最優(yōu)形狀設(shè)計(jì)問題數(shù)值方法的研究.pdf

1、最優(yōu)形狀設(shè)計(jì)的研究具有重要的工業(yè)應(yīng)用價(jià)值和廣闊的發(fā)展前景。本文主要研究和構(gòu)造快速有效的算法數(shù)值求解最優(yōu)形狀設(shè)計(jì)問題。我們對(duì)最優(yōu)形狀設(shè)計(jì)領(lǐng)域已有的水平集方法進(jìn)行改進(jìn)，用分段常數(shù)水平集方法求解三個(gè)模型問題。我們的方法能夠處理復(fù)雜的形狀和拓?fù)渥兓?，而且不需要周期性的?zhí)行重新初始化過程。通過引進(jìn)一個(gè)分段常數(shù)約束，最優(yōu)形狀設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新的約束優(yōu)化問題。我們用拉格朗日乘子方法和增廣拉格朗日方法將該問題進(jìn)行無約束化，然后用梯度法進(jìn)行求解。與傳統(tǒng)

2、水平集方法的數(shù)值比較說明了我們算法的有效性。本文的結(jié)構(gòu)如下：
　　 第一章首先介紹了最優(yōu)形狀設(shè)計(jì)領(lǐng)域的研究背景。我們對(duì)形狀優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化已有的理論和數(shù)值方法進(jìn)行了綜述。然后我們介紹了形狀導(dǎo)數(shù)的概念，對(duì)一個(gè)經(jīng)典的模型問題用“擾動(dòng)法”推導(dǎo)了目標(biāo)泛函關(guān)于形狀擾動(dòng)的歐拉導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式并給出了求解該問題的梯度型算法。最后我們簡(jiǎn)單介紹了拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)定義。
　　 在第二章中，我們首先介紹了傳統(tǒng)的水平集方法，然后分別介紹了近年來出現(xiàn)的水

3、平集方法的變種：分段常數(shù)水平集方法和二值水平集方法。另外，我們對(duì)這些水平集方法進(jìn)行了比較。
　　 第三章主要用分段常數(shù)水平集方法解一類特征值相關(guān)的最優(yōu)形狀設(shè)計(jì)問題?；谠鰪V拉格朗日方法和拉格朗日乘子法，我們對(duì)所求的約束優(yōu)化問題提出了三種變分算法。第一種增廣的拉格朗日算法在文獻(xiàn)中已被應(yīng)用到結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化。該算法對(duì)我們的模型依然有效。但是，迭代過程中在幾何約束的滿足方面，它缺少穩(wěn)定性和精確性。我們提出的另外兩種新穎算法能夠克服這個(gè)局限

4、性，每次迭代都能很好的滿足幾何約束。而且，這兩種算法對(duì)初始猜測(cè)值的依賴性都比較小，比第一種算法要穩(wěn)健。從數(shù)值結(jié)果中我們發(fā)現(xiàn)，最后一種沒有罰參數(shù)的投影拉格朗日算法比前兩種算法對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)的限制要小。在數(shù)值實(shí)驗(yàn)部分，我們給出了很多不同例子的數(shù)值結(jié)果。與水平集方法得到結(jié)果的比較顯示了我們算法的有效性和穩(wěn)健性。最后，我們給出了二維不規(guī)則區(qū)域和三維規(guī)則區(qū)域上的數(shù)值例子。
　　 在第四章，我們用一個(gè)分段常數(shù)水平集方法求解一類由橢圓邊值問題控制

5、的形狀和拓?fù)鋬?yōu)化問題。通過“虛擬材料”方法，我們用一個(gè)二相最優(yōu)設(shè)計(jì)問題去逼近原來的模型。在分段常數(shù)水平集方法的框架下，我們首先把這個(gè)二相問題轉(zhuǎn)變成一個(gè)新的關(guān)于水平集函數(shù)的約束優(yōu)化問題。然后，我們用投影拉格朗日方法去求解這個(gè)問題，給出了一個(gè)梯度型算法。我們的數(shù)值結(jié)果與水平集方法得到的進(jìn)行比較表明了我們算法的快速有效性。
　　 在第五章，我們用二值水平集方法去解一個(gè)經(jīng)典的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題。為了提高算法的執(zhí)行效率，我們把多水平的方法加