矩陣初等變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用[畢業(yè)論文]

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）</p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　矩陣初等變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專(zhuān)業(yè)班級(jí) 信息與計(jì)算科學(xué) </p&

2、gt;<p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱(chēng) </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：矩陣是線性代數(shù)的重要研究對(duì)象，其中，矩陣的初等變換起源于解線性方程組，是線性代

3、數(shù)的一個(gè)基本概念，也是線性代數(shù)中一種重要的計(jì)算工具。矩陣的初等變換在線性代數(shù)中用途很廣，而且使用方便。他可以利用到求行列式的值，求解線性方程組，求矩陣的逆矩陣，求矩陣的秩，求過(guò)渡矩陣、求向量組的秩及向量組的極大線性無(wú)關(guān)組、解方程組、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型以及求標(biāo)準(zhǔn)正交基等問(wèn)題中。本文主要通過(guò)大量的計(jì)算實(shí)例深入討論矩陣的初等變換在線性代數(shù)中的實(shí)際應(yīng)用，并總結(jié)出一些實(shí)用的計(jì)算方法與技巧。 </p><p>　　關(guān)鍵詞：矩陣

4、；矩陣初等變換；線性代數(shù)；應(yīng)用</p><p>　　Matrix elementary transformation in the application of linear algebra</p><p>　　Abstract: Matrix is linear algebra, the important research object, Among them, Matrix'

5、s elementary transformation originated in solving linear equations, Is a basic concept of linear algebra, Is a very important linear algebra to the computational tool. Matrix in the elementary transformation in linear al

6、gebra USES is very wide, Use convenient too. It can use to beg the value of gram determinant, solving linear equations, the inverse matrix, ask matrix;, for the rank of matrix transition matrix,</p><p>　　Key

7、 words: matrix; Matrix elementary transformation; Linear algebra; application</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　1 緒 論.....................................................................

8、.......1</p><p>　　1.1 問(wèn)題的背景.................................................................1</p><p>　　1.2 問(wèn)題的意義.................................................................1</p>&l

9、t;p>　　2 矩陣和線性代數(shù)概念介紹...........................................................3</p><p>　　2.1 線性代數(shù)和矩陣關(guān)系.........................................................3</p><p>　　2.2 線性代數(shù)和矩陣初等變換的概念

10、介紹...........................................3</p><p>　　2.3 線性代數(shù)和矩陣的歷史背景...................................................4</p><p>　　2.4 線性代數(shù)和矩陣的現(xiàn)狀及其基本功能......................................

11、.....5</p><p>　　3 矩陣初等變換的求解...............................................................7</p><p>　　3.1 矩陣的初等行（列）變換.....................................................7</p><p>　

12、　3.2 初等矩陣的性質(zhì).............................................................7</p><p>　　4 矩陣初等變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用..................................................10</p><p>　　4.1 矩陣初等變換解決線性代數(shù)問(wèn)題的步驟.......

13、.................................10</p><p>　　4.2 矩陣初等變換的幾個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用................................................10</p><p>　　4.3 矩陣初等變換關(guān)于線性代數(shù)的幾種應(yīng)用舉例....................................12</p>

14、;<p>　　4.3.1 用矩陣初等變換求多項(xiàng)式的最大公因式..................................12</p><p>　　4.3.2 用矩陣初等變換求逆矩陣13</p><p>　　4.3.3 用矩陣初等變換求解矩陣方程..........................................13 </p>&l

15、t;p>　　4.3.4 用矩陣初等變換求矩陣的秩、向量組的秩、極大線性無(wú)關(guān)組................13</p><p>　　4.3.5 用矩陣初等變換解線性方程組..........................................14</p><p>　　4.3.6 用矩陣初等變換求過(guò)度矩陣...............................

16、.............15</p><p>　　4.3.7 用矩陣初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型......................................16</p><p>　　4.3.8 用矩陣初等變換求標(biāo)準(zhǔn)正交基..........................................17</p><p>　　5 結(jié)論.....

17、.......................................................................19</p><p>　　參考文獻(xiàn)...........................................................................20</p><p>　　致 謝................

