ㄧ個(gè)數(shù)學(xué)解題練習(xí)系統(tǒng)之設(shè)計(jì)理念-數(shù)學(xué)教師知識(shí)庫(kù)

1、ㄧ個(gè)數(shù)學(xué)解題練習(xí)系統(tǒng)之設(shè)計(jì)理念,科學(xué)教育月刊,2003第十一卷第一期,林美娟 莊志洋 孫鵬宗 許金葉 黃瀧輝 盧思靜 黃凱澤,報(bào)告：數(shù)資研一 鄭則謙,大綱,摘要緒論文獻(xiàn)探討系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法與實(shí)作重點(diǎn)MathCAL的數(shù)值運(yùn)算核心派特里網(wǎng)路理論與MathCAL解題核心系統(tǒng)資料庫(kù)設(shè)計(jì)解題診斷矯正機(jī)制,大綱,系統(tǒng)架構(gòu)與主要功能系統(tǒng)架構(gòu)系統(tǒng)操作流程題目編輯器結(jié)論與未來(lái)研究方向,摘要,本文描述的是一個(gè)網(wǎng)路

2、化數(shù)學(xué)解題練習(xí)系統(tǒng)之雛形及設(shè)計(jì)理念使用派特里網(wǎng)路(Petri Nets)紀(jì)錄數(shù)學(xué)解題知識(shí)使用者要求協(xié)助時(shí)，系統(tǒng)可將其解題過(guò)程與所儲(chǔ)存之專家解提之事加以比對(duì)，提供適當(dāng)引導(dǎo)提供網(wǎng)路同步與非同步溝通功能庫(kù)存題目與各題目解法均具有擴(kuò)充性,緒論,培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題能力是近二十年來(lái)美國(guó)數(shù)學(xué)教育所倡議的重點(diǎn)學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評(píng)鑑標(biāo)準(zhǔn)(NCTM,1989)學(xué)校數(shù)學(xué)課程之原則與標(biāo)準(zhǔn)(NCTM,2000)國(guó)民中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(教育部,2002a)問(wèn)

3、題解決不只侷限於練習(xí)題或測(cè)驗(yàn)卷，而是泛指解決日常生活中的各種問(wèn)題,緒論,電腦輔助教學(xué)解題系統(tǒng)應(yīng)具有以下特色：分別記錄專家與學(xué)習(xí)者之解題步驟，並據(jù)以分析學(xué)習(xí)者之解題狀況強(qiáng)調(diào)解題概念的運(yùn)用，而非繁瑣的運(yùn)算擁有足夠的運(yùn)算能力提供新增知識(shí)庫(kù)與題庫(kù)的機(jī)制透過(guò)網(wǎng)路溝通功能提供學(xué)習(xí)者之間合作的機(jī)制模擬紙筆解題的方式，完整呈現(xiàn)解題過(guò)程儲(chǔ)存學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)歷程,緒論,MathCAL 發(fā)展過(guò)程：,文獻(xiàn)探討,數(shù)學(xué)家Polya指出，數(shù)學(xué)解題歷程包括了

4、解問(wèn)題、擬定解題計(jì)畫(huà)、執(zhí)行計(jì)畫(huà)、回顧解題過(guò)程中可能產(chǎn)生的問(wèn)題：無(wú)法深入了解題意以分析題目已知條件和所要求之答案未能仔細(xì)閱讀題目?jī)?nèi)容不知如何分析題目之已知條件和所欲求取結(jié)果之間的關(guān)連解題過(guò)程中計(jì)算錯(cuò)誤習(xí)於聆聽(tīng)老師講解解題過(guò)程，缺乏主動(dòng)參予解題的歷程練習(xí)解題過(guò)程中缺乏即時(shí)解惑的回饋以致半途而廢,文獻(xiàn)探討,NCTM 2000 中，將「科技」(technology)、「平等」(equity)、「課程」(curriculum)、「教

5、」(teaching)、「學(xué)」(learning)、「評(píng)量」(assessment)、並列為數(shù)學(xué)教育的六大原則其中「科技」所陳述的是： 科技的運(yùn)用對(duì)於數(shù)學(xué)教育是不可或缺的，它可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)成效,文獻(xiàn)探討,以科技工具輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的好處：可將抽象數(shù)學(xué)概念視覺(jué)化，針對(duì)螢?zāi)簧暇呦蠡奈锛M(jìn)行數(shù)學(xué)概念的觀察與討論藉由任意操弄數(shù)據(jù)或圖形觀察其立即的變化複雜運(yùn)算由計(jì)算工具取代，使學(xué)生將時(shí)間與精力轉(zhuǎn)而做較高層次概念或模式上的思考科

