初等數(shù)論單元復習

1、單元小結(jié),,第一章 整數(shù)的整除性,,定義1.1 設(shè) a，b ∈Z ，b≠0，如果存在 q ∈Z ，使得等式 a＝bq成立．我們就說，a能被b整除或b整除a ，記作b | a．如果整數(shù) q 不存在( 即對任何整數(shù) q，恒有bq ≠a ),那么就說a不能被 b 整除 (或者說b不能整除a)，記作 b ｜a。,1.1整除1、整除的概念：,如果整數(shù) a 能被整數(shù)b (b ≠0) 整除(即b | a)，那么 a就叫做 b 的倍數(shù)，b就

2、叫做a的約數(shù).,2、當然約數(shù)與真約數(shù):一般地，在整數(shù)a的約數(shù)中± l與±a叫做整數(shù)a的當然約數(shù)；除±1與±a之外，a的其它約數(shù)叫做a的真約數(shù)(或非當然約數(shù))。,,,(5) x, y為任意整數(shù)，若 a ? b , a ?c , 則a ?(bx+cy)；,(6) 若 m≠0, 則a ? b 的充分必要條件是ma ?m b,(7) 若a ? b , b ? a，則 a =± b,(8) 若

3、a ，b ∈N+, a ? b , 則a ≤ b,(9) 若a是b的真約數(shù)，則1＜ ? a ?＜ ? b ?,4、整除的基本性質(zhì):,4、帶余除法,設(shè)a, b是兩個整數(shù)，b ≠ 0，則一定有并且只有兩個整數(shù) q , r 使得 a= bq + r,0≤r<︱b︱ 成立，而且q與r是唯一的．求兩個數(shù)的不完全商q和余數(shù)的運算叫做帶余除法運算(或有余數(shù)除法運算)．,1、奇數(shù)與偶數(shù)的定義: 根據(jù)整除概念我們把能被2整除的整

4、數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的整數(shù)叫做奇數(shù)，它們的一般表示式為： 偶數(shù)N=2n(n為整數(shù))，奇數(shù)N＝2n+l(n為整數(shù))．,二、 奇數(shù)與偶數(shù),2、奇數(shù)與偶數(shù)具有下面性質(zhì)：,性質(zhì)1 (關(guān)于偶數(shù)) (1) 任意個偶數(shù)的和(或差)是偶數(shù)； (2) 任意一個整數(shù)與偶數(shù)的積是偶數(shù)，　　特別地，n 個偶數(shù)的積是 2n 的倍數(shù)（ n∈N+）.,性質(zhì)2 (關(guān)于奇數(shù)),(1) 雙數(shù)個奇數(shù)的和是偶數(shù)； (2) 單數(shù)個奇

5、數(shù)的和是奇數(shù)； (3) 任意個奇數(shù)的積還是奇數(shù)。性質(zhì)3 奇數(shù)與偶數(shù)的和是奇數(shù).性質(zhì)4 任一奇數(shù)與任一偶數(shù)不相等.,三、數(shù)的整除特征一個數(shù)被 2 , 5 , 4 , 25 , 8,125,3 , 9 , 7 , 11 , 13 等數(shù)整除的特征．,(1) 能被 2 (或 5)整除的數(shù)的特征是：這個數(shù)末位數(shù)能被 2 或 5 整除； (2) 能被 4 (或 25 )整除的數(shù)的特征是這個數(shù)的末兩位上的數(shù)字所組成的數(shù)能被 4

6、 或 25 整除； (3) 能被 8 (或 125 )整除的數(shù)的特征是這個數(shù)的末三位上的數(shù)字所組成的數(shù)能被 8 或 125 整除．,,,(4)能被9(或3)整除的數(shù)的特征是這個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9(或3)整除.(5)能被11整除的數(shù)的特征是這個數(shù)的偶數(shù)位上的數(shù)字之和與奇數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除.(6)被7,11,13整除的數(shù)特征是: 將這個數(shù)從個位起從右往左每三位分成一節(jié), 奇數(shù)節(jié)的數(shù)之和與偶數(shù)節(jié)的數(shù)之和,

7、 所得的差能被 7, 11, 13整除.練習1、整數(shù)637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 2、整數(shù)53340□能被11整除, □內(nèi)是_________,,1.2最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)1. 最大公約數(shù)：⑴一般地，n個整數(shù)的公有的約數(shù)，叫做這n個數(shù)的公約數(shù)，n個數(shù)的公約數(shù)中最大的一個數(shù)，叫做這n個數(shù)的最大公約數(shù)． 整數(shù)a1 ,a2, …,an(n≥2，n∈N)的最大公約數(shù)用符號(

