數(shù)學(xué)臆測的思維模式-數(shù)學(xué)教師知識(shí)庫

1、數(shù)學(xué)臆測的思維模式,作者：陳英娥 國立臺(tái)灣師範(fàn)大學(xué) 科學(xué)教育研究所博士班 林福來 國立臺(tái)灣師範(fàn)大學(xué) 數(shù)學(xué)系出處：科學(xué)教育學(xué)刊1998,第六卷第二期,192-218,指導(dǎo)教授：李源順教授報(bào)告者：阮麗蓉,陳英娥(1998)。數(shù)學(xué)臆測的思維模式?？茖W(xué)教育學(xué)刊，6(2)，192-218,摘要,從個(gè)體思維的角度考量數(shù)學(xué)臆測。研究目的：了解數(shù)學(xué)臆測的思維歷程和特徵，並透過數(shù)學(xué)家臆測的思維模式檢視學(xué)生臆測的模式。研究方法：面談法。

2、研究對象：五位大一升大二的學(xué)生、 五位高二生、兩位數(shù)學(xué)家研究結(jié)果：學(xué)生和數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)臆測思維模式相容 。研究發(fā)展：表徵猜測問題的難度 評量學(xué)生臆測思維的品質(zhì),研究理念,猜測是探索數(shù)學(xué)過程中的必經(jīng)之路數(shù)學(xué)臆測的思維歷程,猜測是探索數(shù)學(xué)過程中的必經(jīng)之路,形式化數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)發(fā)展到一階段後的產(chǎn)物，他是從非形式化數(shù)學(xué)發(fā)展而來。(Lakatos,1978)在數(shù)學(xué)

3、發(fā)展過程中，反駁啟動(dòng)對原猜想改進(jìn)的動(dòng)因，使得原猜想被不斷地改進(jìn)，在內(nèi)容上會(huì)有變化，使其在發(fā)現(xiàn)過程中經(jīng)歷了一個(gè)成長過程。 (Lakatos,1976),研究理念,數(shù)學(xué)臆測的思維歷程,Lakatos數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的探索式思維模式,→箭頭所指的方向表示探索式思維中的思路。,最外圍的思路：猜測經(jīng)證明、反駁、重構(gòu)之後，經(jīng)全局反例加以檢驗(yàn)，最後導(dǎo)致新的猜測。中間一個(gè)層次的思路：猜測經(jīng)證明、反駁、重構(gòu)之後，經(jīng)局部反例加以檢驗(yàn)，對原有證明進(jìn)行修正，使之精確

4、化。最裡面層次的思路：把猜測做初步試驗(yàn)，然後直接加以反駁，進(jìn)行重構(gòu)和局部反例檢驗(yàn)，最後進(jìn)行證明。,證明,猜測,初步的試驗(yàn),反駁,重構(gòu),局部反例檢驗(yàn)的結(jié)果,全部反例檢驗(yàn)的結(jié)果,,證明與反駁的功能在於改進(jìn)猜測，亦是獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的必經(jīng)之路。,研究理念,數(shù)學(xué)臆測的思維歷程,Mason問題解決模式,Mason問題解決模式,解題過程分為進(jìn)入、進(jìn)擊、回顧三階段。強(qiáng)調(diào)三個(gè)階段對於特殊化與一般化這兩個(gè)基本過程的依賴性。Mason把數(shù)學(xué)思考?xì)w結(jié)為：特

5、殊化、一般化、臆測、確認(rèn)。,研究理念,數(shù)學(xué)臆測的思維歷程,Mason臆測循環(huán)過程,臆測是解題過程中的一環(huán)。臆測的過程分成四個(gè)階段：使猜想清晰、檢查猜想、不要相信猜想、獲得一種感覺。,Mason臆測循環(huán)過程,研究理念,研究目的與研究問題,研究目的：探究學(xué)生數(shù)學(xué)臆測的思維歷程，以作為後續(xù)研究發(fā)展數(shù)學(xué)猜測活動(dòng)的參考和依據(jù)。研究問題：1.學(xué)生數(shù)學(xué)臆測的思維歷程是否存在一個(gè)共通的模式？2.學(xué)生數(shù)學(xué)臆測的思維歷程有什麼特徵？,研究目的與研