18、.............................................................21</p><p><b>　　1 緒 論</b></p><p>　　1.1 問(wèn)題的背景</p><p>　　線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要處理線性關(guān)系問(wèn)題。線性關(guān)系意即數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系是以一次形式來(lái)表示的 ，

19、含有個(gè)未知量的一次方程稱(chēng)為線性方程.線性關(guān)系問(wèn)題簡(jiǎn)稱(chēng)線性問(wèn)題，解線性方程組的問(wèn)題是最簡(jiǎn)單的線性問(wèn)題.</p><p>　　矩陣是線性代數(shù)的重要研究對(duì)象，其中，矩陣的初等變換起源于解線性方程組，是線性代數(shù)的一個(gè)基本概念，也是線性代數(shù)中一種重要的計(jì)算工具。矩陣的初等變換在線性代數(shù)中用途很廣，而且使用方便。他可以利用到求行列式的值，求解線性方程組，求矩陣的逆矩陣，求矩陣的秩，求過(guò)渡矩陣、求向量組的秩及向量組的極大線性無(wú)

20、關(guān)組、解方程組、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型以及求標(biāo)準(zhǔn)正交基等問(wèn)題中。</p><p>　　矩陣作為線性代數(shù)中最基本的一個(gè)概念，在數(shù)學(xué)的各方面的有重要的意義。最基本的應(yīng)用當(dāng)然是在線性方程方面。但是，矩陣的意義其實(shí)可以說(shuō)就是線性代數(shù)的意義，因?yàn)榫€性代數(shù)的每一個(gè)概念都與矩陣有著密切關(guān)系。而線性代數(shù)是整個(gè)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一，可以應(yīng)用到整個(gè)數(shù)學(xué)的方方面面，而其本身在物理學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、密碼學(xué)等方面發(fā)揮著重要作用。[1]</

21、p><p>　　矩陣初等變換法是線性代數(shù)中最基本的方法之一。初等變換法是線性代數(shù)中最基本的方法。在解決線性問(wèn)題時(shí)具有步驟簡(jiǎn)單、運(yùn)算量小、易于掌握等優(yōu)點(diǎn)。</p><p>　　1.2 問(wèn)題的意義</p><p>　　線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支。我們知道一次方程叫做線性方程，討論線性方程及線性運(yùn)算的代數(shù)就叫做線性代數(shù)。在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣。行列式和矩

22、陣在十九世紀(jì)受到很大的注意 , 而且寫(xiě)了成千篇關(guān)于這兩個(gè)課題的文章。例如向量的概念 , 從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看不過(guò)是有序三元數(shù)組的一個(gè)集合 , 然而它以力或速度作為直接的物理意義 , 并且數(shù)學(xué)上用它能立刻寫(xiě)出物理上所說(shuō)的事情。向量用于梯度 、 散度 、 旋度就更有說(shuō)服力。同樣 , 行列式和矩陣如導(dǎo)數(shù)一樣（雖然 在數(shù)學(xué)上不過(guò)是一個(gè)符號(hào) , 表示包括的極限的長(zhǎng)式子 , 但導(dǎo)數(shù)本身是一個(gè)強(qiáng)有力的概念 , 能使我們直接而創(chuàng)造性地想象物理上發(fā)生的事情）

23、。因此，雖然表面上看，行列式和矩陣不過(guò)是一種語(yǔ)言或速記，但它的大多數(shù)生動(dòng)的概念能對(duì)新的思想領(lǐng)域提供鑰匙。然而已經(jīng)證明這兩個(gè)概念是數(shù)學(xué)物理上高度有用的工具。</p><p>　　矩陣的初等變換在處理線性代數(shù)的有關(guān)問(wèn)題時(shí)具有一定的獨(dú)特作用。文章就詳細(xì)地總結(jié)了矩陣的初等換在求逆矩陣、求矩陣的秩、求過(guò)渡矩陣、求向量組的秩及向量組的極大線性無(wú)關(guān)組、解方程組、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型以及求標(biāo)準(zhǔn)正交基等問(wèn)題中的應(yīng)用。本文就討論應(yīng)用矩陣

24、初等變換的一些性質(zhì)解決有限維向量空間中這些問(wèn)題。[2]</p><p>　　矩陣和線性代數(shù)概念介紹</p><p>　　2.1 線性代數(shù)和矩陣關(guān)系</p><p>　　矩陣是解決實(shí)際問(wèn)題的計(jì)算中抽象出來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，也是重要的數(shù)學(xué)工具。在解線性方程組和維向量組的計(jì)算以及經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)計(jì)算中起著重要作用。本習(xí)題集只對(duì)其作一些基本介紹，作一些矩陣計(jì)算的習(xí)題。</p&

25、gt;<p>　　矩陣在形式上好像與行列式相同，也有行和列，但其實(shí)它與行列式完全不同。行列式有其數(shù)值，而矩陣就是一個(gè)矩形數(shù)表也可以是一個(gè)方形數(shù)表，這時(shí)也叫“方陣”。然而，矩陣也不是與行列式一點(diǎn)聯(lián)系也沒(méi)有，在求逆矩陣時(shí)就要用它的行列式；同樣矩陣也與行列式一樣能用來(lái)解多元性方程組而且更方便。</p><p>　　2.2 線性代數(shù)和矩陣初等變換的概念介紹</p><p>　　2.

