同濟大學線性代數(shù)教案第五章線性空間與線性變換

1、線性代數(shù)教學 線性代數(shù)教學教案 教案第五章 第五章 線性空間與線性變換 線性空間與線性變換授課序號 授課序號 01 01教 學 基 本 指 標教學課題 教學課題 第五章 第一節(jié) 線性空間的定義與性質 線性空間的定義與性質 課的類型 課的類型 新知識課教學方法 教學方法 講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學 教學手段 教學手段 黑板多媒體結合教學重點 教學重點 線性空間與子空間的概念、線性空間的性質 教學難點 教學難點

2、 線性空間、子空間的判定參考教材 參考教材 同濟版《線性代數(shù)》 作業(yè)布置 作業(yè)布置 課后習題大綱要求 大綱要求 了解線性空間和子空間的概念；了解線性空間的性質。教 學 基 本 內 容一、 一、 線性空間的定義： 線性空間的定義：定義 定義 1：設 是一個非空集合， 為實數(shù)域. 對于任意兩個元素 ，在 中總有唯一確定的一個元素 V A ? , V ? ? V與之對應，稱為 與 的和，記作 . 對于 中任一

3、數(shù) 與 中任一元素 ，在 中總有唯一 ? ? ? ? ? ? ? ? A ? V ? V確定的一個元素 與之對應，稱為 與 的數(shù)量乘積，記作 .如果這兩種運算滿足以下八條運算規(guī)律 ? ? ? ? ? ? ?(設 ): ? ? ? ? A , , ; , V ? ? ?(i) 加法交換律： ； ? ? ? ? ? ? ?(ii) 加法結合律：； ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(iii) 在 中存在零元素 ；對于

4、任何 ，都有是 ； V 0 ?V ? ? ? 0 ? ?(iv) 負元素：對于任何 ，都有是 的負元素 ，使 ； ?V ? ? ?V ? ? ? 0 ? ?(v) ； ? 1 ? ?(vi) ； ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?(vii) ； ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?也是實數(shù)域上的線性空間.例 4 次多項式的全體 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 1 0 , , ,

5、 , 0 , nn n n n Q x p a x a x a a a a R a 且對于通常的多項式加法和乘數(shù)運算不構成線性空間. 例 5 個有序實數(shù)組成的數(shù)組的全體 對于通常的有序數(shù)組的 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 , , , , , ,T nn n S x x x x x x x R加法及如下定義的乘法? ? ? ? ? ? ? ? ? 1, , 0, ,0T Tn x x不構成線性空間.例 6

6、正實數(shù)的全體，記作 ，在其中定義加法及乘數(shù)運算為 ? A ? ?? ? ? ? , , a b ab a b R驗證對上述加法與乘數(shù)運算構成線性空間. ? ?? ? ? ? ? ? ? ? , , a a R a R例 7 在實數(shù)域 上線性空間 A? ? ? ?11 12 121 22 21 21 ,nnn ijn m nna a aa a a M A a i j na a a? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

7、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? A A ? ? ??中，對角矩陣所成的集合? ? ? ?1122 1 n iinnaa D A a i na? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A A ?是 的非空子集，且 關于 的加法和數(shù)乘是封閉的，所以 是 的一個子空 ? ? n M A ? ? n D A ? ? n M A ?