matlab在線性代數(shù)中的應(yīng)用[文獻(xiàn)綜述]

1、<p><b>　　畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>　　信息與計(jì)算科學(xué)</b></p><p>　　MATLAB在線性代數(shù)中的應(yīng)用</p><p><b>　　前言部分</b></p><p>　　線性代數(shù)是大學(xué)理、工、經(jīng)管、醫(yī)、農(nóng)等學(xué)科所有專業(yè)必修

2、的一門(mén)重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。它作為離散性數(shù)學(xué)在工科數(shù)學(xué)中的代表，隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)日新月異的發(fā)展，許多非線性問(wèn)題高精度地線性化與大型線性問(wèn)題的可計(jì)算性正在加快逐步實(shí)現(xiàn)，因此無(wú)論從理論上還是從應(yīng)用上看，線性代數(shù)的地位更趨重要。</p><p>　　MATLAB軟件是目前教學(xué)與科研中最具影響力、最有活力、最具可靠性的數(shù)學(xué)軟件。它起源于矩陣運(yùn)算，MATLAB名字由MATrix和LABoratory兩詞的前三個(gè)字母組合而成。作為高

3、度集成的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，它攜帶幾十個(gè)軟件包，提供了強(qiáng)大的科學(xué)運(yùn)算、靈活的程序設(shè)計(jì)流程、高質(zhì)量的圖形可視化與界面設(shè)計(jì)，與其他語(yǔ)言的接口也非常便捷。在歐美的大學(xué)里，諸如應(yīng)用統(tǒng)計(jì)分析、自動(dòng)控制、數(shù)字信號(hào)處理、模擬與數(shù)字通信、時(shí)間序列分析、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真等課程都把MATLAB作為教學(xué)內(nèi)容。</p><p>　　線性代數(shù)作為代數(shù)的一個(gè)主要分支，以向量空間與線性變換作為研究對(duì)象，就其在數(shù)學(xué)、物理學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)等分支的應(yīng)用來(lái)說(shuō)，線性代

4、數(shù)的離散化思想具有非常特殊的作用，因此也成為我國(guó)大學(xué)生必修的公共基礎(chǔ)課之一。此外，線性代數(shù)思想特別使用于計(jì)算機(jī)編程，它以坐標(biāo)法和向量法作為主要的研究工具，通過(guò)矩陣和向量性質(zhì)研究多變量之間的線性關(guān)系，因此，MATLAB與線性代數(shù)的緊密結(jié)合有著非常廣闊的前景。</p><p><b>　　主題部分 </b></p><p>　　線性代數(shù)是一門(mén)應(yīng)用性很強(qiáng)，但又在理論上進(jìn)行了

5、高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科。一方面，中學(xué)生就學(xué)過(guò)了二元一次代數(shù)方程的解法，代入法和消去法大概每個(gè)人都會(huì)記憶一輩子，這就是做簡(jiǎn)單的線性代數(shù)。當(dāng)把方程的階次提高到了三元一次以上時(shí)，它不但要求較高級(jí)的抽象思維能力，而且也要求用十分煩瑣的計(jì)算步驟才能解決問(wèn)題。對(duì)于數(shù)學(xué)家，他們重視前者，這無(wú)可厚非；但對(duì)于大多數(shù)工科學(xué)生，他們更需要的是能應(yīng)用它的理論，指導(dǎo)完成實(shí)際的計(jì)算。事實(shí)上，線性代數(shù)的那種單調(diào)、機(jī)械、枯燥的運(yùn)算，只是由于計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)才賦予了在應(yīng)用方面的

6、生命力。</p><p>　　20世紀(jì)80年代，出現(xiàn)了個(gè)人計(jì)算機(jī)并迅速普及。新的硬件也帶動(dòng)了新的軟件，出現(xiàn)了新穎的科學(xué)計(jì)算語(yǔ)言，也稱為數(shù)學(xué)軟件，因?yàn)樗哂懈咝?、可視化和推理能力等特點(diǎn)。計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展已經(jīng)對(duì)人們的物質(zhì)生活和文化生活產(chǎn)生了十分巨大的影響，其最顯著的功能就是高速度地進(jìn)行大量計(jì)算，這種告訴計(jì)算使得許多過(guò)去無(wú)法求解的問(wèn)題成為可能，因而科學(xué)計(jì)算已成為與理論研究、科學(xué)實(shí)驗(yàn)并列的科學(xué)研究的三大手段。</p