26、2.1 線性代數(shù)的概念介紹</p><p>　　線性代數(shù)（Linear Algebra）是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它的研究對(duì)象是向量，向量空間（或稱(chēng)線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要課題；因而，線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于抽象代數(shù)和泛函分析中；通過(guò)解析幾何，線性代數(shù)得以被具體表示。線性代數(shù)的理論已被泛化為算子理論。由于科學(xué)研究中的非線性模型通?？梢员唤茷榫€性模型，使得線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用

27、于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中。線性代數(shù)是理工類(lèi)、經(jīng)管類(lèi)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容。</p><p>　　2.2.2 矩陣初等變換的概念介紹</p><p>　　初等矩陣的概念是隨著矩陣初等變換的定義而來(lái)的。初等變換有三類(lèi)：</p><p>　　1. 位置變換：矩陣的兩行（列）位置交換；</p><p>　　2. 數(shù)乘變換：數(shù)乘以矩陣某行（列）的每個(gè)元素

28、；</p><p>　　3. 消元變換：矩陣的某行（列）元素同乘以數(shù)，然后加到另外一行（列）上。[3]</p><p>　　初等矩陣：由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換后所得的矩陣。則根據(jù)三類(lèi)初等變換，可以得到三種不同的初等矩陣。</p><p>　　1. 交換陣：?jiǎn)挝痪仃嚨谛信c第行位置交換而得；</p><p>　　2. 數(shù)乘陣：數(shù)乘以單位矩陣第行

29、的每個(gè)元素（其實(shí)就是主對(duì)角線的1變成）；</p><p>　　3. 消元陣：?jiǎn)挝痪仃嚨牡谛性爻艘詳?shù)，然后加到第行上。</p><p>　　以上的三種初等矩陣均可看成是單位矩陣的列經(jīng)過(guò)初等變換而得。[4]</p><p>　　2．3 線性代數(shù)和矩陣的歷史背景</p><p>　　2.3.1 線性代數(shù)的歷史背景</p>&l

30、t;p>　　由于費(fèi)馬和笛卡兒的工作，線性代數(shù)基本上出現(xiàn)于十七世紀(jì)。直到十八世紀(jì)末，線性代數(shù)的領(lǐng)域還只限于平面與空間。十九世紀(jì)上半葉才完成了到維向量空間的過(guò)渡 矩陣論始于凱萊，在十九世紀(jì)下半葉，因若當(dāng)?shù)墓ぷ鞫_(dá)到了它的頂點(diǎn)．1888年，皮亞諾以公理的方式定義了有限維或無(wú)限維向量空間。托普利茨將線性代數(shù)的主要定理推廣到任意體上的最一般的向量空間中．線性映射的概念在大多數(shù)情況下能夠擺脫矩陣計(jì)算而引導(dǎo)到固有的推理，即是說(shuō)不依賴于基的選擇。

31、不用交換體而用未必交換之體或環(huán)作為算子之定義域，這就引向模的概念，這一概念很顯著地推廣了向量空間的理論和重新整理了十九世紀(jì)所研究過(guò)的情況。</p><p>　　“代數(shù)”這一個(gè)詞在我國(guó)出現(xiàn)較晚，在清代時(shí)才傳入中國(guó)，當(dāng)時(shí)被人們譯成“阿爾熱巴拉”，直到1859年，清代著名的數(shù)學(xué)家、翻譯家李善蘭才將它翻譯成為“代數(shù)學(xué)”，一直沿用至今。</p><p>　　線性代數(shù)是討論矩陣?yán)碚?、與矩陣結(jié)合的有限維

32、向量空間及其線性變換理論的一門(mén)學(xué)科。</p><p>　　主要理論成熟于十九世紀(jì)，而第一塊基石（二、三元線性方程組的解法）則早在兩千年前出現(xiàn)（見(jiàn)于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》）。</p><p>　?、倬€性代數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)學(xué)科中有各種重要應(yīng)用，因而它在各種代數(shù)分支中占居首要地位；</p><p>　?、谠谟?jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)

33、計(jì)、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)等技術(shù)無(wú)不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分；。 </p><p>　?、墼搶W(xué)科所體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，從具體概念抽象出來(lái)的公理化方法以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等，對(duì)于強(qiáng)化人們的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，增益科學(xué)智能是非常有用的；</p><p>　?、?隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不僅要研究單個(gè)變量之間的關(guān)系，還要進(jìn)一步研究多個(gè)變量之間的關(guān)系，各種實(shí)際問(wèn)題在大多數(shù)情況

34、下可以線性化，而由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，線性化了的問(wèn)題又可以計(jì)算出來(lái)，線性代數(shù)正是解決這些問(wèn)題的有力工具。[5] </p><p>　　2.3.2 矩陣的歷史背景</p><p>　　根據(jù)世界數(shù)學(xué)發(fā)展史記載，矩陣概念產(chǎn)生于19世紀(jì)50年代，是為了解線性方程組的需要而產(chǎn)生的。</p><p>　　然而，在公元前我國(guó)就已經(jīng)有了矩陣的萌芽。在我國(guó)的《九章算術(shù)》一書(shū)中已經(jīng)有描

