2003年研究生入學(xué)考試題線性變換

1、12003年研究生入學(xué)考試題年研究生入學(xué)考試題—線性變換線性變換2003－010－6設(shè)三維線性空間V上的線性變換在基下的矩陣為?123???，則在基下的矩陣為。??33ijAa???231???2003－010－15（15分）設(shè)是n維線性空間V上的線性變換，與分別表?Im?ker?示的值域與核，證明下列條件等價：?（1）；ImkerV????（2）；Imker0????（3）若是的一組基，則是的一組12r????Im?12()()()r

2、???????2Im?基；（4）秩=秩.()?2()?（注：表示直和）Imker???2003－011－6（24分）設(shè)是n維線性空間V上的線性變換，記?，。求證下列命題等價：??Im()|V????????ker|()0V???????（1）；ImkerV????（2）；Imker0????（3）；2ker()ker()???（4）。2Im()Im()???2003－012－6（13分）設(shè)A為n維線性空間V的線性變換關(guān)于某基的矩陣，證?

3、明：的秩＝A的秩當(dāng)且僅當(dāng)。2A1()(0)VV?????200300106給定上二維線性空間的線性變換，在一組基下的矩陣表示為RVAA求的不變子空間。010.10Aaa?????????A200300205設(shè)是數(shù)域上的一個維線性空間，是的一個基，VPn12naaa?用表示由生成的線性子空間，令1V12naaa????320030060104設(shè)，其中11223313232xxxxxxxx????????????????????????13

4、23xxRx???????????為任意3維實向量，則線性變換在下的矩陣表示為?100010001??????????????????????????????___________.20030060302設(shè)是n維線性空間的一組基，對任意n個向量12neee?nV，證明：存在唯一的線性變換T使得12nnV?????()12.iiTein????200300703設(shè)V是數(shù)域P上的3維線性空間，線性變換在V的基:fVV?123eee下的矩陣為

5、212533102??????????????（1）求線性變換在V的基下的矩陣f11213eeeee??（2）求線性變換的特征值和特征向量f（3）線性變換可否在V的某組基下矩陣為對角形，為什么？f200300704設(shè)V是數(shù)域P上的3維線性空間，線性空間在V的基:fVV?123eee下的矩陣為4615135124A??????????????問可否在V的某組基下矩陣為f1332613148B????????????????為什么？2004