6、究問題,猜測(conjecture)：當(dāng)個(gè)體面對問題時(shí)，提出一個(gè)或數(shù)個(gè)可能為真的敘述，在提出之時(shí)所提出的敘述未確定是否為真，這個(gè)行動(dòng)稱為猜測。數(shù)學(xué)臆測(conjecting)：指個(gè)體面對數(shù)學(xué)物件的情境下，提出一個(gè)合理猜測的過程。反駁(refuting)：本文中主要在對猜測做檢驗(yàn)，並且加以批判的過程。數(shù)學(xué)思維：描述數(shù)學(xué)解題的認(rèn)知過程。數(shù)學(xué)臆測思維：描述合理的數(shù)學(xué)猜測的認(rèn)知過程。數(shù)學(xué)臆測思維歷程：學(xué)生面對數(shù)學(xué)物件時(shí)，腦中進(jìn)行猜測活

7、動(dòng)所做的智力運(yùn)思的動(dòng)態(tài)歷程。,研究中所採之重要名詞界定,研究方法,採用的方法研究過程研究對象研究工具資料分析三角校正,採用的方法,訪談學(xué)生：採面談法，藉由訪談探知學(xué)生的想法，以及在猜測活動(dòng)的表現(xiàn)。訪談數(shù)學(xué)家：採面談法及回溯法，針對數(shù)學(xué)臆測和反駁真實(shí)的思維歷程和最近做數(shù)學(xué)的驗(yàn)驗(yàn)做深度訪談。,研究過程,由理論、文獻(xiàn)分析和教室觀察，評估學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)猜測可能的表現(xiàn)。與有經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教師討論，評估適合學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)猜測的材料。編製研究

8、工具，包括數(shù)學(xué)猜測測驗(yàn)和數(shù)學(xué)家面談工具。進(jìn)行面談，試探學(xué)生在數(shù)學(xué)猜測測驗(yàn)的表現(xiàn)和數(shù)學(xué)家臆測思維歷程，並且請數(shù)學(xué)家談?wù)剬恫聹y活動(dòng)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之地位的看法。,研究對象,研究對象採立意取樣，以樣本的取得難易、配合度的高低為主要考量。五位大一升大二數(shù)學(xué)系的學(xué)生。五位普通高中的高二學(xué)生。兩位數(shù)學(xué)家(一位分析專長，一位離散數(shù)學(xué)專長)。,數(shù)學(xué)猜測測驗(yàn),測驗(yàn)內(nèi)容取材之四原則：相對於學(xué)生，他不知道答案。數(shù)學(xué)本身的內(nèi)容對於臆測的成功與否，影

9、響能降到最小。題目淺顯易懂，使年級的限制降到最低。題目本身必須要有豐富的數(shù)學(xué)思維過程。,研究工具,前置研究工具,數(shù)學(xué)猜測測驗(yàn),數(shù)學(xué)家面談工具,屬半結(jié)構(gòu)面談工具，主要包括三個(gè)問題：請您談?wù)勀跀?shù)學(xué)裡面進(jìn)行猜測的經(jīng)驗(yàn)。譬如說：「…………」，您做猜測的時(shí)候，您是怎麼想的？您有沒有在猜測形成之後，經(jīng)過一段時(shí)間自己又把它反駁掉的經(jīng)驗(yàn)？請舉例說明。您認(rèn)為數(shù)學(xué)猜測在不同階段的教育(例如：中小學(xué)、大學(xué)、研究所、或者數(shù)學(xué)家)的地位如何？,研究工

10、具,資料分析,資料分析和整理的步驟如下：依據(jù)前置研究所建立的分析架構(gòu)，分析每一位研究對象的思維歷程。將所有的思維歷程分析比對之後，與前置研究結(jié)果再作比對，確認(rèn)不同對象的思維流程都有定點(diǎn)站。描繪學(xué)生的思維流程，描繪各個(gè)研究對象的思維模式。歸納所有研究對象之臆測歷程的共同輪廓和模式的特徵。,研究結(jié)果,學(xué)生數(shù)學(xué)臆測的思維歷程圖學(xué)生數(shù)學(xué)臆測的思維模式數(shù)學(xué)家臆測的思維模式學(xué)生與數(shù)學(xué)家臆測思維的比較數(shù)學(xué)臆測的思維模式研究結(jié)果在學(xué)理

