線性變換稱為由

4、數(shù)決定的數(shù)乘變換數(shù)乘變換.?A?2）當(dāng)時，就是的恒等變換恒等變換或單位變換單位變換，記為.即將中的每個1??VEEV向量變?yōu)樗陨?3）當(dāng)時，就是的零變換零變換，記為.它把中的每個向量都變?yōu)椋???0AV0V0又，所以.()()(())()???????00AAAA????()()???AA??性質(zhì)性質(zhì)2線性變換保持線性組合與線性關(guān)系式不變.也就是說，如果是的一個線性組合：?12m????，1122mmkkk?????????則經(jīng)過線性

5、變換之后，是同樣的線性組合：A()A?12()()()m?AAA???.1122()()()()mmkkk?????AAAA????如果之間有線性關(guān)系式：12m????，1122mmkkk????0????則它們的象之間也有同樣的關(guān)系：12()()()m?AAA???.1122()()()mmkkk????0?AAA???性質(zhì)性質(zhì)3線性變換把線性相關(guān)的向量組變成線性相關(guān)的向量組.也就是說，如果線性相關(guān)，則也線性相關(guān).12m????12(

6、)()()m?AAA???事實上，若線性相關(guān)，則在數(shù)域中存在一組不全為零的數(shù)12m????P使得12mkkk?.1122mmkkk????0????則由性質(zhì)2與性質(zhì)3得.11221122()()()()()mmmmkkkkkk?????????00??AAAAA??????從而也線性相關(guān).12()()()m?AAA???說明說明當(dāng)線性相關(guān)時，未必是線性相關(guān)的；12()()()m?AAA???12m????當(dāng)線性無關(guān)時，未必是線性無關(guān)的.