35、述，只是沒(méi)有將它作為一個(gè)獨(dú)立的概念加以研究，而僅用它的解決實(shí)際問(wèn)題，所以沒(méi)能形成獨(dú)立的矩陣?yán)碚摗?lt;/p><p>　　1850年，英國(guó)數(shù)學(xué)家西爾維斯特（SylveSter，1814——1897）在研究方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不相同的線性方程組時(shí)，由于無(wú)法實(shí)用行列式，所以引入了矩陣的概念。</p><p>　　1855年，英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊（Caylag，1821——1895）在研究線性變換下的

36、不變量時(shí)，為了簡(jiǎn)潔，方便，引入了矩陣的概念。1858年，凱萊在《矩陣論的研究報(bào)告》中，定義了兩個(gè)矩陣相等、相加以及數(shù)與矩陣的數(shù)乘等運(yùn)算和算律，同時(shí)，定義了零距陣等概念，以及利用伴隨陣的方法，證明了有關(guān)的算律，如矩陣乘法有結(jié)合律，沒(méi)有交換律，兩個(gè)非零陣乘積可以為零距陣等結(jié)論，定義了轉(zhuǎn)置陣、對(duì)稱(chēng)陣，反對(duì)稱(chēng)陣等概念。</p><p>　　1878年，德國(guó)數(shù)學(xué)家弗羅伯紐斯（Frobeniws，1849——1917）在他的

37、論文中引入了矩陣的行列式因子，不變因子和初等因子等概念，證明了2個(gè)矩陣等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的不變因子和初等因子，同時(shí)給出了正交矩陣的定義，1879年，他又在自己的論文中引進(jìn)矩陣秩的概念。</p><p>　　矩陣的理論發(fā)展非常迅速，到19世紀(jì)末，矩陣?yán)碚擉w系已基本形成。到20世紀(jì)，矩陣?yán)碚摰?lt;/p><p>　　到了進(jìn)一步的發(fā)展。目前，它已經(jīng)發(fā)展成為在物理，控制論、機(jī)器人學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)

38、學(xué)等學(xué)科有</p><p>　　大量的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支。[6]</p><p>　　矩陣的來(lái)源正式線性方程組的求解。這方面的工作最早應(yīng)該是出現(xiàn)在《九章算術(shù)》中，其中“方程”一章中解線性方程時(shí)用了類(lèi)似于現(xiàn)代的矩陣的方法，稱(chēng)為“遍乘直除法”。但是，矩陣作為一個(gè)獨(dú)立的概念卻是源于行列式的研究，那時(shí)矩陣是作為行列式的一個(gè)推廣，因此它的基本性質(zhì)在它的概念產(chǎn)生之前就已經(jīng)建立的很完善了?！熬仃嚒币淮问俏鳡柧S

39、斯特給出的（1850），不過(guò)他僅僅是把這概念用于表達(dá)一個(gè)行列式。把矩陣作為一個(gè)獨(dú)立的概念研究的最早是凱萊。他在《矩陣論的研究報(bào)告》（1855）中，從基本概念開(kāi)始，定義矩陣的各種運(yùn)算。這就是矩陣的來(lái)源。</p><p>　　2.4 線性代數(shù)和矩陣的現(xiàn)狀及其基本功能</p><p>　　2.4.1 線性代數(shù)的現(xiàn)狀及其基本功能</p><p>　　線性代數(shù)起源于對(duì)二維

40、和三維直角坐標(biāo)系的研究。 在這里，一個(gè)向量是一個(gè)有方向的線段，由長(zhǎng)度和方向同時(shí)表示。這樣向量可以用來(lái)表示物理量，比如力，也可以和標(biāo)量做加法和乘法。這就是實(shí)數(shù)向量空間的第一個(gè)例子。 現(xiàn)代線性代數(shù)已經(jīng)擴(kuò)展到研究任意或無(wú)限維空間。一個(gè)維數(shù)為的向量空間叫做維空間。在二維和三維空間中大多數(shù)有用的結(jié)論可以擴(kuò)展到這些高維空間。盡管許多人不容易想象維空間中的向量，這樣的向量（即元組）用來(lái)表示數(shù)據(jù)非常有效。由于作為元組，向量是個(gè)元素的“有序”列