8、a1 ,a2 , …,an)來表示． ⑵ 如果兩個整數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)，或者說，這兩個數(shù)互質(zhì)．,（3）n 個數(shù)互質(zhì),若(a1 ，a2 ， …，an) =1, 那么就叫做這 n 個數(shù)互質(zhì)． 例如，(2，4，9)＝1，我們就說2，4，9這三個數(shù)互質(zhì)．,如果 a1 ，a2 ， …，an ( n≥2) 中的任意兩個數(shù) ai, aj ( i ≠ j, I ＝ 1, 2, … , n；j ＝1, 2, …, n)

9、互質(zhì)，即 (ai, aj ) ＝1，那么就叫做這 n 個整數(shù)兩兩互質(zhì)．,（4）n 個數(shù)兩兩互質(zhì),,設(shè)a，b為兩個任意自然數(shù),a>b，如果 a＝bq1+r1 (0<r1<b)， b＝r1q2+r2 (0<r2<r1)， r1＝r2q3+r3 (0<r3<r2)， … rn-3＝rn-2

10、qn-1+rn-1 (0<rn-1<rn-2)， rn-2＝rn-1qn+rn (0<rn<rn-1)， rn-1＝rnqn+1,　那么 (a，b)＝rn．,輾轉(zhuǎn)相除法,,例：試求377與319的最大公約數(shù)．,解 由377除以319，得 377＝319 ×1＋58，由319除以58，得 319＝58 × 5 ＋29，由58除以29，得

11、 58＝29 × 2． 由定理1．9的推論可知，最后一個不為零的余數(shù)就是377與319的最大公約數(shù)，即(377，319)＝29．,,⑷性質(zhì)：定理1.3.3推論1(裴蜀恒等式) 如果兩個數(shù)a，b的最大公約數(shù)是d，那么存在兩個整數(shù)x與y，使得等式ax+by＝d成立．(可以推廣到n個數(shù)的情況)推論2：兩個數(shù)a，b互質(zhì)的必要且充分條件是存在整數(shù)x與y,使ax＋by＝1成立。,推論1的推廣,設(shè) a1 ,a2 ,

12、…, an ∈N+ (n≥2) ，則一定存在整數(shù) s1, s2, …, sn，使 a1s1＋a2s2 ＋ … ＋ ansn＝ (a1 ,a2 , …,an ) .,,2. 最小公倍數(shù) ⑴意義：n個整數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這n個數(shù)的公倍數(shù)，n個整數(shù)的非零公倍數(shù)中最小的正數(shù)叫做這n個數(shù)的最小公倍數(shù)．自然數(shù)a1, a2 , …,an (n≥2，n∈N)的最小公倍數(shù)，用符號 [a1, a2 , …,an ]表示．⑵ 性質(zhì)：１）

13、n 個數(shù)的最小公倍數(shù)能整除它們的任何一個公倍數(shù)，就是如果 d=[a1,a2 , …,an ]，D是a1, a2 , …,an的任意一個公倍數(shù)，那么 d |D．,2)兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積等于這兩個數(shù)的積，就是(a，b) × [a，b] =a b 推論 若(a,b)=1，則[a,b]=ab,定理1.3.8與定理1.3.9 可類比定理1.3.6與定理1.3.7 得到。,,定理1. 3. 6

14、(a1，a2，…，ak) = d的充要條件是,最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的其他性質(zhì),多個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù),定理1.3.10,定理1.3.11,由此表明，多個數(shù)的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)可以由求兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)逐步求出．,定理1.3.13 若a | bc, 且 (a, b) =1, 則 a | c.,定理1.3.14 若 (a, b)=1, 則 (a, bc) = (a, c).,我喜歡數(shù)學,互質(zhì)的性質(zhì),,定理1.3.

15、15 若a | c, b | c, (a, b)=1, 則 ab | c.,,1.3質(zhì)數(shù)與合數(shù) 算術(shù)基本定理1. (1) 質(zhì)數(shù)(素數(shù))：一個大于1的自然數(shù)，如果只能被1和它本身整除(即只有1和它本身兩個正約數(shù))，這個自然數(shù)就叫做質(zhì)數(shù)(或素數(shù))。(2) 合數(shù)；一個大于1的自然數(shù)，除了能被1和它本身整除外，還能被其它的正整數(shù)整除，這個自然數(shù)就叫做合數(shù)．(3) 自然數(shù)1，即不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。2. 質(zhì)數(shù)的判定：１）

16、查表法；２)試除法．,試除法依據(jù),,定理1．23 如果a是合數(shù)，p是a的最小約數(shù)，那么 p≤,推論 如果一個大于1的數(shù)a不能被不大于 　　　　的任一質(zhì)數(shù)整除，那么a是質(zhì)數(shù)．,,例：判斷667與991是質(zhì)數(shù)還是合數(shù),解 由于　　　　　　　　，因此用2～25之間的質(zhì)數(shù)去試除，試除結(jié)果有23｜667，所以667是合數(shù)．由于　　　　　　　，因此用2～31之間的質(zhì)數(shù)去試除，由試除結(jié)果可知2～31之間的質(zhì)數(shù)都不能整除991，所