7、><p>　　MATLAB是“矩陣實(shí)驗(yàn)室”（Matrix Laboratory）的縮寫(xiě)，它是一種以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)的交互式程序語(yǔ)言，當(dāng)然它特別適合于線性代數(shù)，并能更廣泛地適應(yīng)科學(xué)和工程計(jì)算及繪圖的需求。與其他計(jì)算機(jī)語(yǔ)言相比，MATLAB的特點(diǎn)是簡(jiǎn)捷和智能化，適應(yīng)科技專業(yè)人員的思維方式和書(shū)寫(xiě)習(xí)慣，使得編程和調(diào)試效率大大提高。它用解釋方式工作，鍵入程序立即得出結(jié)果，人機(jī)交互性能好，易于調(diào)試并為科技人員所樂(lè)于接受。特別是它可

8、適應(yīng)多種平臺(tái)，并且隨計(jì)算機(jī)硬軟件的更新及時(shí)升級(jí)。</p><p>　　MATLAB的基本數(shù)據(jù)單元是矩陣，所有的變量都可用矩陣來(lái)表示，向量是行數(shù)為1或列數(shù)為1的矩陣，而標(biāo)量則是1行1列的特例矩陣，在編程時(shí)不必像其他語(yǔ)言一樣為矩陣定義維數(shù)和大小。用MATLAB求解一個(gè)問(wèn)題比編寫(xiě)Fortran、C或Basic語(yǔ)言程序求解所用的時(shí)間要少得多。此外，它的數(shù)學(xué)表達(dá)式和運(yùn)算結(jié)果也幾乎和數(shù)學(xué)解析的表現(xiàn)形式完全相同。</p&

9、gt;<p>　　2.1 MATLAB環(huán)境下矩陣的建立</p><p>　　MATLAB環(huán)境下，線性代數(shù)的計(jì)算有以下幾方面內(nèi)容。</p><p>　?。?）矩陣的創(chuàng)建( 輸入)</p><p>　　在MATLAB 中, 輸入矩陣時(shí)每一行元素</p><p>　　用分號(hào)分隔, 格式為: [a, b, c;d, e, f;g, h,

10、 i] 。</p><p>　　（2）求方陣的行列式</p><p>　　求行列式是通過(guò)det 函數(shù)求解。</p><p>　　例1 求下列矩陣的行列式</p><p><b>　　解 程序?yàn)?lt;/b></p><p>　　A=[10,8,6,4,1;2,5,8,9,4;6,0,9,9,8;5,

11、8,7,4,0;9,4,2,9,1];</p><p><b>　　D=det(A)</b></p><p><b>　　結(jié)果為</b></p><p>　　D=5.9720e+003=5972</p><p><b>　?。?）求逆矩陣</b></p><

12、p>　　用inv 來(lái)實(shí)現(xiàn), 要注意大小寫(xiě)字母的區(qū)別。</p><p>　　例2 設(shè),試求其逆陣</p><p>　　解 按上述方法寫(xiě)成MATLAB程序</p><p>　　A=[3,0,3,-6;5,-1,-1,-5;-3,1,4,-9;1,-3,4,-4];</p><p><b>　　V=inv(A)</b>

13、;</p><p><b>　　結(jié)果為</b></p><p>　　（4）矩陣的基本運(yùn)算</p><p>　　可算加法“+”、減法“-”、乘法“*”, 及數(shù)乘等。</p><p>　　那么，我們先來(lái)看如下的一個(gè)矩陣，問(wèn)常數(shù)滿足什么條件時(shí)，矩陣A可逆，并求其逆矩陣；特別給出當(dāng)矩陣A的行列式等于-6時(shí)的逆矩陣。</p&

14、gt;<p>　　解這樣的帶有符號(hào)變量的計(jì)算問(wèn)題用手工方法是很難完成的。現(xiàn)編程如下：</p><p>　　%判斷符號(hào)矩陣何時(shí)可逆，并求其逆。</p><p><b>　　clear all</b></p><p>　　syms a %符號(hào)變量說(shuō)明</p><