41、表，大多數(shù)人可以在這種框架中有效地概括和操縱數(shù)據(jù)。比如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中可以使用 8 維向量來(lái)表示8個(gè)國(guó)家的國(guó)民生產(chǎn)總值（GNP）。當(dāng)所有國(guó)家的順序排定之后，比如 (中國(guó), 美國(guó), 英國(guó), 法國(guó), 德國(guó), 西班牙, 印度, 澳大利亞)，可以使用向量 顯示這些國(guó)家某一年各自的 GNP。這里，每個(gè)國(guó)家的 GNP 都在各自的位置上。 作為證明定理而使用的純抽象概念，向量空間（線性空間）屬于抽象代數(shù)的一部分，而且已經(jīng)非常好地融入了這個(gè)領(lǐng)域。

42、一些顯著的例子有：不可逆線性映射或矩陣的群，向量空間的線性映射的環(huán)。 線性代數(shù)也在數(shù)學(xué)分析中扮演重要</p><p>　　2.4.2 矩陣初等變換的現(xiàn)狀及其基本功能</p><p>　　矩陣是線性代數(shù)的重要的研究對(duì)象。矩陣的初等變換是線性代數(shù)中的一種重要的計(jì)算工具，利用矩陣初等變換們可以求行列式的值，求解線性方程組，求矩陣的秩，確定向量組向量間的線性關(guān)系。</p><

43、p>　　現(xiàn)在我們用到的矩陣初等變換，很大部分用于數(shù)學(xué)中利用初等變換化矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形；利用初等變換求逆矩陣；利用初等變換求矩陣的秩；行列式的計(jì)算；求線性方程組的解；確定向量組的線性相關(guān)性；確定一向量能否由另一向量線性表出；求向量的秩與極大無(wú)關(guān)組。矩陣初等變換在解決線性代數(shù)的計(jì)算問(wèn)題中有很多應(yīng)用，這些計(jì)算格式有不少類(lèi)似之處，但是由于這些計(jì)算格式有不同的原理，所以他們之間也有區(qū)別。</p><p>　　3 矩 陣

44、 初 等 變 換 的 求 解</p><p>　　3.1 矩陣初等的行（列）變換</p><p>　　由2.2.2中的矩陣的初等變換的概念介紹可以得到，初等變換有三類(lèi)： </p><p>　　1. 位置變換：矩陣的兩行（列）位置交換；</p><p>　　2. 數(shù)乘變換：數(shù)乘以矩陣某行（列）的每個(gè)元素；</p>&l

45、t;p>　　3. 消元變換：矩陣的某行（列）元素同乘以數(shù)，然后加到另外一行（列）上。</p><p>　　初等矩陣：由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換后所得的矩陣。則根據(jù)三類(lèi)初等變換，可以得到三種不同的初等矩陣。</p><p>　　1. 交換陣：?jiǎn)挝痪仃嚨谛信c第行位置交換而得；</p><p>　　2. 數(shù)乘陣：數(shù)乘以單位矩陣第行的每個(gè)元素（其實(shí)就是主對(duì)角線的1變成

46、）；</p><p>　　3. 消元陣：?jiǎn)挝痪仃嚨牡谛性爻艘詳?shù)，然后加到第行上。</p><p>　　以上的三種初等矩陣均可看成是單位矩陣的列經(jīng)過(guò)初等變換而得。 </p><p>　　3.2 初等矩陣的性質(zhì)</p><p>　　在計(jì)算行列式時(shí)，利用行列式的性質(zhì)可以將給定的行列時(shí)化為上（下）三角形行列式，從而簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算， 把行

47、列式的某些性質(zhì)引用到矩陣上，會(huì)給我們研究矩陣帶來(lái)很大的方便，這些性質(zhì)反映到矩陣上就是矩陣的初等變換.</p><p>　　定義1  矩陣的下列三種變換稱(chēng)為矩陣的初等行變換:</p><p>　　(1) 交換矩陣的兩行(交換兩行,記作);</p><p>　　(2) 以一個(gè)非零的數(shù)乘矩陣的某一行(第行乘數(shù),記作);</p><p>　

48、　(3) 把矩陣的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,記為).</p><p>　　把定義中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義(相應(yīng)記號(hào)中把換成).[7]</p><p>　　初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱(chēng)為初等變換.</p><p>　　注:初等變換的逆變換仍是初等變換, 且變換類(lèi)型相同.</p><p>　　例如，變換的逆變換即為

49、其本身；變換的逆變換為；變換的逆變換為或.</p><p>　　定義2  若矩陣經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣, 則稱(chēng)矩陣與等價(jià), 記為（或）.</p><p>　　注：在理論表述或證明中，常用記號(hào)“～”，在對(duì)矩陣作初等變換運(yùn)算的過(guò)程中常用記號(hào)“”.</p><p>　　矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列基本性質(zhì):</p><p>　　(1)

