畢業(yè)論文利用矩陣來研究線性變換

1、 本科畢業(yè)論文1利用矩陣來研究線性變換 利用矩陣來研究線性變換引言 引言在有限維線性空間中，取了一組基后，線性變換就可以用矩陣來表示.為了利用矩陣來研究線性變換，對于每一個(gè)給定的線性變換，希望能找到一組基使得它的矩陣具有最簡單的形式.本文主要地就來討論，在適當(dāng)?shù)倪x擇基之后，一個(gè)線性變換的矩陣可以化成什么樣的簡單形式.為了這個(gè)目的，先介紹特征值和特征向量的概念，它們對于線性變換的研究具有基本的重要意義.本文通過自己四年來的理論學(xué)習(xí)，通過認(rèn)

2、真分析查閱資料，歸納總結(jié)了幾種求特征值和特征向量的求法的，以期對矩陣的進(jìn)一步研究有一定的參考價(jià)值．1 特征值與特征向量的理論 特征值與特征向量的理論1.1 特征值與特征向量的定義 特征值與特征向量的定義定義 定義 1 設(shè) 是數(shù)域 上線性空間 的一個(gè)線性變換，如果對于數(shù)域 中的一數(shù) ? ? V ?,存在一個(gè)非零向量 ，使得 0 ? ?（1- ? ? ? 0 ? ?1）那么 成為 的一個(gè)特征值,而 稱為 的屬于特征值 的一個(gè)特征向量. 0

3、? ? ? ? 0 ?從幾何上來看，特征向量的方向經(jīng)過線性變換后，保持在同一條直線上，這時(shí)或者方向不變（ >0）,或者方向相反( <0),至于 =0 時(shí),特征向量就被線性變換 0 ? 0 ? ?變成 0.如果 是線性變換 的屬于特征值 的特征向量,那么 的任何一個(gè)非零倍數(shù) ? ? 0 ? ?也是 的屬于 的特征向量.因?yàn)閺?1-1)式可以推出 ? k ? 0 ?= ( ) ? ? ? k ? 0 ? k ?本科畢業(yè)論文3（1

4、-? ?? ?? ? ? ??? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?. 0, 0, 00 2 2 1 12 2 22 0 1 211 2 12 11 0n nn n nn nn nx a x a x ax a x a x ax a x a a????? ? ? ???3）由于 0，所以它的坐標(biāo) 不全為零，即齊次方程組有非零解.我們知 ? ? n x x x 0 02 01 , , , ?道，齊次方程組（

5、1-3）有非零節(jié)的充分必要條件是它的系數(shù)行列式為零，即= =0 A E ? 0 ?nn n nnna a aa a aa a a? ? ?? ? ?? ? ?0 2 12 22 0 211 12 11 0????? ? ???我們引入以下的定義.定義 定義 2 （?。┰O(shè) 是數(shù)域 上一 階矩陣， 是一個(gè)文字.矩陣 的行列式 A P n ? A ? ? ?=A E ? ?nn n nnna a aa a aa a a? ? ?? ? ??

6、? ?????? ? ???2 12 22 211 12 11稱為 的特征多項(xiàng)式，這是數(shù)域 上的一個(gè) 次多項(xiàng)式. A ? n上面的分析說明，如果 是線性變換 的特征值，那么一定是矩陣 的特征多 0 ? ? 0 ? A項(xiàng)式的一個(gè)根；反過來，如果 是矩陣 的特征多項(xiàng)式在數(shù)域 中的一個(gè)根，即 0 ? A ?=0，那么齊次線性方程組（1-3）就有非零解.這時(shí)，如果 是 A ? ? ? ? ? n x x x 0 02 01 , , , ?方程組