初等數論連分數

1、第七章 連分數,,,§7.4 二次不定方程,一、利用循環(huán)連分數理論討論問題,二、定理及推論,1．二次不定方程,(1),一、利用循環(huán)連分數理論討論問題,其中 是非平方的正整數;,因為 是非平方的整數，故 是一個二次不盡根，由§3定理2知:,令 我們來證明.,,定理1,證明：由§2（2）式及§2定理2知:

2、,,,有兩個整數,使得下式成立,則極易驗證（2）.,設有二整數 存在，使得,則由§2（2）式及§2定理2知,把上式代入即得,(3),令,因為,故,因此,是整數.由,的定義知：,,故（2）對,也成立,由數學歸納法定理得證.,由此得,證明： 令,的第,個漸近分數是,定理 2 若,是一個非平方的正整數，,即定理1中,定義，則二次不定方程,有正整數,解,并且,因,是無理數，故得,以,

3、乘第一式減去以,乘第二式即得,有一正整數解,且由漸近分數的性質知,推論 若,即定理1中所定義的，則（4）有無窮多個正整數解，即,（4）,,故得,是無理數，故,.由定理2及,即得:,證明：由定理2知（4）有一整數解，即,又由假設,及定理1知,定理 3 若d 是一個非平方的正整數，則不定方程 （pell方程）,（5）,有正整數解.,(6),證明： 由定理2的推論，有一正整數,存在（只需,使得不定方程,有無窮多個正

4、整數解，則在這無窮多組正整數解中一定有,兩組不同的正整數解,使得下列關系成立,,故,（7）,由（6）式即得,故若令,則,為非負,整數且由（7）知,是（5）的一解.,顯然,否則,這與,矛盾；,并且,否則,由定理 2 知,，因此,但,，故,這與,的定,是（5）的一組正整數解.,定理 4 若,是（5）的一組正整數解，且,是形如,的最小數，則（5）,式的一切正整數解,可由下式確定：,（8）,證明：（Ⅰ）由（8）式確定的,顯然是正整數，

5、,并且,,成立.故,（9）,故由（8）式確定的,是（5）的正整數解.,（Ⅱ）假定（5）有一組正整數解,；但對任何,正整數,來說,因此有一整數,存在使得不等式,其中,仿（1）,可證得,（10）,由（9），（10）即得,（11）,由（9），（11）即得,，即,又由（9）,（11）即得,故,練習,故由（10）知,是（5）的一組正整數解;由（9）知,的定義矛盾，因此定理得證.,1.,即定理 4中所定義的，試證明（5）式的一切整數,解,可由下式確