50、反身性  ;</p><p>　　(2) 對(duì)稱(chēng)性  若,則;</p><p>　　(3) 傳遞性  若,,則.</p><p>　　一般地, 稱(chēng)滿足下列條件的矩陣為行階梯形矩陣:</p><p>　　(1) 零行(元素全為零的行)位于矩陣的下方;</p><p>　　(2) 各非零行的首非

51、零元（從左至右的一個(gè)不為零的元素）的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增大而嚴(yán)格增大（或說(shuō)其列標(biāo)一定不小于行標(biāo)）.</p><p>　　一般地, 稱(chēng)滿足下列條件的階梯形矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣：</p><p>　　(1) 各非零行的首非零元都是1；</p><p>　　(2) 每個(gè)首非零元所在列的其余元素都是零. [8]</p><p>　　定理1 任意一個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)

52、有限次初等變換, 可以化為下列標(biāo)準(zhǔn)形矩陣</p><p>　　注: 定理1的證明也實(shí)質(zhì)上給出了下列結(jié)論:</p><p>　　定理2 任一矩陣總可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為行階梯形矩陣, 并進(jìn)而化為行最簡(jiǎn)形矩陣.</p><p>　　根據(jù)定理1的證明及初等變換的可逆性,有</p><p>　　推論 如果為階可逆矩陣, 則矩陣經(jīng)過(guò)有限次初等變換

53、可化為單位矩陣, 即[9]</p><p>　　定義3 對(duì)單位矩陣施以一次初等變換得到矩陣稱(chēng)為初等矩陣.</p><p>　　三種初等變換分別對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣.</p><p>　　(1) 的第行(列)互換得到的矩陣</p><p>　　(2) 的第行(列)乘以非零數(shù)得到的矩陣</p><p>　　(3) 的第行乘以

54、數(shù)加到第行上,或的第列乘以數(shù)加到第列上得到的矩陣[10]</p><p>　　4 矩陣初等變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用</p><p>　　4.1 幾類(lèi)矩陣初等變換解決線性代數(shù)的步驟</p><p>　?。?）用矩陣的初等變換解線性方程組的步驟：</p><p>　　1．寫(xiě)出增廣矩陣； </p><p>　　2．將用行

55、初等變換化為行最簡(jiǎn)形； </p><p>　　3．寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的方程組；</p><p><b>　　4．寫(xiě)出解。</b></p><p>　?。?）齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化為最簡(jiǎn)形矩陣，便可以寫(xiě)出其通解。</p><p>　　非齊次線性方程組：1） 對(duì)增廣矩陣作初等行變換，判斷是否有解。</p><p

56、>　　2） 若有解，化成行最簡(jiǎn)形矩陣，選定個(gè)自由未知量移到等號(hào)右邊，寫(xiě)出通解。</p><p>　　4.2 矩陣初等變換的幾種簡(jiǎn)單應(yīng)用</p><p>　　簡(jiǎn)單應(yīng)用一：利用初等變換判斷兩個(gè)向量組的等價(jià)性</p><p>　　兩個(gè)向量組及若向量中的每個(gè)向量都能由向量組線性表示，那么稱(chēng)向量組能由向量組線性表示。如果向量組與向量組互相線性表示，那么稱(chēng)這兩個(gè)向量組等

57、價(jià)。</p><p>　　要判斷兩個(gè)向量組是否等價(jià)，可記矩陣，對(duì)實(shí)行初等行變換將其化為階梯矩陣，從中可以看出向量組、向量組的秩以及矩陣的秩。記的秩為，若，則向量組可由向量組線性表示，因此，當(dāng)時(shí)，向量組與向量組等價(jià)。</p><p>　　例1 已知向量組：，；B：，，</p><p>　　證明向量組與向量組等價(jià)。</p><p><b&

58、gt;　　證明：記矩陣，，</b></p><p><b>　　組與組等價(jià)或者，</b></p><p>　　故只需用初等變換求出的行階梯形以計(jì)算三矩陣的秩。</p><p><b>　　，</b></p><p>　　由行階梯矩陣可知，因此向量組與等價(jià)。</p><

59、p>　　注：若要判斷的兩個(gè)向量組的向量個(gè)數(shù)相等，除了以上方法外，還可以分別對(duì)兩個(gè)</p><p>　　向量組的矩陣進(jìn)行初等變換。將其化為行最簡(jiǎn)形，若兩個(gè)矩陣的行最簡(jiǎn)形相同，則</p><p>　　所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量組等價(jià)。</p><p>　　簡(jiǎn)單應(yīng)用二：利用初等變換求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形</p><p>　　命題：任意給定實(shí)二次型總有正交變換

60、使化為標(biāo)準(zhǔn)型</p><p>　　，其中是二次型的矩陣的個(gè)特征值。[11]</p><p>　　證明：要使二次型經(jīng)過(guò)滿秩線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，也就是使</p><p>　　從矩陣角度來(lái)說(shuō)就是尋求一個(gè)可逆陣，使得為對(duì)角矩陣，即</p><p><b>　　，</b></p><p>　　此時(shí)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣

