關于正整數的立方部分數列

1、西北大學學報(自然科學網絡版)2003年10月第4期ScienceJournalofNthwestUniversityOnlineOct.2003No.4________________________收稿日期：20030603基金項目：國家自然科學基金資助項目(10271093)，陜西省自然科學基金資助項目(2022A11)審稿人：張文鵬，西北大學數學系教授，西安交通大學數學系教授(博士生導師)關于正整數的平方部分數列陳寶安（咸陽師范

2、學院數學系，陜西咸陽712000）摘要：研究了數列a(n)和b(n)的漸近性質，其中a(n)表示不超過n的最大平方部分，b(n)表示不小于n的最小平方部分。研究了這兩個數列，并給出了關于這兩個數列的兩個有趣的漸近公式。關鍵詞：平方部分；均值；漸近公式中圖分類號：O156.4文獻標識碼：A文章編號：1000274X(2003)0021031引言及結論對任意正整數n，設a(n)表示不超過n的最大平方部分，b(n)表示不小于n的最小平方部分。

3、例如：a(1)=1a(2)=1a(3)=1a(4)=4a(5)=4a(6)=4…。b(1)=1b(2)=4b(3)=4b(4)=4b(5)=9b(6)=9…。在文獻[1]的第41個問題中，羅馬尼亞數論專家F.Smarach教授要求我們研究數列u(n)和v(n)的性質。關于這一問題，至今似乎沒有人進行過研究，至少我們還沒有看到任何有關它的論文。本文利用初等方法研究了這兩個數列的均值性質，并給出了兩個有趣的漸近公式，即就是證明了下面的：定理

4、1對任一實數我們有漸近公式1?xlnlnln2))((???????????xxOCxxxnaΩxn其中Ω(n)表示n的所有素因數的個數，C是一個常數。對數列b(n)，我們也可以得到類似的結論，即就是：定理2對任一實數，我們有漸近公式1?x.lnlnln2))((???????????xnxxOCxxxnbΩ2定理的證明這節(jié)我們來完成定理的證明，首先證明定理1。對任一實數，設M是一固定的正整數且滿足1?x(1).)1(22???MxM則

5、從a(n)的定義我們有??????????????xnknkxnMMknaΩnaΩnaΩ222)1(1))(())(())((3參考文獻：[1]SMARACHEF.OnlyProblemsnotSolutions[M].Chicago:XiquanPublHouse1993.[2]HARDYGHRAMANUJANS.Thenmalnumberofprimefactsofaumbern[J].QuartJMath199748:7692.[

6、3]APSTOLTM.IntroductiontoAnalyticNumberThey[M].NewYk:SpringerVerlag1976.（編輯曹大剛）OnthesquarepartofpositiveintegerCHENBaoan(DepartmentofMathematicsXianyangTeacher’sCollegeXianyang712000)Abstract:Theasymptoticpropertiesoftwo

7、sequencesa(n)b(n)arestudiedwherea(n)isthelargestsquarelessthanequaltonb(n)isthesmallestsquaregreaterthanequalton.Twointerestingasymptoticfmulaeonthesetwosequencesaregiven.Keywds:squarepartmeanvalueasymptoticfmula作者簡介陳寶安，

8、男，陜西淳化人，生于1962年10月，1983年畢業(yè)于陜西師范大學數學系，現任咸陽師范學院數學系講師，中學數學教學與研究教研室主任，陜西省數學教育學會理事。他任教20年來先后為?？粕?、本科生講授過初等數學研究、數學史、中學數學教材法、數學方法論、數學建模和高等數學等課程，長期從事中學數學教師的繼續(xù)教育和新課程培訓工作。他長期致力于初等數學及數學教育的研究工作，在初等幾何問題的代數證明方面作了研究，發(fā)表論文4篇，在中學數學的思想方法的研究