B型排列和錯排上的組合性質(zhì)研究.pdf

1、集合的排列是代數(shù)和計數(shù)組合學上最豐富的研究對象之一。由于排列統(tǒng)計量的信息能幫助我們更好地理解排列的結構，所以對排列上統(tǒng)計量的研究已經(jīng)持續(xù)了很長一段時間，但依舊是當今組合學一個十分活躍的課題。1993年，代數(shù)組合學家Reiner最先研究B型排列上的統(tǒng)計量分布。此后，B型排列以及更一般的Coxeter群上統(tǒng)計量的研究引起了廣泛關注。
　　 本文的主要工作是研究B型排列、錯排和對合上統(tǒng)計量的性質(zhì)，包括下降數(shù)、符號下降數(shù)、勝位、符號勝位

2、、圈、穩(wěn)定點和交錯路段等。在第一章中，我們回顧了A型和B型排列上一些統(tǒng)計量的研究發(fā)展狀況，同時介紹了本文所需的定義、記號和定理。
　　 在第二章中，基于合適的B型勝位，我們定義了B型錯排多項式。通過建立B型錯排多項式和B型歐拉多項式之間的聯(lián)系，我們得到了B型錯排多項式的一些基本性質(zhì)，如生成函數(shù)公式、Sturm序列性質(zhì)和近似正態(tài)分布性。雖然錯排多項式系數(shù)不具有對稱性，但我們證明其滿足螺旋性質(zhì)，也就是說其系數(shù)幾乎是對稱的。此外，對于

3、B型排列和錯排上的特殊勝位值，我們分別得到了關于B型勝位和Euler數(shù)、Springer數(shù)之間的關系式。
　　 在第三章中，我們定義了一個關于B型符號勝位在B型排列上的計數(shù)多項式，它涉及的統(tǒng)計量是B型勝位，穩(wěn)定點和圈。該多項式包含了一些著名的多項式作為其特例，如B型歐拉多項式和B型錯排多項式。利用組合分析，我們得到了該多項式的遞推關系，并以此得到它的生成函數(shù)公式。通過構造對合，我們給出了B型符號勝位在B型排列和B型錯排上的遞推關

4、系和閉公式。
　　 在第四章中，我們提出了B型排列上交錯路段的概念，記R(n，k)為在B型排列Bn中第一位上升且恰好具有k個交錯路段的排列個數(shù)。我們得到R（n，k)的遞推關系，并由此計算出較小的后時R（n，k）的具體公式。我們研究系數(shù)R（n，k）的一些基本性質(zhì)，包括對數(shù)凹性，近似正態(tài)分布性和其路段多項式的實根性。更進一步，我們討論了對于固定七的R（n，k）的生成函數(shù)，以此給出了R（n，k）的一個確切表達式。
　　 在第五