15、;p>　　disp(‘輸入的矩陣是：’)</p><p>　　A=[1 1 -1;a 2 0;-1 a 3] %符號(hào)矩陣輸入</p><p><b>　　D=det(A);</b></p><p>　　Disp(‘當(dāng)參數(shù)a不等于’)</p><p>　　p=solve(D)

16、 %求符號(hào)矩陣行列式值函數(shù)的零點(diǎn)</p><p>　　disp(‘時(shí)其有逆陣：’)</p><p>　　B=inv(A) %求符號(hào)逆矩陣</p><p>　　q=solve(D+6); %求行列式等于指定值-6時(shí)的參數(shù)的值</p>

17、<p>　　L=length(q);</p><p><b>　　For i=1:L</b></p><p>　　disp(‘當(dāng)參數(shù)a 等于’)</p><p>　　subs(q(i)) %將參數(shù)的值轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)形式</p><p>　　disp(‘時(shí)矩陣的行列式等于指

18、定值（-6），其逆矩陣為：’)</p><p>　　B=sym(subs(B,a,subs(q(i)))) %求等于時(shí)的逆矩陣，并以簡(jiǎn)化形式輸出</p><p><b>　　End</b></p><p><b>　　程序執(zhí)行結(jié)果是：</b></p><p><b>　　輸入的矩

19、陣是：</b></p><p><b>　　當(dāng)參數(shù)不等于</b></p><p><b>　　時(shí)，其有逆陣 </b></p><p><b>　　當(dāng)參數(shù)等于</b></p><p>　　時(shí)矩陣的行列式等于指定值（-6），其逆矩陣為：</p><p

20、><b>　　當(dāng)參數(shù)等于</b></p><p><b>　　2</b></p><p>　　時(shí)矩陣的行列式等于指定值（-6），其逆矩陣為</p><p>　　2.2 Matlab環(huán)境下克萊姆法則的應(yīng)用</p><p>　　線性方程組可以分成兩類, 一類是未知量個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)相等, 另一類是

21、未知量個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)不等, 對(duì)于前一類特殊的線性方程組, 我們可以采用克萊姆法則（Cramer）.</p><p>　　如果線性方程組的系數(shù)矩陣</p><p><b>　　(I)</b></p><p>　　那么有設(shè)線性方程組（I）的系數(shù)行列式，則（I）有唯一解，且解可用行列式表示為其中是把系數(shù)行列式D中第列元素方程組（I）右端相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)

22、代替而得到的n階行列式，即</p><p>　　從而若為某個(gè)數(shù)域，則解均屬于。</p><p>　　那么用MATLAB來(lái)求解滿足Cramer法則條件的方程組</p><p><b>　　解程序如下：</b></p><p>　　%求解滿足Cramer法則條件的</p><p>　　A=[1 0 -

23、1 1;2 -1 4 8;3 0 2 1;4 1 6 3] %輸入系數(shù)矩陣</p><p>　　b=[1 0 -1 0] %輸入常數(shù)列向量</p><p>　　[m,n]=size(A);</p><p>　　b=b(:);k=size(b,1);</p>

24、<p>　　if m~=n|m~=k %檢查輸入正確性</p><p>　　disp(‘您輸入的系數(shù)矩陣或常數(shù)列向量有錯(cuò)誤！’)</p><p><b>　　return</b></p><p><b>　　else</b></p

25、><p>　　disp(‘系數(shù)行列式的值為：’)</p><p>　　D=det(A) %計(jì)算并輸入系數(shù)行列式的值</p><p><b>　　If D==0</b></p><p>　　Disp(‘輸入的系數(shù)行列式不滿足Cramer法則的條件！’)&

26、lt;/p><p><b>　　Else</b></p><p>　　For j=1:n B=A;B(:,j)=b;Dj(j)=det(B);end %求用常數(shù)列替換后的行列式的值</p><p>　　disp(‘用常數(shù)列b替換系數(shù)行列式中的第j列所得到的行列式的值分別為：’)</p><p><b>

27、;　　Dj</b></p><p>　　disp(‘ 原方程組AX=b 有唯一解，解是：’)</p><p>　　X=Dj./D %輸出原方程組的（唯一）解</p><p><b>　　end</b></p><p><b>

