高振蕩問題的高效數值方法研究.pdf

1、高振蕩問題如高振蕩數值積分、高振蕩微分、積分方程數值解等廣泛存在于量子化學、信號處理、醫(yī)療圖像、分子動力學、流體力學等眾多問題中，是公認的數學難題之一.本篇博士學位論文主要研究了高振蕩問題的高效數值方法以及與高振蕩相關的數值逼近問題.高振蕩問題部分主要研究了高振蕩函數數值積分如Fourier型和Bessel型積分，高振蕩函數的Cauchy主值的計算以及具有高振蕩Bessel核的Volterra第一型積分方程的數值解問題.逼近部分的研究主

2、要包括Legendre系數的衰減估計和實現(xiàn)Legendre插值的快速穩(wěn)定算法.全文由如下部分組成：
　　 第一章簡述了高振蕩問題的應用背景和研究的意義.第二章介紹了近年來發(fā)展起來的幾種高振蕩積分的高效算法，如漸近方法、Filon型方法、Levin型方法、廣義積分法則以及數值最速下降法等.
　　 第三章討論了高振蕩積分的Levin迭代法.對于Fourier型積分，當被積函數在積分區(qū)間內沒有駐點時，證明了Levin迭代法與漸

3、近方法的等價性，同時將Levin迭代法推廣到高振蕩Bessel型積分.
　　 第四章主要討論了以下形式的高振蕩有限Hilbert變換的計算，()提出了計算該型積分的三種新的算法.當函數f(x)在包含積分區(qū)間[-1，1]的一個充分大的復平面鄰域內解析時，提出了一種可以利用經典的Gauss-Laguerre積分法則實現(xiàn)的數值最速下降法，此方法的精度隨振蕩頻率ω的增加而快速提高.當f(x)在包含積分區(qū)間[-1，1]的一個小的鄰域內解析

4、時，提出了一種基于Chebyshev插值的快速實現(xiàn)算法，該算法可以由三項遞推以及快速Fourier變換高效的實現(xiàn).同時證明了所提出的Chebyshev插值型算法逼近振蕩Hilbert變換是一致收斂的，也就是其誤差界與τ無關.在前面兩種方法的基礎上，我們將Filon型方法推廣到了當前積分的計算，F(xiàn)ilon型方法不要求函數f(x)解析，它可以由遞推關系快速的計算并且其精度隨頻率ω的增加而快速提高.
　　 第五章主要研究了一個具有高振

5、蕩Bessel核的第一類Volterra卷積型積分方程的數值解問題.首先證明了對于積分區(qū)間含O的高振蕩Bessel型積分，積分的漸近展開與Bessel函數的階的關系，特別的，當Bessel函數的階為整數時，提高了漸近方法以及Filon型方法的誤差階的估計.利用這個新的結果，研究了具有高振蕩Bessel核的第一型Volterra積分方程的漸近展開和數值方法.首先利用Laplace變換技術將積分方程的解轉化為一個高振蕩的Bessel積分，然

6、后利用提高的漸近展開給出了積分方程解的漸近展開.進一步還設計了一種計算積分方程解的Filon型方法，F(xiàn)ilon型方法是一種對于固定頻率收斂的方法，并且其精度可以用增加導數插值或增加插值節(jié)點而快速提高.
　　 第六章主要研究了Legendre逼近問題.首先建立了Legendre系數的衰減估計，得到了Legendre的截斷級數展開的誤差估計.其次研究了Legendre插值公式的快速穩(wěn)定算法.眾所周知，Chebyshev插值公式可以通

7、過其重心形式使用O(n)次運算量快速并且穩(wěn)定的實現(xiàn)，然而對于Legendre插值公式的研究卻沒有Chebyshev插值那樣受到重視.在本章中，我們使用Gauss-Legendre積分法則的節(jié)點和權顯式的構造了Legendre重心權的顯式形式，因此先使用Glaser-Liu-Rokhlin算法計算Gauss-Legendre積分法則的節(jié)點和權，這需要O(n)次運算量，然后再計算Legendre的重心權，從而Legendre插值公式可以用O