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1、12“隱形圓”問題江蘇省通州高級中學一、問題概述江蘇省高考考試說明中圓的方程是C級知識點,每年都考,但有些時候,在條件中沒有直接給出圓方面的信息,而是隱藏在題目中的,要通過分析和轉(zhuǎn)化,發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程),從而最終可以利用圓的知識來求解,我們稱這類問題為“隱形圓”問題二、求解策略如何發(fā)現(xiàn)隱形圓(或圓的方程)是關鍵,常見的有以下策略策略一利用圓的定義(到定點的距離等于定長的點的軌跡)確定隱形圓例1(1)如果圓(x-2a)2+(y-a-3)
2、2=4上總存在兩個點到原點的距離為1,則實數(shù)a的取值范圍是?6?a?05略解:到原點的距離為1的點的軌跡是以原點為圓心的單位圓,轉(zhuǎn)化到此單位圓與已知圓相交求解(2)(2016年南京二模)已知圓O:x2+y2=1,圓M:(x-a)2+(y-a+4)2=1若圓M上存在點P,過點P作圓O的兩條切線,切點為A,B,使得∠APB=60,則a的取值范圍為解:由題意得OP?2,所以P在以O為圓心2為半徑的圓上,即此圓與圓M有公共點,因此有2?1?OM
3、?2?1?1≤a2?(a?4)2≤9?2?2≤a≤2??222(3)(2017年蘇北四市一模)已知A、B是圓C:x2?y2?1上的動點,AB=3,P是圓C:(x?3)2?(y?4)2?1上的動點,則PA?PB的取值范圍是[713]1略解:取AB的中點M,則C1M=21,所以M在以C1圓心,半徑為2的圓上,且PA?PB?2PM,轉(zhuǎn)化為兩圓上動點的距離的最值(4)若對任意??R,直線l:xcos?+ysin?=2sin(?+?)+4與圓C:
4、(x-m)2+(y-3m)26=1均無公共點,則實數(shù)m的取值范圍是(?15)22略解:直線l的方程為:(x1)cos?+(y3)sin?=4,M(13)到l距離為4,所以l是以M為圓心半徑為4的定圓的切線系,轉(zhuǎn)化為圓M與圓C內(nèi)含0策略二動點P對兩定點A、B張角是900(kPA?kPB??1,或PA?PB?0)確定隱形圓例3(1)(2014年北京卷)已知圓C:(x?3)2?(y?4)2?1和兩點A(?m0),B(m0),若圓上存在點P,使
5、得?APB?90,則m的取值范圍是?46?略解:由已知以AB為直徑的圓與圓C有公共點(2)(海安2016屆高三上期末)在平面直角坐標系xOy中,已知點P(?1,0),Q(2,1),直線l:ax?by?c?0其中實數(shù)a,b,c成等差數(shù)列,若點P在直線l上的射影為H,則線段QH的取值范圍是[232]解:由題意,圓心C(1,-2)在直線ax+by+c=0上,可得a-2b+c=0,即c=2b-a直線l:(2a-b)x+(2b-c)y+(2c-a
6、)=0,即a(2x+y-3)+b(4-x)=0,?2x?y?3?0由??4?x?0,可得x=4,y=-5,即直線過定點M(4,-5),由題意,H在以PM為直徑的圓上,圓心為A(5,2),方程為(x-5)2+(y-2)2=50,∵|CA|=42,∴CH最小為52-42=2,CH最大為42+52=92,∴線段CH長度的取值范圍是[2,92](3)(通州區(qū)2017屆高三下開學初檢測)設m?R,直線l1:x?my?0與直線l2:mx?y?2m?
7、4?0交于點P(x0y0),則x02?y2?2x0的取值范圍是[12?41012?410]略解:l1過定點O(0,0),l2過定點A(2,4),則P在以OA為直徑的圓上(除去一點),變式(2017年南京二模)在平面直角坐標系xOy中,直線l1:kx-y+2=0與直線l2:x+ky-2=0相交于點P,則當實數(shù)k變化時,點P到直線x-y-4=0的距離的最大值為32策略三兩定點A、B,動點P滿足PA?PB??確定隱形圓例4(1)(2017年南
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