17、以991是質(zhì)數(shù)；,,3. 相關(guān)定理1）一個質(zhì)數(shù)如果不能整除一個自然數(shù)，那么它就和這個自然數(shù)互質(zhì)。2）大于1的自然數(shù)，至少有一個約數(shù)是質(zhì)數(shù)。3）質(zhì)數(shù)的個數(shù)無限。４）算術(shù)基本定理：把一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，如果不考慮質(zhì)因數(shù)的次序，分解的結(jié)果是唯一的．５）質(zhì)數(shù)與互質(zhì)數(shù)是兩個不同的概念,整數(shù)N的標準分解式,根據(jù)算術(shù)基本定理，如果把一個整數(shù)N的質(zhì)因數(shù)分解式中的質(zhì)因數(shù)按照從小到大的順序排列，并且相同的質(zhì)數(shù)連乘都用冪的形式表示，那么整數(shù)N的質(zhì)因

18、數(shù)分解的結(jié)果可以寫成下面形式 這里p1<p2<p3<…<pn，且p1，p2，p3，…，pn都是質(zhì)數(shù)，α1, α2, …, αn是自然數(shù)，其中αi表示質(zhì)數(shù)pi在N中出現(xiàn)的重數(shù)．通常把上面分解式叫做整數(shù)N的標準分解式．,定理1.4.3 和 推論,我喜歡數(shù)學,定理1.4.3 設(shè) ，則 d 是 a 的正約數(shù)的充要條件是,自然數(shù)的所有正約數(shù)的個數(shù)及所有正約數(shù)的和與積,我喜歡數(shù)學

19、,,定義 1.7 τ( a )表示正整數(shù) a 的所有正約數(shù)的個數(shù) (也稱除數(shù)函數(shù) ) 如 τ( 2 ) = 2 , τ( 4 ) = 3 ，等等． σ( a )表示正整數(shù) a 的所有正約數(shù)的和，如 σ(2) = 3, σ( 4 ) = 7，等等。 σ1( a)表示正整數(shù) a 的所有正約數(shù)的乘積．如σ1( 4 ) = 8 , σ1( 10 ) = 100，等等．,定理1. 26 如果自然數(shù)a的標準分解式為

20、那么 (1)τ(a) ＝ (α1 +1)(α2 +1)…(αn +1) = ∏(αi+1)． (2)σ(a) ＝ (1+ p1+ p12+…+ p1 α1 ) (1+ p2+ p22+… + p2α2) …(1+ pn+ pn2+…+ pn αn ),(3)σ1(a) ＝,,例1、 已知兩個數(shù)的最大公約數(shù)為8，最小公倍數(shù)為128，求這兩個數(shù)．,解 設(shè)這兩個數(shù)為a，b,則由定理1．10的推論2可知存在整數(shù)

21、，使a＝8t1，b=8t2，且(t1，t2)=1． 因為ab＝(a，b)X [a，b]，所以得 64 t1t2 =8 X128， t1t2＝16 由于(t1,t2)＝1，所以　　　　 t1=1，t2＝16或t1=16，t2＝1．因此所求的兩數(shù)為 a=8，b＝128(或a＝128，b=8)．,例2、用分解質(zhì)因數(shù)法求數(shù)1200與1134的最大公約數(shù)最小公倍數(shù)．,解 因為1200=24×3

22、15;52，1134=2×34×7． 所以 (1200，1134)＝2 × 3＝6． [1200，1134]＝ 24× 34×52× 7＝226800．說明 通過分解質(zhì)因數(shù)求幾個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的方法是這樣的: 先將所給的各個數(shù)分別進行質(zhì)因數(shù)分解．把每個公有的質(zhì)因數(shù)，取指數(shù)最小的冪相乘，所得的結(jié)果就是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)，如果把各個

23、公有的質(zhì)因數(shù)的最高次冪以及各個數(shù)獨有的質(zhì)因數(shù)的冪相乘，所得的結(jié)果就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)．,例3、 設(shè)a1，a2，…，a11是整數(shù)，b1, b2, ， … ,b11是它們的一個排列，求證乘積(a1-b1)(a2-b2)…(a11 –b11)是偶數(shù)。,證明 設(shè)ci＝ai–bi(i=1,2,…,11)，則ci中至少有偶數(shù)，因為若ci都是奇數(shù)，則它們的和為奇數(shù)，,又因為,c1+c2+…+c11＝(a1－b1)+(a2－b2)+…+(a1