28、;　　end</b></p><p><b>　　程序執(zhí)行的結(jié)果是：</b></p><p><b>　　系數(shù)行列式的值為：</b></p><p>　　用常數(shù)列替換系數(shù)行列式中的第列所得到的行列式的值分別為：</p><p>　　原方程組有惟一解，解是：</p><

29、p>　　對(duì)于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)不等的情況我們來(lái)看以下題目</p><p>　　例 3 用編程方法求解下列齊次線性方程組</p><p><b>　　解 編程</b></p><p>　　%求齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)向量</p><p><b>　　clear all</b></p

30、><p>　　A=[1 2 1 1 1;2 4 3 1 1;-1 -2 1 3 -3;0 0 2 5 -2]; %輸入系數(shù)矩陣</p><p>　　[m,n]=size(A);</p><p><b>　　if A==0</b></p><p>　　disp(‘輸入的系數(shù)矩陣為零矩陣！’)</p>

31、<p><b>　　return</b></p><p><b>　　else</b></p><p>　　disp(‘齊次線性方程組的系數(shù)矩陣是：’)</p><p><b>　　A</b></p><p>　　[R,s]=rref(A);

32、 %調(diào)用初等變換子函數(shù)</p><p>　　disp(‘經(jīng)過(guò)初等變換，系數(shù)矩陣A化為如下‘簡(jiǎn)化階梯形’：’)</p><p><b>　　R</b></p><p>　　disp(‘線性代數(shù)組AX=0只有惟一零解！’)</p><p>　　r=length(

33、s)</p><p><b>　　if r==n</b></p><p><b>　　else</b></p><p>　　%----------------------</p><p>　　%從矩陣R構(gòu)成基礎(chǔ)解向量</p><p><b>　　t=0;</b

34、></p><p><b>　　for i=1:r</b></p><p>　　h(i)=s(i); %確定解向量x的分量次序</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　for

35、 j=1:n</b></p><p><b>　　k=0;</b></p><p><b>　　for i=1:r</b></p><p>　　if j==s(i) k=1;break;end</p><p><b>　　end</b></p>&l

36、t;p><b>　　if k==0</b></p><p>　　t=t+1; h(r+t)=j ; %確定解向量x的分量次序</p><p>　　B（：，t）=(-1).*R(:,j);</p><p><b>　　end</b></p>&l

37、t;p><b>　　end</b></p><p>　　B(r+1:n,1:n-r)=eye(n-r,n-r);</p><p><b>　　for i=1:n</b></p><p>　　C(h(i),:)=B(i,:); %按變量原次序構(gòu)成基礎(chǔ)解向量&l

38、t;/p><p><b>　　end</b></p><p>　　%-------------------</p><p>　　disp(‘線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解向量為：’)</p><p><b>　　X=C</b></p><p><b>　　end</b

39、></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　程序結(jié)果為</b></p><p><b>　　A=</b></p><p>　　1 2 1 1 1</p><p>　　2 4 3 1 1</p>

40、<p>　　-1 -2 1 3 -3</p><p>　　0 0 2 5 -2</p><p>　　經(jīng)過(guò)初等行變換，系數(shù)矩陣A化為如下‘簡(jiǎn)化階梯形’：</p><p><b>　　R=</b></p><p>　　2 0 0 2</p><p>　　0 0 1 0 -1&

41、lt;/p><p>　　0 0 0 1 0</p><p>　　0 0 0 0 0</p><p><b>　　系數(shù)矩陣A的秩為</b></p><p><b>　　r= </b></p><p><b>　　3</b></p>

42、;<p>　　線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解（列）向量為：</p><p><b>　　X=</b></p><p>　　-2 -2 </p><p><b>　　1 0</b></p><p><b>　　0 1</b></p>&

43、lt;p><b>　　0 0</b></p><p>　　0 1 </p><p><b>　　三、總結(jié)部分</b></p><p>　　本文首先介紹了線性代數(shù)及MATLAB產(chǎn)生的背景及發(fā)展歷程和方向，讓大家對(duì)線性代數(shù)及MATLAB有了初步認(rèn)識(shí)。最初的線性方程組問(wèn)題大都是來(lái)源于生活實(shí)踐，歷史上線性代數(shù)