61、與對(duì)角矩陣合同。</p><p>　　由文獻(xiàn)第七章定理5知，對(duì)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣總有正交矩陣使</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中是的個(gè)特征值。</b></p><p>　　由以上分析知，為求矩陣，只要對(duì)進(jìn)行初等行變換，然后按前面所進(jìn)行的行變</p>&l

62、t;p>　　換在對(duì)矩陣進(jìn)行相應(yīng)的列變換，直至矩陣化為對(duì)角陣，最后得到，其中</p><p>　　為對(duì)角矩陣，為將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的正交矩陣?；涡蜑闃?biāo)準(zhǔn)</p><p>　　形，一般采用的是正交變換法或配方法，這兩種方法理論性強(qiáng)，但 運(yùn)算量較大。對(duì)于有些二</p><p>　　次型，用初等變換的方法將其化為標(biāo)準(zhǔn)形會(huì)更簡(jiǎn)便快捷，下4.3.5中有舉例說(shuō)明。<

63、;/p><p>　　4.3 矩陣初等變換關(guān)于線性代數(shù)的幾個(gè)應(yīng)用舉例</p><p>　　4.3.1 利用初等變換求多項(xiàng)式的最大公因式</p><p>　　求多項(xiàng)式的最大公因式，一般采用輾轉(zhuǎn)相除法和分解法，還可用初等變換的方法來(lái)求解。</p><p>　　命題 1 設(shè)，令經(jīng)初等變換得，</p><p><b>

64、;　　其中，，</b></p><p><b>　　則。</b></p><p>　　命 題 2 設(shè),令（其中去掉第一行則為單位矩陣）</p><p><b>　　經(jīng)初等列變換得到，</b></p><p><b>　　其中，</b></p>&l

65、t;p><b>　　則，</b></p><p>　　且。 [12]</p><p>　　4.3.2 用矩陣的初等變換求逆矩陣</p><p>　　方法一 因?yàn)椋詫?duì)矩陣施行一系列初等變換將其左半部分化</p><p>　　為單位矩陣，這時(shí)其右半部分就是。</p><p>　

66、　方法二 因?yàn)?，所以?duì)矩陣實(shí)行一系列初等列變換，將其上半部分化為</p><p>　　單位矩陣，這時(shí)其下半部分就是。</p><p>　　4.3.3 用矩陣的初等變換求解矩陣方程</p><p>　　1. 易知型的矩陣方程解為，又，所以對(duì)矩陣</p><p>　　做一系列初等行變換，將其左半部分化為單位矩陣，這時(shí)其右半部分就是。</p&

67、gt;<p>　　2. 易知型的矩陣方程解為，又，所以對(duì)矩陣</p><p>　　做一系列初等列變換，將其上半部分化為單位矩陣，這時(shí)其下半部分就是。 [13]</p><p>　　4.3.4 用矩陣的初等變換求矩陣的秩、向量組的秩、極大線性無(wú)關(guān)組</p><p>　　由于初等變換不改變矩陣的秩，且任意一個(gè)矩陣，均可以經(jīng)過(guò)一系列初等行變換化為<

68、;/p><p>　　階梯矩陣;因此我們要確定一個(gè)矩陣的秩，當(dāng)它不是階梯矩陣時(shí)，我們可以先利用初等行變換將其化為階梯矩陣，然后就可以由階梯矩陣的秩確定原矩陣的秩。</p><p>　　例2. 已知，求。</p><p>　　解： ，</p><p>　　因?yàn)橛袃蓚€(gè)非零行向量，所以。</p><p

69、>　　注：如果我們要求向量組的秩，可把每一向量作為矩陣的列，從而轉(zhuǎn)化為求矩陣的秩，</p><p>　　還可求極大線性無(wú)關(guān)組。</p><p><b>　　若求向量組，，，</b></p><p>　　一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用最大無(wú)關(guān)組表示。</p><p>　　由前面矩陣可得該向量組的秩為2，，是一個(gè)是一個(gè)

70、最大無(wú)關(guān)組，且可得</p><p>　　。 [14]</p><p>　　4.3.5 用矩陣的初等變換解線性方程組</p><p>　　將線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行若干次的初等行變換，化為行最簡(jiǎn)形矩陣，即可很容易地求出該</p><p>　　線性方程組解的情況.行最簡(jiǎn)形矩陣特點(diǎn)是:（1）非零行在矩陣的最下方；（2）矩陣的

71、各非零行的第一個(gè)非零元素都等1；（3）第一個(gè)非零元素所在的列中，其余元素均為零。</p><p>　　例3 求解線性方程組</p><p>　　解： 對(duì)方程組的增廣矩陣施以初等行變換，化為行最簡(jiǎn)形矩陣</p><p><b>　　，</b></p><p>　　因?yàn)?，故方程有無(wú)窮多解，?。ㄆ渲?為</p>