11、上的論辯數(shù)學(xué)臆測思維模式的應(yīng)用,學(xué)生數(shù)學(xué)臆測的思維歷程圖(以G2為例),?猜測一：?猜測二：通往檢驗(yàn)路徑：我覺得 比較合理，因?yàn)樗芫鶆?，長得又像圓柱，我已經(jīng)知道圓柱的體積是體面積× 高，所以半徑取中間的那個(gè)圓的半徑 ，再利用圓柱的算法得知。檢驗(yàn)之後：G2相信猜測一比較合理，而反駁了另一個(gè)猜測。事後訪談：因?yàn)檫@個(gè)切面是梯形，繞一圈不知道是多少。這兩個(gè)想法不一樣，第一個(gè)想法可以檢查

12、出來，第二個(gè)想法和第一個(gè)不一樣，我想應(yīng)該是第一個(gè)比較合理。,學(xué)生數(shù)學(xué)臆測的思維模式,分類模式學(xué)生猜測未知結(jié)果的數(shù)學(xué)思維模式,此模式的特徵 從猜測出發(fā)，包括猜測一個(gè)未 知的結(jié)果，或者透過操作，觀察特例，從猜測可能的規(guī)則開始。 是一個(gè)有方向的思維循環(huán)。思維循環(huán)有兩層，包括內(nèi)循環(huán)和外循環(huán)。思維路徑複雜而且落差很大。,分類模式學(xué)生猜測命題對錯(cuò)的思維模式,學(xué)生數(shù)學(xué)臆測的思維模式,此模式的特徵 從檢驗(yàn)出發(fā)，不斷地用特例檢驗(yàn)已知

13、命題的正確性。 是一個(gè)有方向的思維路徑。思維路徑中包括內(nèi)循環(huán)，但是沒有出現(xiàn)外循環(huán)。思維路徑簡單而且一致。,整合模式學(xué)生數(shù)學(xué)臆測的思維歷程可形成一個(gè)共通的模式，每位學(xué)生的臆測歷程都是此圖的一部分。,學(xué)生數(shù)學(xué)臆測的思維模式,,是一個(gè)有方向的思維循環(huán)。思維循環(huán)有兩層，包括內(nèi)循環(huán)和外循環(huán)。內(nèi)循環(huán)表徵猜想的精鍊過程，外循環(huán)表徵原猜想被丟棄及重構(gòu)的歷程。學(xué)生的臆測思維在猜測、檢驗(yàn)、相信和反駁之間遞迴。猜測未知結(jié)果，思維起點(diǎn)和思維路徑

14、比較複雜；猜測命題的對錯(cuò)，思維起點(diǎn)和思維路徑都比較簡單。,從猜測出發(fā)，但出發(fā)點(diǎn)可能不只一個(gè)。在某一猜測經(jīng)確認(rèn)後，有時(shí)列舉類似的可能情況，再一一確認(rèn)或反駁。在某一部分經(jīng)過多次確認(rèn)後，可能做局部證明，再做一般化。是一個(gè)有方向的思維循環(huán)。思維循環(huán)有兩層，包括內(nèi)循環(huán)和外循環(huán)。思維路徑可能因?yàn)閿?shù)個(gè)猜測的起點(diǎn)或檢驗(yàn)可以同時(shí)運(yùn)作而縮短；但是，卻更為複雜。,數(shù)學(xué)家臆測的思維模式,學(xué)生與數(shù)學(xué)家臆測思維的比較,學(xué)生與數(shù)學(xué)家臆測思維的比較,數(shù)學(xué)臆測的思

15、維模式,學(xué)生數(shù)學(xué)臆測的思維模式和數(shù)學(xué)家臆測的思維模式是相容的。每個(gè)學(xué)生臆測的思維模式都是此圖的一部分。數(shù)學(xué)家個(gè)別的思維模式和此圖完全相同或是幾乎相同。,研究結(jié)果在學(xué)理上的論辯,對Mason的臆測循環(huán)過程的批判,對Lakatos探究式思維模式的補(bǔ)充,研究結(jié)果在學(xué)理上的論辯,Lakatos探索式思維模式中最裡面的一條思路：猜測→初步檢驗(yàn)→反駁→重構(gòu)→局部反例檢驗(yàn)→證明，若扣除證明階段，把它放置於本研究著架構(gòu)中，則分析出來的思維路徑是：猜