6、技工具所具備的運(yùn)算能力可進(jìn)行大量資料的收集、分析、與呈現(xiàn)網(wǎng)路豐富資源得以接觸廣泛而多樣化的題目可提供個(gè)別化、適性化的教學(xué)，因而兼顧不同性向或不同學(xué)習(xí)成就的學(xué)生,文獻(xiàn)探討,相關(guān)研究：依照教學(xué)理論、知識(shí)範(fàn)圍、使用對(duì)象、學(xué)習(xí)目標(biāo)、軟體設(shè)計(jì)方法而分類Kieran(1996)利用電腦軟體學(xué)習(xí)代數(shù)解題Abidin and Hartlet (1998)，F(xiàn)unctionLab繪製代數(shù)文字題的解題想法侯鳳秋、陳龍川(1999) ，適性CAI

7、Nakano Murakami等人(2000)，ILE，練習(xí)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單加減法應(yīng)用的文字題。Chen , Homg 和 Yang (2000)，國(guó)中幾何網(wǎng)路學(xué)習(xí)環(huán)境,文獻(xiàn)探討,MathCAL根據(jù)數(shù)學(xué)解題所具有之特性再系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了三種回饋方式：請(qǐng)求幫忙：允許學(xué)習(xí)者自行操作系統(tǒng)於遭遇困難時(shí)自主性的向系統(tǒng)要求協(xié)助賦予工具：記錄每一個(gè)解題步驟，並將其歷程分別以文字和圖形呈現(xiàn)在螢?zāi)簧瞎┙忸}者回顧其解題過(guò)程模仿專家：當(dāng)學(xué)習(xí)者陷入解題僵局時(shí)，可

8、將系統(tǒng)知識(shí)庫(kù)中所儲(chǔ)存之專家解法提供給學(xué)習(xí)者觀察與學(xué)習(xí),系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法與實(shí)作重點(diǎn),MathCAL 的數(shù)值運(yùn)算核心數(shù)可以是單一的值(1、2、3)，亦可由其他數(shù)值以+、-、×、÷連接而成 ( 、 )數(shù)系中所有的數(shù)值皆可拆解成整數(shù)配合四則運(yùn)算式所表示的數(shù)值,系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法與實(shí)作重點(diǎn),以二元數(shù)(Binary Tree)串接的方式來(lái)表示一個(gè)數(shù)值,以及,Ex：,系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法與實(shí)作重點(diǎn),處理任

9、一數(shù)值前：將數(shù)值建成一棵二元數(shù)，而二元數(shù)的建立必須依照數(shù)值中所含運(yùn)算子的運(yùn)算優(yōu)先順序以後置(postorder)的方式表示在記憶體內(nèi)部以鏈結(jié)串列(Linked Lists)來(lái)表示二元數(shù)的資料結(jié)構(gòu)，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)(node)所表示的可能是整數(shù)也可能是運(yùn)算子,系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法與實(shí)作重點(diǎn),數(shù)值之間可運(yùn)算類型可分為以下幾類：整數(shù)對(duì)整數(shù)的加減乘法整數(shù)對(duì)整數(shù)的除法整數(shù)對(duì)有理數(shù)的四則運(yùn)算有理數(shù)對(duì)整數(shù)的四則運(yùn)算有理數(shù)對(duì)有理數(shù)的四則運(yùn)算無(wú)理數(shù)

10、對(duì)無(wú)理數(shù)變數(shù)對(duì)變數(shù)無(wú)法運(yùn)算類型：整數(shù)和無(wú)理數(shù)及變數(shù)、有理數(shù)和無(wú)理數(shù)及變數(shù)、無(wú)理數(shù)和變數(shù),系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法與實(shí)作重點(diǎn),,MathCAL系統(tǒng)中，所有等式亦是以二元樹(shù)方式儲(chǔ)存。解一元一次方程式時(shí)，是運(yùn)用「移項(xiàng)法則」、「同解定理」將方程式化成最簡(jiǎn)方程 ，,最後再將變,數(shù)的係數(shù)運(yùn)用移項(xiàng)法則將等式化為 ，即可求出其解。,系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法與實(shí)作重點(diǎn),派特里網(wǎng)路理論與 MathCAL 解題核心：派特里網(wǎng)路(Pe

