關(guān)于連分?jǐn)?shù)部分商的截取和的研究.pdf

1、為了能使實(shí)數(shù)在數(shù)學(xué)上有純粹的表示法,人們開(kāi)始研究連分?jǐn)?shù).早在公元前300年,歐幾里得關(guān)于最大公約數(shù)的算法就衍生了副產(chǎn)品-連分?jǐn)?shù).連分?jǐn)?shù)研究的是一種特殊的算法,它是計(jì)算機(jī)、概率論、數(shù)學(xué)分析、力學(xué),特別是數(shù)論中的非常重要的應(yīng)用工具之一.另外,連分?jǐn)?shù)在實(shí)數(shù)的表示法中,至少在原則上起著,例如像十進(jìn)位體系或更一般體系的小數(shù)那樣的作用.我們都知道,實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù).而任何一個(gè)有理數(shù)都能用一個(gè)有限連分?jǐn)?shù)來(lái)表示,對(duì)所有的有理數(shù),它都能用兩種不同的

2、形式表示有限連分?jǐn)?shù).同樣地,無(wú)理數(shù)也都能用無(wú)限連分?jǐn)?shù)來(lái)表示,并且只能用唯一的精準(zhǔn)的方式表示無(wú)限連分?jǐn)?shù).
　　對(duì)任意的x∈[0,1),設(shè)[a1(x),a2(x),…]是x的連分?jǐn)?shù)展式.對(duì)任意的n≥1,記Sn(x)=∑nk=1ak(x).1935年,Khintchine首先證明了Sn(x)/nlogn按一維Lebesgue測(cè)度收斂于1/log2.Philipp接著又證明了不存在單調(diào)上升的正則序列使得部分商序列{an(x)}n≥1滿足強(qiáng)

3、大數(shù)定律.但如果把前n項(xiàng)中的最大部分商減掉的話,Diamond和Vaaler證明了這樣的截取和對(duì)正則序列{nlogn}n≥1強(qiáng)大數(shù)定律成立.吳軍和徐劍證明了相應(yīng)例外集的維數(shù)是1.在本論文中,我們考慮部分商的截取和以多項(xiàng)式速度增長(zhǎng)的點(diǎn)集,并得到了這些集合的Hausdorff維數(shù).
　　本論文包括四個(gè)部分.緒論部分主要介紹了問(wèn)題的一些相關(guān)的研究背景及現(xiàn)狀.第二部分,我們給出一些相關(guān)的定義,基礎(chǔ)知識(shí)和相關(guān)結(jié)論.第三部分是本文的主要結(jié)論的