16、測→檢驗(yàn)→反駁→猜測→檢驗(yàn)。本研究與Lakatos的不同,數(shù)學(xué)臆測思維模式的應(yīng)用,猜測對象難度的評量猜測未知的結(jié)果比猜測命題對錯(cuò)難。思維歷程可以分為五類：無法提出可檢驗(yàn)的猜測、可猜測沒有檢驗(yàn)、單猜測單檢驗(yàn)、雙猜測單檢驗(yàn)、多(單)猜測多檢驗(yàn)。學(xué)生臆測思維品質(zhì)的評量將學(xué)生思維的品質(zhì)分級猜測未知結(jié)果的問題較能反映出學(xué)生臆測思維的品質(zhì)。猜測命題對錯(cuò)的問題具有診斷臆測思維的功能。診斷教學(xué)與教學(xué)處方的基礎(chǔ)進(jìn)行診斷教學(xué)的首要工作就是

17、教師必須了解學(xué)生的認(rèn)知狀態(tài)與思維過程，這是教師設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，也是教師在教式中臨場診斷與開出教學(xué)處方的重要依據(jù)。,討論與對未來研究方向的建議,主要結(jié)論研究結(jié)果在學(xué)理上與教學(xué)上的啟示對未來研究方向的建議,主要結(jié)論,學(xué)生數(shù)學(xué)臆測的思維模式和特徵學(xué)生數(shù)學(xué)臆測的思維歷程可形成一個(gè)共通的思維模式圖，每位學(xué)生的臆測歷程都是此圖的一部分。學(xué)生數(shù)學(xué)臆測的思維模式與數(shù)學(xué)家的模式是相容學(xué)生的臆測如果是成功的，則可以用數(shù)學(xué)家的系統(tǒng)來加以詮釋。

18、學(xué)生數(shù)學(xué)臆測的思維模式可以視為數(shù)學(xué)家臆測模式的簡化的模型。,研究結(jié)果在學(xué)理上與教學(xué)上的啟示,學(xué)理上的補(bǔ)充：Mason的理論研究結(jié)果建構(gòu)出一個(gè)數(shù)學(xué)臆測的思維模式，此模式的內(nèi)涵和特徵以及在教學(xué)評量與診斷應(yīng)用上都是Mason沒有的。研究所建立的數(shù)學(xué)臆測的思維模式能夠更完整地凸顯學(xué)生數(shù)學(xué)臆測的思維歷程。Lakatos的理論研究擴(kuò)展了Lakatos的理論範(fàn)圍。研究的模式正好補(bǔ)充了從問題到合理的猜想被提出來這個(gè)階段的思維模式。,研究結(jié)果

19、在學(xué)理上與教學(xué)上的啟示,教學(xué)上的啟示：學(xué)生個(gè)人數(shù)學(xué)臆測的思維模式可以呈現(xiàn)出其思維路徑和認(rèn)知狀態(tài)。對教師而言，它具有表徵問題的難度、評量學(xué)生思維的品質(zhì)以及診斷教學(xué)和開出教學(xué)處方的功能，這對教學(xué)實(shí)務(wù)有非常重要的意義。,對未來研究方向的建議,猜測問題與猜測主體之間的關(guān)係數(shù)學(xué)臆測的思維模式與數(shù)學(xué)觀的關(guān)係數(shù)學(xué)猜測活動(dòng)與探究教學(xué),猜測問題與猜測主體之間的關(guān)係猜測的問題從數(shù)學(xué)上到底可以怎麼分？就某一類猜測的問題本身在知識(shí)方面的需求應(yīng)該可以

20、再精緻化，而且依照猜測問題的分類，問題本身的難度可以再加以分析。猜測的問題與猜測的主體是兩個(gè)變數(shù)，在研究上如何去做歸因？,對未來研究方向的建議,數(shù)學(xué)臆測的思維模式與數(shù)學(xué)觀的關(guān)係只要數(shù)學(xué)一直發(fā)展，個(gè)人或當(dāng)代社會(huì)的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)呈現(xiàn)分歧是必然存在的。關(guān)於數(shù)學(xué)知識(shí)的性質(zhì)：可分為絕對觀與可錯(cuò)觀絶對觀：數(shù)學(xué)知識(shí)是絕對的真理，數(shù)學(xué)是代表正確知識(shí)的唯一領(lǐng)域?？慑e(cuò)觀：數(shù)學(xué)知識(shí)被認(rèn)為是可錯(cuò)的、可更正的而且不需要確定的基礎(chǔ)。學(xué)生臆測的思維模式是否是其