11、tri Nets)是一種具有圖形化性質(zhì)的正規(guī)語(yǔ)言，適用於塑模具有同時(shí)性特質(zhì)的系統(tǒng)。,系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法與實(shí)作重點(diǎn),雙重有向多重圖 (Bipartite Directed Graph),系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法與實(shí)作重點(diǎn),Step1：AB是直徑，C為切點(diǎn)。利用半圓內(nèi)圓周角必為直角，因此三角形CAB為直角三角形。Step2：角DCB = θ，CD為切線，利用「弦切角度數(shù)等於其夾弧所對(duì)圓周角度數(shù)」得到直角三角形CAB中角 A = θ。Step3：AB=26

12、，且AB為斜邊，又知Cosθ=12/13，可得AC=24。Step4：因?yàn)镃osθ=12/13，可利用三角函數(shù)平方和關(guān)係得出Sinθ=5/13Step5：帶入直角三角形面積公式1/2*AB*AC*Sinθ得面積為120。,24,,系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法與實(shí)作重點(diǎn),系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法與實(shí)作重點(diǎn),系統(tǒng)資料庫(kù)設(shè)計(jì)：資料庫(kù)的使用主要目的為知識(shí)共享、儲(chǔ)存、擷取、分析可利用結(jié)構(gòu)化查詢語(yǔ)言(SQL)撰寫查詢指令以擷取資料庫(kù)中的資料。,,系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法與實(shí)作重點(diǎn)

13、,解題診斷矯正機(jī)制：學(xué)習(xí)者解題過(guò)程診斷解題過(guò)程引導(dǎo)學(xué)習(xí)者解題函式認(rèn)知診斷精熟學(xué)習(xí)引導(dǎo),系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法與實(shí)作重點(diǎn),學(xué)習(xí)者解題過(guò)程診斷針對(duì)各種情況推斷學(xué)習(xí)者陷入僵局的可能原因設(shè)法提醒學(xué)習(xí)者找出「題目的已知條件」、「題目的未知數(shù)」、「欲求取的答案」,系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法與實(shí)作重點(diǎn),解題過(guò)程引導(dǎo)將系統(tǒng)所儲(chǔ)存之專家解題知識(shí)與學(xué)習(xí)者的解題資料做比對(duì)，期能據(jù)以提供適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)解題過(guò)程中，系統(tǒng)首須確定何種解題方法最適合用來(lái)引導(dǎo)學(xué)習(xí)者主要考量：是否

14、觸發(fā)某種正確解法的關(guān)鍵性解題函式次要考量：何者所包含的使用者已觸發(fā)之解題函式數(shù)目最多、何者顯示解題者已完成最高比率之解題步驟、何者距離完成解題尚需觸發(fā)的函式數(shù)目最少,系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法與實(shí)作重點(diǎn),學(xué)習(xí)者解題函式認(rèn)知診斷學(xué)習(xí)者一時(shí)不知下一步該朝哪個(gè)方向解題學(xué)習(xí)者雖然熟悉某個(gè)該觸發(fā)而未觸發(fā)的函式，卻不知可將其運(yùn)用於此題中學(xué)習(xí)者並不了解某個(gè)該觸發(fā)而未觸發(fā)的解題函式,系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法與實(shí)作重點(diǎn),精熟學(xué)習(xí)引導(dǎo)提供相關(guān)函式觀念的文字與圖形，並由系統(tǒng)

15、資料庫(kù)中取出適當(dāng)?shù)念}目供學(xué)習(xí)者進(jìn)行精熟練習(xí)，以幫助學(xué)習(xí)者熟悉該函式觀念，並進(jìn)一步將其用於目前的解題步驟中。取出精熟練習(xí)題的原則該題目中之解題步驟必須包含學(xué)習(xí)者所欲精熟練習(xí)之函式觀念該題之解題步驟沒(méi)有包括學(xué)習(xí)者有認(rèn)知困難的其他函式觀念,系統(tǒng)架構(gòu)與主要功能,系統(tǒng)架構(gòu),系統(tǒng)架構(gòu)與主要功能,系統(tǒng)操作流程,系統(tǒng)架構(gòu)與主要功能,題目編輯器,結(jié)論與未來(lái)研究方向,本文中提出以派特里網(wǎng)路為理論基礎(chǔ)所設(shè)計(jì)的一個(gè)數(shù)學(xué)解題練習(xí)系統(tǒng)的雛形知識(shí)領(lǐng)域仍需擴(kuò)充