72、;<p>　　任意常數(shù)），則方程組的全部解為 。 [15]</p><p>　　4.3.6 用矩陣的初等變換求過(guò)渡矩陣</p><p><b>　　已知，由可得</b></p><p><b>　　，又，所以有</b></p><p>　　，稱(chēng)系數(shù)矩陣為從

73、基到基的過(guò)渡矩陣.</p><p>　　因?yàn)?，所以，?dāng)化為時(shí)，</p><p><b>　　化為過(guò)渡矩陣。</b></p><p>　　例4 向量組，和，</p><p>　　都是的基，求由到基的過(guò)渡矩陣。</p><p><b>　　解： </b></p>

74、<p>　　所以基到基的過(guò)渡矩陣為。 [16] 。</p><p>　　4.3.7 用矩陣的初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形</p><p>　　對(duì)任意二次型一定存在可逆線性替換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形.即存在可逆矩</p><p>　　陣，使。于是構(gòu)造矩陣對(duì)每進(jìn)行一次同種的初等變換，</p><p>　　當(dāng)矩陣化為對(duì)角矩陣時(shí)，矩陣將化

75、為可逆矩陣.所以有和，</p><p><b>　　即，</b></p><p>　　因此得到可逆矩陣和對(duì)應(yīng)的可逆線性替換，在此變換下二次型 化為</p><p><b>　　標(biāo)準(zhǔn)形。</b></p><p>　　例5 用初等變換法將下面的二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形</p><p>

76、;<b>　　.</b></p><p>　　解： 二次型的矩陣為，</p><p><b>　　，</b></p><p>　　令做可逆線性代換，則，二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。 [17]</p><p>　　4.3.8 用矩陣的初等變換求標(biāo)準(zhǔn)正交基</p><p&g

77、t;　　任給維歐式空間的一組基，利用施密特正交法可求出一組正交基，再單位化，求出一組</p><p>　　標(biāo)準(zhǔn)正交基，但正交化的過(guò)程計(jì)算繁瑣，其實(shí)利用矩陣的初等變換，較容易地得到相同結(jié)果.</p><p>　　設(shè)是階的任意一組基，以為列向量構(gòu)成矩陣，則 是一個(gè)階正定矩陣，必與單位矩陣合同，即存在階矩陣，使得</p><p>　　，

78、 （1）</p><p>　　即， （2）</p><p>　?。?）式表明對(duì)做一系列同樣類(lèi)型的初等行列變換，可將化為單位矩。</p><p>　?。?）式表明是正交矩陣，即的列向量是的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，可以通過(guò)對(duì)矩陣實(shí)行對(duì)矩陣實(shí)行的同樣系列的初等列變換

79、求出，即</p><p>　　， （3） </p><p>　　的列向量組為所求的單位正交基。</p><p>　　例6 已知是的一組基，其中，</p><p>　　，，試用構(gòu)造的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。</p><p>　　解： 代入（3）式有</p><p><b>　　

80、，</b></p><p>　　所以的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為</p><p><b>　　。[18] </b></p><p><b>　　5 總 結(jié)</b></p><p>　　矩陣初等變換是貫穿線性代數(shù)教學(xué)活動(dòng)始末的重要概念，也是解決線性代數(shù)諸多問(wèn)題的重要工具，在線性代數(shù)中有著舉足輕

81、重的作用和十分廣泛的應(yīng)用。矩陣初等變換被普遍地應(yīng)用于以下方面：求矩陣的逆矩陣、求矩陣的秩、向量組的秩，以及求解線性方程組等。 </p><p>　　針對(duì)線性代數(shù)學(xué)習(xí)中常出現(xiàn)的一些太抽象,難理解,較繁瑣,算不對(duì)等問(wèn)題。矩陣這一工具顯示出了自身獨(dú)特的魅力。在整個(gè)線性代數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中,矩陣的初等變換具有普遍意義,特別是矩陣的初等行變換更具有極其重要的作用。掌握了矩陣的初等行變換,以上問(wèn)題基本上迎刃而解。</p>

82、;<p>　　由以上的簡(jiǎn)單論述可知，矩陣的初等變換幾乎怪穿了線性代數(shù)內(nèi)容的始終，幾個(gè)主要的概念和計(jì)算幾乎都涉及到了。矩陣的初等變換好像一只無(wú)形的手，將線性代數(shù)各個(gè)部分看似零散的只是點(diǎn)統(tǒng)一起來(lái)，使線性代數(shù)形成一個(gè)整體。[19]</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 劉顯鳳.科技信息[J].2010年13期</p&g

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