44、的第一個(gè)問(wèn)題是關(guān)于解線性方程組的問(wèn)題，而線性方程組理論的發(fā)展又促成了作為工具的矩陣論和行列式理論的創(chuàng)立與發(fā)展，而近現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析與幾何學(xué)等數(shù)學(xué)分支的要求也促使了線性代數(shù)的進(jìn)一步發(fā)展。線性代數(shù)有三個(gè)基本計(jì)算單元：向量(組)，矩陣，行列式，研究它們的性質(zhì)和相關(guān)定理，能夠求解線性方程組，實(shí)現(xiàn)行列式與矩陣計(jì)算和線性變換，構(gòu)建向量空間和歐式空間。線性代數(shù)的兩個(gè)基本方法是構(gòu)造（分解）和代數(shù)法，基本思想是化簡(jiǎn)（降解）和同構(gòu)變換。MATLAB作為一種以矩

45、陣運(yùn)算為基礎(chǔ)的交互式程序語(yǔ)言，以簡(jiǎn)捷和智能化為特點(diǎn)，適應(yīng)科技專業(yè)人員的思維方式和書(shū)寫(xiě)習(xí)慣，使得編程和調(diào)試效率大大提高.MATLAB是線性代數(shù)教學(xué)方面最適合的數(shù)學(xué)軟件。</p><p>　　然后又介紹了線性代數(shù)在MATLAB軟件上的應(yīng)用。詳細(xì)介紹了在MATLAB環(huán)境下矩陣的建立，運(yùn)算等，更進(jìn)一步用MATLAB來(lái)用線性代數(shù)中的克萊姆法則來(lái)解決實(shí)例問(wèn)題。線性代數(shù)在MATLAB中更多的應(yīng)用極大的推動(dòng)了線性代數(shù)的發(fā)展，為社

46、會(huì)帶來(lái)了極大的便利。</p><p><b>　　四、參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 陳維新.線性代數(shù)簡(jiǎn)明教程(第二版)[M].北京：科學(xué)出版社,2005.1:3-3.</p><p>　　[2] 汪潘義.運(yùn)用“Matlab”進(jìn)行線性代數(shù)課程教學(xué)的原則[J].科技信息,2009,(23):537-537.</p>&

47、lt;p>　　[3] (美)利昂(Leon,S.,J.)著 張文博,張麗靜 譯.線性代數(shù)(原書(shū)第7版)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2007.2:5-5.</p><p>　　[4] Steven J.Leon.Linear Algebra with Applications(Seventh Edition)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2007.5:5-5.</p><p>　　[

48、5] Steven Roman.Advanced Linear Algebra(Third Editon)[M].北京：世界圖書(shū)出版社,2008:7-7.</p><p>　　[6] 王亮,馮國(guó)臣,王兵團(tuán). 基于MATLAB的線性代數(shù)實(shí)用教程[M].北京:科學(xué)出版社,2008:3-4.</p><p>　　[7] 邵建峰,劉彬.線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與MATLAB編程實(shí)踐[M].北京：化學(xué)工業(yè)出

49、版社,2007.8:90-92.</p><p>　　[8] 陳懷琛,龔杰民.線性代數(shù)實(shí)踐及MATLAB入門(mén)(第2版)[M].北京：電子工業(yè)出版社,2009.1:3-5.</p><p>　　[9] 周曉陽(yáng) .數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與MATLAB[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社,2002.1:2-2.</p><p>　　[10] 楊威,高淑萍. 線性代數(shù)機(jī)算與應(yīng)用指導(dǎo)(MATL

50、AB版)[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社,2009.4:13-13.</p><p>　　[11] 張德豐.MATLAB數(shù)值分析與應(yīng)用[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社,2007.1 :13-14.</p><p>　　[12] 求是科技.MATLAB7.0從入門(mén)到精通[M].北京：人民郵電出版社,2006.3:23-23.</p><p>　　[12] 國(guó)現(xiàn)華.線性

51、方程組的求解[J]. 邢臺(tái)學(xué)院學(xué)報(bào),2006.6,21(2):92-93.</p><p>　　[13] 溫旭東. Matlab與Mathmatica在線性代數(shù)運(yùn)算中的對(duì)比分析[J].黑龍江科技信息,2008,(3):171-171.</p><p>　　[14] 高智中,武潔,王洋軍.Matlab在線性代數(shù)教學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用[J].衡水學(xué)院學(xué)報(bào),2010,12(1):92-92.</